專(zhuān)題2.3零點(diǎn)歸類(lèi)熱點(diǎn)考題歸納【題型一】二分法【典例分析】1.（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對(duì)于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點(diǎn)的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個(gè)方法，解方程，選取初始值，在下面四個(gè)選項(xiàng)中最佳近似解為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出迭代關(guān)系為，結(jié)合逐項(xiàng)計(jì)算可得出結(jié)果.【詳解】令，則，令，即，可得，迭代關(guān)系為，取，則，，故選：D.2.（河南省南陽(yáng)市第一中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，則整數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與在上均為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，，所以函?shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，故.故選：B.【變式演練】1.已知函數(shù)，則下列區(qū)間中含零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知：，，，.由零點(diǎn)存在定理可知在區(qū)間一定有零點(diǎn).故選：C.2.用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是（

）A． B． C． D． 【答案】A【詳解】因?yàn)?，，且單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，，所以零點(diǎn)在內(nèi)，故選：A3若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.25，則函數(shù)可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可先對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的零點(diǎn)求值，再用二分法進(jìn)一步判斷的零點(diǎn)區(qū)間，即可求解【詳解】對(duì)A，的零點(diǎn)為；對(duì)B，的零點(diǎn)為；對(duì)C，的零點(diǎn)為；對(duì)D，的零點(diǎn)為；，，，故零點(diǎn)在之間，再用二分法，取，，，故的零點(diǎn)，由題的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.25，則只有的零點(diǎn)符合；故選：B【題型二】?jī)缰笇?duì)圖像基礎(chǔ)【典例分析】1.已知函數(shù)，若函數(shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),當(dāng)時(shí)，令可得，解得，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根，所以方程在上有一個(gè)根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象在時(shí)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，作函數(shù)的圖象如下：觀察圖象可得，所以，所以m的取值范圍是.故選：D.2.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）使函數(shù)的值域?yàn)榈囊粋€(gè)a的值為．【詳解】令，由題意得的值域?yàn)?，又的值域?yàn)椋裕獾?，所以的取值范圍為．故答案為?(答案不唯一)【提分秘籍】函數(shù)，：（1）當(dāng)，時(shí)，圖象恒過(guò)和_兩點(diǎn)；其中當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)圖象在圖象的下方；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)圖象在圖象的上方．（2）當(dāng)，時(shí)，圖象也恒過(guò)__和兩點(diǎn)；其中當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)圖象在圖象的上方；當(dāng)，冪函數(shù)圖象在圖象的下方．（3）當(dāng)，時(shí)，圖象恒過(guò)點(diǎn)___．【變式演練】1.已知，設(shè)，則函數(shù)的最大值為.【答案】8【分析】由求出的定義域?yàn)?，然后換元，令，，得，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求出最大值.【詳解】，由得，即的定義域?yàn)?，令，因?yàn)?，所以，所以在上為增函?shù)，所以時(shí)，.故答案為：.2.（2023·四川綿陽(yáng)·三臺(tái)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)，則不等式的解集為．【答案】【分析】分別在和的情況下，結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可解不等式求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，，解得：（舍）；當(dāng)，即時(shí)，，，解得：，；綜上所述：不等式的解集為.故答案為：.3.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則．【答案】2【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義，等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)求交點(diǎn)，根據(jù)反函數(shù)的定義，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，可得答案.【詳解】由，得，函數(shù)與互為反函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，，的圖象，如圖所示，則，，由反函數(shù)性質(zhì)知A，B關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，.故答案為：.【題型三】求零點(diǎn)基礎(chǔ)方法：水平線法【典例分析】1.已知函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)條件算出參數(shù)，函數(shù)存在零點(diǎn)等價(jià)于方程有解，即有解，故只需要求在上的值域即可.【詳解】由題意得，，則，，令，因?yàn)?，所以，因此可轉(zhuǎn)化為，，其對(duì)稱(chēng)軸為，，，所以在上的值域?yàn)椋瘮?shù)存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程有解，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B2.（天津市津衡高級(jí)中學(xué)2022屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有4個(gè)根，當(dāng)時(shí)，可得是方程的根，當(dāng)時(shí)，可得然后畫(huà)出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象求解即可【詳解】的零點(diǎn)即方程的根，當(dāng)時(shí)，容易驗(yàn)證為方程的根．當(dāng)時(shí)，由，可得畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示．當(dāng)有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由圖可得或．故選：C【變式演練】1.（湘鄂冀三省益陽(yáng)平高學(xué)校、長(zhǎng)沙市平高中學(xué)等七校2021-2022學(xué)年上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合的單調(diào)性畫(huà)出的圖象，結(jié)合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)求得的取值范圍.【詳解】在上遞增，且，當(dāng)時(shí)，，任取，，其中，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；，由此畫(huà)出的大致圖象如下圖所示，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即與有三個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，的取值范圍是.故選：B2.（河南省2021-2022學(xué)年上學(xué)期階段性考試（三）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則（

）A． B．的取值范圍為C．a(chǎn)的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】D【分析】有三個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)不同的解，然后畫(huà)出函數(shù)的圖象和直線，結(jié)合圖象求解.【詳解】有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同的解，的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可得，，，由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，可得，故的取值范圍為，故選：D.【題型四】水平線法：對(duì)數(shù)絕對(duì)值型【典例分析】1.（重慶市璧山來(lái)鳳中學(xué)校九校2023屆高三上學(xué)期聯(lián)考模擬（二）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】解方程可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，由可得，即或，解得或.綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.2.已知函數(shù)（，且）在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．B．． D．【答案】D【分析】由函數(shù)在在上為單調(diào)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，則滿足，可得到的范圍；再將有三個(gè)不同的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和有三個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，可先判斷當(dāng)時(shí)存在兩個(gè)交點(diǎn)，則只需滿足時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)即可，進(jìn)而求解，綜合得到的范圍.【詳解】由題，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)函數(shù)，且時(shí)，單調(diào)遞減，所以，解得，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出和的圖象，如圖所示：由圖象可知當(dāng)時(shí)，和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故只需當(dāng)時(shí)，和的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，即，即時(shí)，滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，只需與相切，聯(lián)立可得，則，解得，綜上，的取值范圍是故選：D【提分秘籍】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)（1）定義域：_.（2）值域：（3）過(guò)定點(diǎn)，即x=_1_時(shí)，y=0（4）在_上增函數(shù)（4）在上是減函數(shù)（5）；（5）；【變式演練】1.（吉林省長(zhǎng)春市第五中學(xué)2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且滿足：，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出4個(gè)零點(diǎn)的關(guān)系及范圍，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)的四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，就是函數(shù)與兩個(gè)圖象四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，故A正確；由，可得或，結(jié)合圖象可知，故B錯(cuò)誤；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象得出，所以，故C正確；又，且，所以，即，所以，故D正確.故選：B.2.（福建省德化第一中學(xué)2021-2022學(xué)年考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在R上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，然后作出函數(shù)的圖像，利用的圖像與的關(guān)系判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由函數(shù)在R上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，可知有4個(gè)不同的根，即函數(shù)的圖像與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像如下：數(shù)形結(jié)合可知，只要，即，就有2個(gè)不同的交點(diǎn)，要使函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，需當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不同的根，又，如圖：需，解得故實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D3.已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，分別為則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)即為函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)，不妨令，得到，結(jié)合圖象得到，結(jié)合，求得，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的圖象，如圖所示，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)，且這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，不妨令，則，可得．當(dāng)時(shí)，函數(shù)，且，要使的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則．令，即，可得，即，所以的取值范圍是．故選：B.【題型五】水平線法：指數(shù)型【典例分析】1.（黑龍江省哈爾濱市賓縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，若函數(shù)g(x)＝f(x)－k有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A．(0，＋∞) B．(0，1) C．[1，＋∞) D．[1，2)【答案】B【分析】由題意可知函數(shù)f(x)與直線y＝k有3個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)f(x)的大致圖象，由圖象觀察即可得出答案．【詳解】作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示，要使g(x)＝f(x)－k有3個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝k有3個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知，0＜k＜1．故選：B．2.（河北省2023屆高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則有三個(gè)不相等的實(shí)根，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及圖象即可得出.【詳解】要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則有三個(gè)不相等的實(shí)根，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；由與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可得，故選：A.【提分秘籍】指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)（1）定義域：R_（2）值域：（3）過(guò)定點(diǎn)__，即x=0時(shí)，y=1（4）增函數(shù)（4）減函數(shù)（5）;（5）;【變式演練】1.函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得，分別作出直線和函數(shù)的圖象，平移直線即可得到的取值范圍．【詳解】作出函數(shù)的圖象，令，可得，畫(huà)出直線，可得當(dāng)時(shí)，直線和函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)．故選：B．2.（陜西省2022屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（三）理科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，且，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象如下圖所示：令，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以有，顯然是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此有，是方程的根，即，所以，于是有，設(shè)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以有，即單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，故選：C3..（陜西省商洛市2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的的零點(diǎn)，，，，且，則（

）A．a(chǎn)的取值范圍是(0,)B．的取值范圍是(0,1)C． D．【答案】D【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想判斷各交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍及數(shù)量關(guān)系，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】有四個(gè)不同的零點(diǎn)、、、，即有四個(gè)不同的解．的圖象如下圖示，由圖知：，所以，即的取值范圍是(0,＋∞)．由二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得：，因?yàn)椋矗剩蔬x：D【題型六】復(fù)合二次型函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)：因式分解型【典例分析】1.（重慶市開(kāi)州區(qū)臨江中學(xué)2023屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)根，令，則方程可轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的一元二次方程，對(duì)其分析求解即可.【詳解】畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，如下圖所示：函數(shù)恰好有5個(gè)不同的零點(diǎn)，方程有5個(gè)根，設(shè)，則方程化為，易知此方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，，結(jié)合的圖象可知，，，令令，則由二次函數(shù)的根的分布情況得：，解得：.故選：A2.（廣東省佛山市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，若函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解為0時(shí)的值，可得只有兩個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)分析可得無(wú)解，進(jìn)而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意，即或.因?yàn)?，易得無(wú)解.故只有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，或，解得或有兩個(gè)零點(diǎn).故無(wú)解.因?yàn)?，，故，解得故選：D【提分秘籍】對(duì)于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點(diǎn)；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【變式演練】1.（河南省駐馬店市2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】由可得或，然后畫(huà)出的圖象，結(jié)合圖象可分析出答案.【詳解】由可得或的圖象如下：所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有4個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5；當(dāng)且時(shí)，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，有4個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，無(wú)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；綜上：的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為2、4、5、6，故選：B2.已知，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由解析式及指對(duì)數(shù)的性質(zhì)分析分段函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)值，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)且遞減，當(dāng)時(shí)且遞減，令，則，可得或，如下圖示：由圖知：時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，故共有3個(gè)零點(diǎn).故選：C3.（2022·山東日照·日照一中?？家荒＃┮阎瘮?shù)是定義在R的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有且僅有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a取值范圍.【答案】【詳解】由，可得或，由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以有個(gè)零點(diǎn)，則有個(gè)不同的零點(diǎn)，又，則，又時(shí)，有個(gè)不同的零點(diǎn)，即．故．故本題應(yīng)填．【題型七】復(fù)合二次型函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)：根的分布型【典例分析】1.（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出在上的單調(diào)性與極大值，即可畫(huà)出函數(shù)的圖象，依題意可得關(guān)于的方程恰有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令，則關(guān)于的有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，，令，則，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，，且時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的圖象如下所示：

對(duì)于函數(shù)，令，即，令，則，要使恰有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即關(guān)于的有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，，令，則有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)均位于之間，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：2.（2022秋·山東青島·高三山東省萊西市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)恰好有六個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】畫(huà)出圖象，換元后得到方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，利用二次函數(shù)根的分布列出不等式組，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，令，則當(dāng)，方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程化為，使關(guān)于的方程恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令所以,解得:，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為【變式演練】1.（黑龍江省大慶市大慶中學(xué)2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【分析】畫(huà)出的函數(shù)的圖象，令，可得關(guān)于方程有兩個(gè)根，且一個(gè)根小于4，一個(gè)根大于等于4，即可列出不等式求解.【詳解】畫(huà)出的函數(shù)圖象如圖，令，則由圖可知要使有三個(gè)零點(diǎn)，則關(guān)于方程有兩個(gè)根，且一個(gè)根小于4，一個(gè)根大于等于4，所以，解得.故選：A.2.（重慶市長(zhǎng)壽區(qū)七校2021-2022學(xué)年聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知，若有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，則有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，設(shè)為，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合條件可得或，進(jìn)而即得.【詳解】令，要使有5個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象則有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，設(shè)為，且，且需滿足或，當(dāng)時(shí)，無(wú)解，不合題意，當(dāng)時(shí)，，的兩根均大于或等于1，不合題意，所以，只需，解得.故選：A.3.（2023春·四川綿陽(yáng)·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，則實(shí)數(shù)a取值范圍為.【答案】【分析】畫(huà)出的圖象，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】，由解得.畫(huà)出的圖象如下圖所示，令，由圖象可知與有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或；與有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，；與有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，.依題意，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，對(duì)于函數(shù)，由于，的兩個(gè)零點(diǎn)，全都在區(qū)間或區(qū)間，或一個(gè)在區(qū)間一個(gè)在區(qū)間，所以或或，解得或或，所以的取值范圍是.故答案為：【題型八】雙函數(shù)內(nèi)外復(fù)合型函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)【典例分析】1.（2022·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)有四個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出圖象（草圖），觀察分析.詳解：當(dāng)時(shí)，，，由知在有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，－1也是它的零點(diǎn)，且滿足；當(dāng)時(shí)，，，由知在上有一個(gè)零點(diǎn)，且，都是極大值點(diǎn)，－1是極小值點(diǎn)，注意到，，，∴當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)有四個(gè)交點(diǎn)，故選D.2.2.（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高三聯(lián)考）已知函數(shù)，，若有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)圖象，進(jìn)行分析，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)最多4個(gè)零點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合討論各種情況，根據(jù)一元二次方程根的分布即可得出結(jié)果.【詳解】由題可得函數(shù)圖象，當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有4個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)解；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)解；因?yàn)樽疃嘤袃蓚€(gè)解.因此，要使有6個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)解，設(shè)為，.則存在下列幾種情況：①有2個(gè)解，有4個(gè)解，即或，，顯然，則此時(shí)應(yīng)滿足，即，解得，②有3個(gè)解，有3個(gè)解，設(shè)即，，則應(yīng)滿足，無(wú)解，舍去，綜上所述，的取值范圍為.故選：B.

【變式演練】1.（2023春·江西·高三江西省清江中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)，，記函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件畫(huà)出函數(shù)圖像，得到與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)在上，另一個(gè)在上，轉(zhuǎn)化為研究，的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究即可解決.【詳解】由的解析式，可知在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，且值域?yàn)椋瘮?shù)的圖像如圖所示，所以在的值域上，任意函數(shù)值都有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，在值域上，任意函數(shù)值都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng).要使恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)在上，另一個(gè)在上，由的圖像開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為，易知，此時(shí)，且，結(jié)合的圖像及，得，則，所以，且，令，，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，故的最大值為.2.（2023春·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)與方程的思想可知分別對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，利用數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，解得；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；因此的極小值，也是最小值為；其圖象如下圖所示;

易知當(dāng)或時(shí)，方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；令，化簡(jiǎn)得，解得或；所以函數(shù)的零點(diǎn)即為方程和的根；因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，且，①當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以；②當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以；綜上可得，的取值范圍是.故選：C3..（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】可先對(duì)求導(dǎo)，結(jié)合圖像判斷有三個(gè)交點(diǎn)的區(qū)間，又函數(shù)，可先畫(huà)出的圖像，結(jié)合圖像判斷有兩個(gè)交點(diǎn)的取值范圍，結(jié)合取值范圍進(jìn)一步判斷即可【詳解】由，令得或，當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增，函數(shù)的極大值為，極小值為，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖：當(dāng)有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，；再根據(jù)題意畫(huà)出圖像，如圖：當(dāng)時(shí)，要使，即函數(shù)圖像在時(shí)，與要有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖：，故故答案為【題型九】函數(shù)自身內(nèi)外復(fù)合型零點(diǎn)求參【典例分析】1.(湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)己知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定函數(shù)的值域，利用換元法令，則，則將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，作函數(shù)圖象，確定其交點(diǎn)以及其橫坐標(biāo)范圍，再結(jié)合的圖象，即可確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】已知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出其圖象如圖示：可知值域?yàn)椋O(shè)，則，則函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題即為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，而，作出函數(shù)的圖象如圖示：可知：的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別在之間，不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，由圖象和直線可知，二者有兩個(gè)交點(diǎn)，即此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由圖象和直線可知，二者有3個(gè)交點(diǎn)，即此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5，故選：B.2.(北京市第四中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】復(fù)合方程求解時(shí)，先求得的解有，再解即可.【詳解】下面解方程：，當(dāng)時(shí)，，得或1（舍去），當(dāng)時(shí)，，得，所以的兩根為，由得或，若，則當(dāng)時(shí)，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，無(wú)解；若，則當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)共有兩個(gè).故選：B【變式演練】1.已知函數(shù)，則函數(shù)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（）A．5或6個(gè) B．3或9個(gè) C．9或10個(gè) D．5或9個(gè)【答案】D【分析】設(shè)，求導(dǎo)分析的最值與極值，畫(huà)出圖形，再分析與的根的范圍與個(gè)數(shù)即可【詳解】設(shè)，則由，得，即，又，由得或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在處取得極大值，函數(shù)在處取得極小值，又由，可得圖象：若，，則方程有三個(gè)解，滿足，，，則當(dāng)時(shí)，方程，有3個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程，有3個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程，有3個(gè)根，此時(shí)共有9個(gè)根，若，，則方程有兩個(gè)解，滿足，，則當(dāng)時(shí)，方程，有3個(gè)根，當(dāng)，有2個(gè)根，此時(shí)共有5個(gè)根，同理，，也共有5個(gè)根故選：D．2.已知函數(shù)為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且．若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則求出值，可得，由分離參數(shù)，結(jié)合圖象即可求解．【詳解】因?yàn)闉槎x在R上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使得，則，，即，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，且，所以，.當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得.結(jié)合函數(shù)的圖象可知，若有3個(gè)零點(diǎn)，則．故選：A3.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)區(qū)間的值域及單調(diào)性，令并將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)值的個(gè)數(shù)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，且遞增，此時(shí)，所以，的零點(diǎn)等價(jià)于與交點(diǎn)橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的值，如下圖示：由圖知：與有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)、：當(dāng)，即時(shí)，在、、上各有一個(gè)解；當(dāng)，即時(shí)，在有一個(gè)解.綜上，的零點(diǎn)共有4個(gè).故選：B【題型十】解析式含參數(shù)零點(diǎn)型【典例分析】1.設(shè)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，其中a，，且函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值不可能是（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】由為周期為2的函數(shù)，可得，從而可求得，然后分六種情況分析判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上且周期為2的函數(shù)，所以，所以，得，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，其圖象如圖所示，由于周期為2，所以，所以不符合題意，當(dāng)時(shí)，則圖象向上平移，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，所以不符合，當(dāng)時(shí)，可得在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有零點(diǎn)，所以在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，符合題意，當(dāng)時(shí)，可得在上有2個(gè)零點(diǎn)，由于函數(shù)的周期為2，所以在上有6個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，則可得，在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，綜上，當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，故選：D2.已知函數(shù)，恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合，做出圖像即可根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù).【詳解】解：由題意得：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由，得，則直線與的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得的取值范圍是.故選：B【提分秘籍】利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，主要從以下幾個(gè)角度分析：（1）函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與圖像交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化；（2）注意各段函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的定義域；（3）導(dǎo)數(shù)即為切線斜率的幾何應(yīng)用；（4）數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.【變式演練】1.已知函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】由在區(qū)間上單調(diào)遞減，分類(lèi)討論，，三種情況，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且方程的兩根為.若時(shí)，由解得或，滿足題意.若時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以且.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，滿足題意.綜上，故選：D2.（2021·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)有零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)的和不大于6，則a的取值范圍為．【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，可得在上單調(diào)遞減，得在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，分，，，四種情況分析討論函數(shù)的零點(diǎn)【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，又最小值，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，其對(duì)稱(chēng)軸為，則在上單調(diào)遞增，又，，則在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以符合題意．（2）當(dāng)時(shí)，①時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，則在上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，當(dāng)時(shí)，，令可得，又時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，在單調(diào)遞增，又，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)肘，，，則在上沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；③時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，則在上有極小值，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；④時(shí)，當(dāng)時(shí)，，令可得，又時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，且，則在上有極小值，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，時(shí)，，其對(duì)稱(chēng)軸為，且，根據(jù)韋達(dá)定理可判斷在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩根之和為a，時(shí)符合題意，綜上所述：a的取值范圍為，故答案為:．3.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)解析式分析的性質(zhì)，討論、、，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)判斷恰有2個(gè)零點(diǎn)情況下a的取值范圍.【詳解】由解析式知：在上且單調(diào)遞增；在上，的對(duì)稱(chēng)軸為且開(kāi)口向上，∴1、當(dāng)，即時(shí)，則在上遞增，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；2、當(dāng)時(shí)，上存在一個(gè)零點(diǎn)，要使恰有2個(gè)零點(diǎn)，則在上也只有一個(gè)零點(diǎn)，而且，∴當(dāng)，即，只需，可得；當(dāng)，即，只需，可得；∴此時(shí)，時(shí)恰有2個(gè)零點(diǎn)；【題型十一】函數(shù)分段定義域處含參數(shù)零點(diǎn)型【典例分析】1.（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)g(x)＝f(f(x)＋1)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，分成a≤－2，－2＜a≤0，0＜a≤2，a＞2四種情況討論即可.【詳解】令，則，有三個(gè)零點(diǎn)，∴f(t)＝0有兩個(gè)根，且需滿足有兩解時(shí)，有且僅有一解.①a≤－2時(shí)，f(x)如圖：g(x)＝f(t)＝0，，由圖可見(jiàn)此時(shí)y＝－3與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，，此時(shí)要使y＝1與f(x)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則，∴；②－2＜a≤0時(shí)，f(t)＝0只有一個(gè)解t＝2，t＝f(x)＋1＝0沒(méi)有三個(gè)解；③0＜a≤2時(shí)，f(x)如圖：，，，y＝1和f(x)必有兩個(gè)交點(diǎn)；，此時(shí)要使y＝－1和f(x)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則，∴；④a＞2時(shí)，只有一個(gè)根t＝0，t＝f(x)＋1＝0沒(méi)有三個(gè)解.綜上所述，.故答案為：.2.（2022·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】討論的單調(diào)性，根據(jù)的大致圖像，結(jié)合題目要求，得到不等式，求解即可.【詳解】，若，對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，在上遞增，當(dāng)，對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，在上遞增，則函數(shù)不可能有三個(gè)零點(diǎn)，故只需考慮的情況.畫(huà)出的大致圖象可知：要使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，只能，即，即存在，使得即可.令，只要使即可，而.故.故答案為：.【提分秘籍】分段函數(shù)（1）分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．（2）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集【變式演練】1.（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若在上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】先按照和兩種情況求出，再對(duì)和分別各按照兩種情況討論求出，最后令，求出函數(shù)的零點(diǎn)，恰好有三個(gè).因此只要求出的三個(gè)零點(diǎn)滿足各自的范圍即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得無(wú)解，當(dāng)時(shí)，由，可得.因?yàn)樵谏嫌腥齻€(gè)不同的零點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.2.（2023春·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】分別求出兩段函數(shù)各自的零點(diǎn)，作出圖像利用數(shù)形結(jié)合即可得出答案.【詳解】設(shè)，，求導(dǎo)由反比例函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，且，，故在內(nèi)必有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；令，解得或2，可作出函數(shù)的圖像，令，即，在之間解得或或，作出圖像如下圖數(shù)形結(jié)合可得：，故選：A3.（2022秋·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】分析兩個(gè)函數(shù)和的零點(diǎn)，前一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)－3和1，后一個(gè)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)1，1是公共的零點(diǎn)，因此可確定只有一個(gè)零點(diǎn)，只能為1．【詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)－3和1，只有一個(gè)零點(diǎn)1，因此函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，從函數(shù)的解析式來(lái)看，只能是1，∴．故答案為：．【題型十二】切線型零點(diǎn)求參【典例分析】1.2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】或【分析】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，作出的函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求出當(dāng)直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的斜率范圍即可．【詳解】解：函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，繪制函數(shù)圖像如圖所示，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)則函數(shù)與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)斜率為零，即時(shí)，由圖像可得有兩個(gè)交點(diǎn)，則成立；當(dāng)斜率不為零，即時(shí)，如圖所示，考查臨界情況，當(dāng)直線與函數(shù)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得：,解得則直線與函數(shù)相切時(shí)斜率為，數(shù)形結(jié)合可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是．綜上，答案為：或．2.（2022秋·遼寧大連·高三大連八中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且函數(shù)恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，由題意可知，函數(shù)與直線的圖象有個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上的圖象可視為函數(shù)在上的圖象每次向右平移個(gè)單位后得到，①若函數(shù)的圖象恒在直線的下方時(shí)，則，則，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合乎題意；②若函數(shù)的圖象與直線相切，對(duì)于方程，即，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；③若時(shí)，如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在上的圖象有個(gè)交點(diǎn)，若使得函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，此時(shí)；④當(dāng)時(shí)，由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在上的圖象只有個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)與函數(shù)在上的圖象必有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【提分秘籍】利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.【變式演練】1.（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合題意將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榍∮腥齻€(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即有三個(gè)解，而無(wú)解，故.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如下圖，當(dāng)時(shí)，與必有1個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，即，即令在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如下圖，

當(dāng)時(shí)，必有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，所以，即在上有根，令故，解得：.綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.2.（2020春·陜西西安·高三交大附中分校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】先結(jié)合的解析式分析的圖像，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和的圖像在上有四個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象，分析得它們有四個(gè)交點(diǎn)的情況，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，，，則開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，，，則開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞增，，因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，所以和的圖像在上有四個(gè)交點(diǎn)，又易得過(guò)定點(diǎn)，所以和的圖像在上的圖像大致如下：結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，與的圖像沒(méi)有交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，直到經(jīng)過(guò)時(shí)，與的圖像都有四個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，故；當(dāng)增大到與的圖像在上相切時(shí)，它們也有四個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立，消去，得，令，即，即，解得或（舍去）；綜上：或.故答案為：或.3.（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而畫(huà)出的圖象，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求出與，相切的直線斜率，從而求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，在上恒成立，且在時(shí)，等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出的圖象，所圖所示：設(shè)直線與，相切時(shí)切點(diǎn)為，則，又根據(jù)斜率公式可得：，所以，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以要想函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，直線斜率要介于兩切線斜率之間，故故答案為：【題型十三】切線型折線零點(diǎn)求參【典例分析】1.（2021秋·湖北武漢·高三華中科技大學(xué)附屬中學(xué)校考）已知函數(shù)，上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍；【答案】【分析】函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)可化為與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作函數(shù)圖象求解.【詳解】函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)可化為與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作函數(shù)與的圖象如下，結(jié)合圖象可知，函數(shù)的右半部分與函數(shù)相交于兩個(gè)不同交點(diǎn)，而左半部分不能與函數(shù)相交；當(dāng)直線與相切時(shí)為一個(gè)臨界值，設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)，則；解得；故斜率；故當(dāng)直線與相切時(shí)為另一個(gè)臨界值，設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)，則；解得；故斜率故故答案為：2.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】畫(huà)出函數(shù)圖像，的圖像是在軸下方的部分向上翻折形成，考慮，，三種情況，根據(jù)相切計(jì)算斜率，結(jié)合圖像得到答案.【詳解】的圖像是在軸下方的部分向上翻折形成，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)，不滿足；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)，與相切與點(diǎn)，，故，即，解得，，根據(jù)圖像知當(dāng)時(shí)，有且只有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)，與相切與點(diǎn)，，故，即，解得，，根據(jù)圖像知，當(dāng)，即時(shí)，有且只有個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，有且只有個(gè)零點(diǎn).故答案．【變式演練】1.（2023春·天津·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，分析與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由題意，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)即有三個(gè)解，即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.作出與的圖象，易得當(dāng)時(shí)不成立，故.當(dāng)時(shí)與必有一個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹氵^(guò)定點(diǎn)，此時(shí)與或有2個(gè)交點(diǎn).①當(dāng)與有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，考慮臨界條件，當(dāng)與相切時(shí)，.設(shè)切點(diǎn)，則，解得，此時(shí)切點(diǎn)，；又最高點(diǎn)為，故此時(shí).故.②當(dāng)與有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，考慮臨界條件，當(dāng)與相切時(shí)，，即，此時(shí)，即，解得，由圖可得，故.此時(shí)綜上故答案為：.2.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)于任意，都有，且當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，由，可以畫(huà)出函數(shù)以及，根據(jù)的情況分類(lèi)討論，結(jié)合函數(shù)圖像的交點(diǎn)，即可得解.【詳解】由對(duì)任意都成立，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，先作出函數(shù)在上的圖像，再作出這部分圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圖像，得函數(shù)的圖像，如圖所示：令，得，令，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)椋缘膱D像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的圖像的切線，設(shè)切點(diǎn)為處的切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，所以，所以切線的斜率為，即當(dāng)時(shí)，的圖像與函數(shù)的圖像相切，由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和恰有3個(gè)交點(diǎn)，即恰三個(gè)零點(diǎn).故答案為：3.（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】【分析】先作圖，再求分界線對(duì)應(yīng)k的值，結(jié)合圖象確定取值范圍.【詳解】作與圖象，由得由得，對(duì)應(yīng)圖中分界線①;由過(guò)點(diǎn)得，對(duì)應(yīng)圖中分界線②；當(dāng)與相切于時(shí)，因?yàn)椋裕瑢?duì)應(yīng)圖中分界線③；因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是故答案為：【題型十四】類(lèi)周期型函數(shù)零點(diǎn)求參【典例分析】1.（2021秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？计谥校┮阎液瘮?shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】函數(shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)不同的的交點(diǎn).在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示由圖可知，.直線的方程為，由，得，，設(shè)方程的兩根為，則，，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).由題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)不同的的交點(diǎn)，由圖可得或，或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.2.（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足:當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的恒成立，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，則與的圖象在區(qū)間內(nèi)有6個(gè)交點(diǎn)．畫(huà)出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．【詳解】對(duì)恒成立，函數(shù)的周期為2．又當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如下圖所示：令函數(shù)，則，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，則與的圖象在區(qū)間內(nèi)有6個(gè)交點(diǎn)．恒過(guò)點(diǎn)，過(guò)，點(diǎn)的直線斜率為，過(guò)，點(diǎn)的直線斜率為，根據(jù)圖象可得：故答案為：【提分秘籍】上下平移【變式演練】1.（2020·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)如果函數(shù)恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】根據(jù)題意，分析函數(shù)的解析式，作出其在區(qū)間，上的圖象，而的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)的直線；若函數(shù)恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)與直線有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式，在區(qū)間，上，；當(dāng)時(shí)，，，則區(qū)間，上，；當(dāng)時(shí)，，，則區(qū)間，上，；當(dāng)時(shí)，，，則區(qū)間，上，；當(dāng)時(shí)，，，則區(qū)間，上，，在區(qū)間，，，其圖象如圖：的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)的直線，若函數(shù)恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)與直線有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，即有，滿足題意；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，即有，滿足題意．綜上可得的范圍是．故答案為：．2.（2022·四川成都·成都七中校考三模）對(duì)于函數(shù)，有下列4個(gè)命題：①任取，都有恒成立；②，對(duì)于一切恒成立；③函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；④對(duì)任意，不等式恒成立.則其中所有真命題的序號(hào)是.【答案】①③④【分析】因?yàn)?定義域?yàn)?以長(zhǎng)度為變化區(qū)間的正弦類(lèi)型的曲線,且當(dāng)時(shí),后面每個(gè)周期都是前一個(gè)周期振幅的,根據(jù)相應(yīng)性質(zhì)判斷命題即可求得答案.【詳解】對(duì)于①,如圖:任取當(dāng),當(dāng),,,,恒成立故①正確.對(duì)于②,,故②錯(cuò)誤.對(duì)于③,的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題,分別畫(huà)出和的圖像如圖:和圖像由三個(gè)交點(diǎn).的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為:.故③正確.對(duì)于④,設(shè),

,令在,可得:當(dāng)時(shí),,,,若任意,不等式恒成立,即,可得求證:當(dāng),,化簡(jiǎn)可得:設(shè)函數(shù),則當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,可得即:綜上所述,對(duì)任意,不等式恒成立.故④正確.3.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【分析】先求出函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，由題得有三個(gè)不同的實(shí)根，數(shù)形結(jié)合分析得到實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f(x)=-x+2,當(dāng)時(shí)，1＜2x≤2，所以f(x)=,當(dāng)時(shí)，＜2x≤1，所以f(x)=,當(dāng)時(shí)，＜2x≤，所以f(x)=,當(dāng)時(shí)，＜2x≤，所以f(x)=,所以函數(shù)的圖象為：

其圖象為線段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端點(diǎn)A,B,C,D,)直線y=k(x-1)表示過(guò)定點(diǎn)P(1,0)的直線系，由題得C(),D(),當(dāng)直線在PD(可以取到)和直線PC（不能取到）之間時(shí)，直線和函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由題得.所以k的取值范圍為.故答案為高考真題對(duì)點(diǎn)練一、單選題1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫(xiě)出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．【詳解】解：依題意可得，因?yàn)?，所以，要使函?shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．故選：C．3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】由最多有2個(gè)根，可得至少有4個(gè)根，分別討論當(dāng)和時(shí)兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.【詳解】最多有2個(gè)根，所以至少有4個(gè)根，由可得，由可得，（1）時(shí)，當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)，有5個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)，有6個(gè)零點(diǎn)，即；（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；所以若時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足或或，則可解得a的取值范圍是.4．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】由，結(jié)合已知，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)不同交點(diǎn)，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.【詳解】注意到，所以要使恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程恰有3個(gè)實(shí)根即可，令，即與的圖象有個(gè)不同交點(diǎn).因?yàn)椋?dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖1，與有個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，如圖2，此時(shí)與恒有個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立方程得，令得，解得（負(fù)值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.5．（2019·浙江·高考真題）已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則A．B．C． D．【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫(huà)函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得．【詳解】當(dāng)時(shí)，，得；最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，，在，上遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)．不合題意；當(dāng)，即時(shí)，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn)；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在，上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：且，解得，，．故選．6．（2014·重慶·高考真題）已知函數(shù)內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C． D．【答案】A【詳解】試題分析：令，分別作出與的圖像如下，由圖像知是過(guò)定點(diǎn)的一條直線，當(dāng)直線繞著定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與圖像產(chǎn)生不同的交點(diǎn).當(dāng)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，則切線方程為，則，解得，此時(shí)當(dāng)直線在軸和直線及切線和直線之間時(shí)，與圖像產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)或故答案選.7．（2014·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，得或．時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，且，此時(shí)在必有零點(diǎn)，故不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，且，要使得存在唯一的零點(diǎn)，且，只需，即，則，選C．考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．8．（2018·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【詳解】分析：首先根據(jù)g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，得到方程有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)解，即直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫(huà)出函數(shù)的圖像（將去掉），再畫(huà)出直線，并將其上下移動(dòng)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，滿足與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求得結(jié)果.詳解：畫(huà)出函數(shù)的圖像，在y軸右側(cè)的去掉，再畫(huà)出直線，之后上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，并且向下可以無(wú)限移動(dòng)，都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)解，也就是函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿足，即，故選C.9．（2015·天津·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，即方程，即有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)．又做出該函數(shù)的圖象如圖所示，由圖得，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，故函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是故選D．10．（2013·重慶·高考真題）若，則函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間A．和內(nèi) B．和內(nèi)C．和內(nèi) D．和內(nèi)【答案】A【詳解】試題分析：，所以有零點(diǎn)，排除B，D選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，恒成立，沒(méi)有零點(diǎn)，排除C，故選A.另外，也可知內(nèi)有零點(diǎn).考點(diǎn)：零點(diǎn)與二分法.【思路點(diǎn)晴】如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有·，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在使得，這個(gè)也就是方程的根.注意以下幾點(diǎn)：①滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一；②不滿足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn).③由函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)不一定能推出·，如圖所示.所以·是在閉區(qū)間上有零點(diǎn)的充分不必要條件.二、填空題11．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，此時(shí)成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時(shí)，，此時(shí)成立．（2）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，顯然不成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時(shí)，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．故答案為：．12．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得或.①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，合乎題意；④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，可得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；對(duì)于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對(duì)于③，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無(wú)解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.故答案為：①②④.最新?？颊骖}一、單選題1．（2023·貴州貴陽(yáng)·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間內(nèi)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)參數(shù)的范圍，討論兩段函數(shù)的零點(diǎn)情況，利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合端點(diǎn)滿足的條件，即可求解.【詳解】由函數(shù)，其中，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，函數(shù)在內(nèi)最多有1個(gè)零點(diǎn)，不符題意，所以，當(dāng)時(shí)，，由可得或，則在上，有一個(gè)零點(diǎn)，所以在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，即在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋?，，所以，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.2．（2023·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將題意轉(zhuǎn)化為與存在兩個(gè)交點(diǎn)，令，對(duì)求導(dǎo)，令或者，求出斜率為的切線方程，即可求出兩條切線在軸上的截距，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解析：由可知，即與存在兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，令，解得：，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，解得，則在處的切線方程為；令，解得，則在處的切線方程為，所以與的圖象如下表：

且這兩條切線在軸上的截距分別為實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)，若有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】由可得出或，數(shù)形結(jié)合可知直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而可知直線與函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖形可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，解得或，如下圖所示：

由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)有四個(gè)零點(diǎn)，故直線與函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，所以，且，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.4．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，記函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件畫(huà)出函數(shù)圖像，得到與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)在上，另一個(gè)在上，轉(zhuǎn)化為研究，的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究即可解決.【詳解】由的解析式，可知在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，函?shù)的圖像如圖所示，所以在的值域上，任意函數(shù)值都有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，在值域上，任意函數(shù)值都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng).要使恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)在上，另一個(gè)在上，由的圖像開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為，易知，此時(shí)，且，結(jié)合的圖像及，得，則，所以，且，令，，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，故的最大值為.5．（2024·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，討論曲線與曲線，相切以及過(guò)點(diǎn)的情況，求出對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的值，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得的取值范圍.【詳解】作出與的圖像，如圖所示，

由，整理得，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，則，解得，對(duì)應(yīng)圖中分界線①的斜率；再考慮直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，則所求切線的斜率為，所求切線即直線方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，將代入切線方程得，解得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，對(duì)應(yīng)圖中分界線③的斜率；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，則，解得，對(duì)應(yīng)圖中分界線②的斜率.由于函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，由圖可知，實(shí)數(shù)的范圍為.故選：C6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）也有零點(diǎn)B．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）沒(méi)有零點(diǎn)C．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒(méi)有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）有零點(diǎn)D．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒(méi)有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0，1）也沒(méi)有零點(diǎn)【答案】A【分析】函數(shù)分段去絕對(duì)值，利用導(dǎo)數(shù)分類(lèi)討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】去絕對(duì)值可得.時(shí)，，因此函數(shù)在單調(diào)遞增；時(shí)，.（i）時(shí)，，因此在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，，因此在區(qū)間有零點(diǎn)，且在區(qū)間和都沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間和都沒(méi)有零點(diǎn)，故C選項(xiàng)和D選項(xiàng)均錯(cuò)誤.（ii）時(shí)，令得，因此函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，.（1）時(shí)，在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)，而在區(qū)間沒(méi)有零點(diǎn).（2）時(shí)，在區(qū)間沒(méi)有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.①時(shí)，，因此在區(qū)間和都有零點(diǎn)，此時(shí)，故在區(qū)間也有零點(diǎn).②時(shí)，在區(qū)間沒(méi)有零點(diǎn).綜上所述，本題正確答案是A.故選：A7．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個(gè)交點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合即可解答.【詳解】

依題意，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即有四個(gè)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)函數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；結(jié)合圖象，可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A8．（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)表示m，n中的較小數(shù)．若函數(shù)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（