第1頁（共1頁）2025年高考備考高中數學個性化分層教輔尖子生篇《復數》一．選擇題（共10小題）1．（2024?九龍坡區校級模擬）已知z=3+5ii，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023秋?建平縣校級期末）已知復數z滿足（2﹣i）z＝3+i，則z的虛部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i3．（2024春?廣豐區校級期末）若復數z＝（5﹣12i）（cosθ+isinθ）（θ∈R）（其中i是虛數單位），則|z|＝（）A．5 B．12 C．13 D．174．（2024?下陸區校級三模）已知復數z＝a+bi（a，b∈R），且|z|＝1，z+1z+1=k+12i（A．32 B．±12 C．±5．（2024?新鄭市校級一模）復數z滿足|z﹣1|+|z+1|＝4，則|z|的取值范圍是（）A．[3，2] B．[1，2] C．[2，3] D．[1，3]6．（2024春?萊西市期末）若z是復數，|z+2﹣2i|＝2，則|z+1﹣i|+|z|的最大值是（）A．2 B．52 C．22+2 D．327．（2024?安慶模擬）復數z滿足（4+3i+z）i＝2﹣i，則|z|＝（）A．10 B．26 C．34 D．58．（2024春?寧波期末）已知復數z1＝1+i是關于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，若復數z滿足|z﹣z1|＝|p﹣q|，復數z在復平面內對應的點Z的集合為圖形M，則M圍成的面積為（）A．π B．4π C．16π D．25π9．（2024春?寶山區校級期末）已知復數z滿足|z﹣1|＝1，|z|的取值范圍為（）A．[0，2] B．（0，2） C．[0，4] D．（0，4）10．（2024春?普陀區校級期末）z1，z2都是復數，則下列命題中正確的是（）A．若z12+z22=0，則B．|zC．|z1?z2|＝|z1|?|z2| D．|z1|＜1，則﹣1＜z1＜1二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024?河池模擬）已知i為虛數單位，復數z1，z2為方程x2﹣2x+5＝0的兩個根，則下列選項中正確的有（）A．|z1|＝|z2| B．z1C．復數z1在復平面上對應的點在第二象限 D．z（多選）12．（2024?天河區校級模擬）已知復數z0＝1﹣i，z＝x+yi（x，y∈R），則下列結論正確的是（）A．方程|z﹣z0|＝2表示的z在復平面內對應點的軌跡是圓 B．方程|z?z0|+|z?zC．方程|z?z0|?|z?zD．方程|z+12(（多選）13．（2024春?武都區校級期末）已知復數z=6+4i1+iA．z的虛部為5i B．z的實部為1 C．在復平面內z對應的點在第一象限 D．|z|＝6（多選）14．（2024春?德州期末）已知復數z≠0，下列結論正確的有（）A．z2B．zzC．若z2=(zD．若z+z=0，則（多選）15．（2024?重慶模擬）已知復數z，w均不為0，則（）A．z2＝|z|2 B．zz=z2|z|三．填空題（共5小題）16．（2024春?息縣校級期末）已知z（2+i）＝1﹣3i，則|z|＝．17．（2024春?菏澤期末）若虛數3﹣i是關于x的實系數方程2x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一個根，則m＝．18．（2024春?巴彥淖爾期末）復數z=2+2i1?i的虛部為19．（2024春?浦東新區校級期中）已知復數z滿足|z﹣1|＝1，復數z0滿足|z0?2023+2024i|=||z|4?4z?20．（2024春?溫州期末）已知復數z滿足z（1+i）＝4﹣2i，則|z|＝．四．解答題（共5小題）21．（2024春?江西期末）在復平面內，復數z＝a+bi（a，b∈R）對應的點為Z（a，b），連接OZ（O為坐標原點）可得向量OZ→，則稱復數z為向量OZ→的對應復數，向量OZ→（1）若復數z1＝x+2i，z2＝1+（x﹣1）i（x∈R）的對應向量共線，求實數x的值；（2）已知復數z1=1+3i?sinx，z2＝cos2x+2icosx的對應向量分別為OZ1→和O22．（2024春?內江期末）復數是由意大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受．材料：形如z＝a+bi（a，b∈R）的數稱為復數的代數形式．而任何一個復數z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即a=rcosθb=rsinθ，其中r為復數z的模，θ叫做復數z的輻角，我們規定0≤θ＜2π范圍內的輻角θ的值為輻角的主值，記作argz．復數z＝r（cosθ+isinθ）叫做復數的三角形式．由復數的三角形式可得出，若OZ1→=r1(cosθ1+isinθ1)，OZ2→=r2(cosθ2+isinθ2)，則r1（cosθ1+isinθ1）?r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+請根據所學知識，回答下列問題：（1）試將z=1?3（2）設復數z1=2a?3i，z2=2b+i，z3=a+bi，且|z3|＝1．若復數z1、z2在復平面上對應的點分別為A、B，且（3）已知單位圓以坐標原點O為圓心，點A為該圓上一動點（縱坐標大于0），點P（2，0），以PA為邊作等邊△PAQ，且Q在AP上方．求線段OQ長度的最大值．23．（2024?貴陽模擬）在復數集中有這樣一類復數：z＝a+bi與z=a﹣bi（a，b∈R），我們把它們互稱為共軛復數，b（1）z+z=2a（2）z?z=2bi（當（3）z=z?z∈（4）(z（5）z?z=（6）兩個復數和、差、積、商（分母非零）的共軛復數，分別等于兩個復數的共軛復數的和、差、積、商．請根據所學復數知識，結合以上性質，完成下面問題：（1）設z≠i，|z|＝1．求證：z1+（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求z1（3）設z＝x+yi，其中x，y是實數，當|z|＝1時，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值．24．（2024春?浠水縣校級期末）現定義“n維形態復數zn”：zn＝cosnθ+isinnθ，其中i為虛數單位，n∈N*，θ≠0．（1）當θ=π（2）若“2維形態復數”與“3維形態復數”相等，求sin(θ+π（3）若正整數m，n（m＞1，n＞2）滿足zm＝z1，zn=zm2，證明；存在有理數q，使得m＝q?n25．（2024春?滄州期末）已知復數z1＝2m﹣1+mi，z2＝m+mi，m∈R在復平面內表示的點分別為Z1，Z2，O為坐標原點．（1）若復數z1+z2在復平面內對應的點在直線y＝x+2上，求|z1+z2|的值；（2）若OZ1→與O

2025年高考備考高中數學個性化分層教輔尖子生篇《復數》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?九龍坡區校級模擬）已知z=3+5ii，則A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】復數的代數表示法及其幾何意義；復數的運算．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】D【分析】根據題意，利用復數的四則運算求出z，結合復數的幾何意義分析可得答案．【解答】解：根據題意，因為z=3+5i所以它在復平面上對應的點為（5，﹣3），該點位于第四象限．故選：D．【點評】本題考查復數的計算，涉及復數的幾何意義，屬于基礎題．2．（2023秋?建平縣校級期末）已知復數z滿足（2﹣i）z＝3+i，則z的虛部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考點】復數的除法運算．【專題】方程思想；定義法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】B【分析】先由等式（2﹣i）z＝3+i，反解出z，再利用復數的除法運算法則，求出復數z即可．【解答】解：由已知（2﹣i）z＝3+i，得z=3+i所以z的虛部為1．故選：B．【點評】本題考查復數的運算，屬于基礎題．3．（2024春?廣豐區校級期末）若復數z＝（5﹣12i）（cosθ+isinθ）（θ∈R）（其中i是虛數單位），則|z|＝（）A．5 B．12 C．13 D．17【考點】復數的模；共軛復數．【專題】轉化思想；定義法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】C【分析】根據復數的模的性質、模長公式和共軛復數的模的性質可求出結果．【解答】解：因為|z|＝|（5﹣12i）（cosθ+isinθ）|＝|5﹣12i|?|cosθ+isinθ|=13cos所以|z故選：C．【點評】本題考查復數模的運算，屬于中檔題．4．（2024?下陸區校級三模）已知復數z＝a+bi（a，b∈R），且|z|＝1，z+1z+1=k+12i（A．32 B．±12 C．±【考點】復數的運算；共軛復數．【答案】C【分析】由已知結合復數的四則運算及復數相等的條件即可求解．【解答】解：因為z＝a+bi（a，b∈R），|z|＝1，所以a2+b2＝1，因為z=(a+1=a2則b=12，a當b=12，a=32當當b=12，a=?32故選：C．【點評】本題主要考查了復數的四則運算及復數相等條件的應用，屬于中檔題．5．（2024?新鄭市校級一模）復數z滿足|z﹣1|+|z+1|＝4，則|z|的取值范圍是（）A．[3，2] B．[1，2] C．[2，3] D．[1，3]【考點】復數的模．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】A【分析】根據已知條件可得，復數z對應的點的軌跡是以F1（﹣1，0），F2（1，0）為焦點，兩條坐標軸為對稱軸，長軸長為4的橢圓，再結合橢圓的性質，以及復數模公式，即可求解．【解答】解：∵復數z滿足|z﹣1|+|z+1|＝4，∴復數z對應的點的軌跡是以F1（﹣1，0），F2（1，0）為焦點，兩條坐標軸為對稱軸，長軸長為4的橢圓，即2a＝4，解得a＝2，∴該橢圓的短軸長b=4?1|z|表示橢圓上的點到原點的距離，則|z|的最大值為橢圓的長半軸a，最小值為短半軸b，故|z|的取值范圍為[3，2]．故選：A．【點評】本題主要考查復數模公式，考查轉化能力，屬于中檔題．6．（2024春?萊西市期末）若z是復數，|z+2﹣2i|＝2，則|z+1﹣i|+|z|的最大值是（）A．2 B．52 C．22+2 D．32【考點】復數的模．【專題】計算題；數學運算．【答案】D【分析】設z＝x+yi（x，y∈R），由|z+2﹣2i|＝2知，動點P（x，y）的軌跡可看作以C（﹣2，2）為圓心，2為半徑的圓，|z+1﹣i|+|z|可看作點P到A（﹣1，1）和O（0，0）的距離之和，可知當|z+1﹣i|+|z|取得最大值時P、A、O共線．【解答】解：設z＝x+yi（x，y∈R），由|z+2﹣2i|＝2知，動點P（x，y）的軌跡可看作以C（﹣2，2）為圓心，2為半徑的圓，|z+1﹣i|+|z|可看作點P到A（﹣1，1）和O（0，0）的距離之和，而|CO|＝22，|CA|=2當|z+1﹣i|+|z|取得最大值時P、A、O共線，最大值為|PA|+|PO|＝（|CA|+2）+（|CO|+2）＝32+故選：D．【點評】本題考查復數求模及模的幾何意義，屬中檔題．7．（2024?安慶模擬）復數z滿足（4+3i+z）i＝2﹣i，則|z|＝（）A．10 B．26 C．34 D．5【考點】復數的模；復數的運算．【專題】轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】D【分析】利用復數的運算性質以及模的求解公式即可求解．【解答】解：由已知可得z=2?ii?4?3i=所以|z|=(?5)2故選：D．【點評】本題考查了復數的運算性質以及模的求解，屬于基礎題．8．（2024春?寧波期末）已知復數z1＝1+i是關于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，若復數z滿足|z﹣z1|＝|p﹣q|，復數z在復平面內對應的點Z的集合為圖形M，則M圍成的面積為（）A．π B．4π C．16π D．25π【考點】復數對應復平面中的點．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】C【分析】先由z1＝1+i是方程的解求出p，q，然后由復數減法的幾何意義求解即可．【解答】解：z1＝1+i是關于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一個根，（1+i）2+p（1+i）+q＝0，化簡得（p+q）+（2+p）i＝0，∴p+q=02+p=0，解得p＝﹣2，q∴|z﹣z1|＝|p﹣q|＝|﹣2﹣2|＝4，由復數減法的幾何意義，|z﹣z1|表示復數z對應的點和z1＝1+i表示的點之間的距離，而z1＝1+i表示點（1，1），即復數z在復平面內對應的點Z的集合為以點（1，1）為圓心，4為半徑的圓，即圖形M為以點（1，1）為圓心4為半徑的圓，則M圍成的面積為S＝π×42＝16π．故選：C．【點評】本題考查復數的幾何意義，屬于基礎題．9．（2024春?寶山區校級期末）已知復數z滿足|z﹣1|＝1，|z|的取值范圍為（）A．[0，2] B．（0，2） C．[0，4] D．（0，4）【考點】復數的代數表示法及其幾何意義．【專題】轉化思想；定義法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】A【分析】根據題意，由復數的幾何意義，代入計算，即可求解．【解答】解：因為|z﹣1|＝1，所以z在復平面對應的軌跡是以A（1，0）為圓心，r＝1為半徑的圓，且|z|表示圓上的點到原點O（0，0）的距離，則|z|max＝|AO|+r＝1+1＝2，|z|min＝|AO|﹣r＝1﹣1＝0，所以|z|的取值范圍為[0，2]．故選：A．【點評】本題考查復數的幾何意義，屬于中檔題．10．（2024春?普陀區校級期末）z1，z2都是復數，則下列命題中正確的是（）A．若z12+z22=0，則B．|zC．|z1?z2|＝|z1|?|z2| D．|z1|＜1，則﹣1＜z1＜1【考點】復數的運算；復數的模．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】C【分析】舉反例即可判斷選項A，由復數的模的運算與復數的乘法運算可判斷選項B，C；由復數的模的幾何意義可判斷選項D．【解答】解：對于A，取z1＝i，z2＝1，有z12+對于B，設z1＝a+bi（a，b∈R），當a，b均不為0時，z12=（a+bi）2＝a2﹣b2而|z1|2＝a2+b2為實數，所以z12=|z1|2對于C，取z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d∈R），有z1?z2＝ac﹣bd+（ad+bc）i，|z1?z2|=(ac?bd而|z1|?|z2|=a2+即|z1?z2|＝|z1|?|z2|，故C正確；對于D，根據復數的模可以比較大小，復數一般不可比較大小，只有復數是實數時才可比較大小，由|z1|＜1，可得z1不一定是實數，故D錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查復數的模，考查轉化能力，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024?河池模擬）已知i為虛數單位，復數z1，z2為方程x2﹣2x+5＝0的兩個根，則下列選項中正確的有（）A．|z1|＝|z2| B．z1C．復數z1在復平面上對應的點在第二象限 D．z【考點】復數的運算；復數的模．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】ABD【分析】由題意可知：z2=z1，進而可判斷A；結合z?z【解答】解：對于選項A：由方程x2﹣2x+5＝0解得x＝1±2i，可知：z2=z1，所以對于選項B：對于任意復數z＝a+bi，則z=a?bi，可得z?z=(a+bi)(a?bi)=a2對于選項C：由方程x2﹣2x+5＝0解得x＝1±2i，即z1＝1+2i或z1＝1﹣2i，可知復數z1在復平面上對應的點在第一象限或第四象限，故C錯誤；對于選項D：由選項B可知：=z1z2?故選：ABD．【點評】本題考查復數運算、復數模，考查數學運算能力，屬于中檔題．（多選）12．（2024?天河區校級模擬）已知復數z0＝1﹣i，z＝x+yi（x，y∈R），則下列結論正確的是（）A．方程|z﹣z0|＝2表示的z在復平面內對應點的軌跡是圓 B．方程|z?z0|+|z?zC．方程|z?z0|?|z?zD．方程|z+12(【考點】復數的代數表示法及其幾何意義．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】AC【分析】根據復數模的幾何意義，及橢圓、雙曲線的定義逐項分析即可．【解答】解：|z﹣z0|＝2表示復平面內點（x，y）與點（1，﹣1）之間的距離為定值2，則z在復平面內對應點的軌跡是圓，故A正確；|z?z0|+|z?z0又2=|z0?z0|，不滿足橢圓的定義2a＞|F|z?z0|?|z?z0又2=|z0?z0|，滿足雙曲線的定義2a＜|F對于D，|z+12(z0+z0表示復平面內點（x，y）到點（﹣1，0）和（1，﹣1）的距離相等，軌跡是直線，故D不正確．故選：AC．【點評】本題主要考查復數的幾何意義，屬于中檔題．（多選）13．（2024春?武都區校級期末）已知復數z=6+4i1+iA．z的虛部為5i B．z的實部為1 C．在復平面內z對應的點在第一象限 D．|z|＝6【考點】復數的運算．【專題】轉化思想；轉化法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】BC【分析】首先把復數z=6+4i1+i2023化簡，得到【解答】解：因為z==6+4i＝1+5i，所以虛部為5，實部為1，故A錯誤，B正確；由于z＝1+5i，對應的點為（1，2），所以復平面內z對應的點在第一象限，故C正確；又因為|z|=12+故選：BC．【點評】本題考查復數的運算，屬于中檔題．（多選）14．（2024春?德州期末）已知復數z≠0，下列結論正確的有（）A．z2B．zzC．若z2=(zD．若z+z=0，則【考點】復數的乘法及乘方運算；共軛復數．【專題】轉化思想；定義法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】ABD【分析】設z＝x+yi，（x2+y2≠0），由復數的概念、復數模的定義以及復數的四則運算即可逐一驗算各個選項．【解答】解：設z＝x+yi，（x，y∈R，x2+y2≠0），對于A，z2=(x+yi)對于B，zz=(x+yi)(x?yi)=x對于C，若z＝1，則z2=1=(z)對于D，若z+z=(x+yi)+(x?yi)=2x=0，所以又x2+y2≠0，所以y≠0，即z為純虛數，故D正確．故選：ABD．【點評】本題考查復數的概念、復數模的定義以及復數的四則運算等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．（多選）15．（2024?重慶模擬）已知復數z，w均不為0，則（）A．z2＝|z|2 B．zz=z2|z|【考點】復數的運算；共軛復數；復數的模．【專題】轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】BCD【分析】利用復數的運算性質對四個選項逐一判斷可得答案．【解答】解：∵復數z，w均不為0，對于A，不妨令z＝i，則z2＝﹣1，|z|2＝1，z2≠|z|2，A錯誤；對于B，zz=z?z對于C，由復數的運算性質，可得z?w=z?對于D，|zw|故|zw|=故選：BCD．【點評】本題考查復數的運算，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024春?息縣校級期末）已知z（2+i）＝1﹣3i，則|z|＝2．【考點】復數的模．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；邏輯推理；數學運算．【答案】2．【分析】直接利用復數的運算求出結果．【解答】解：設z＝a+bi，（a、b∈R），故（a+bi）（2+i）＝1﹣3i，故（2a﹣b）+（a+2b）i＝1﹣3i，故2a?b=1a+2b=?3，解得a=?所以|z|=a故答案為：2．【點評】本題考查的知識點：復數的運算，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．17．（2024春?菏澤期末）若虛數3﹣i是關于x的實系數方程2x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一個根，則m＝﹣12．【考點】復數的混合運算．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；函數的性質及應用；數系的擴充和復數；邏輯推理；數學運算．【答案】﹣12．【分析】直接利用一元二次方程根和系數的關系求出結果．【解答】解：由于3﹣i是方程2x2+mx+n＝0的一根，故另一根為3+i，所以3+i+3?i=6=?m2，解得故答案為：﹣12．【點評】本題考查的知識點：復數的運算，一元二次方程根和系數的關系，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．18．（2024春?巴彥淖爾期末）復數z=2+2i1?i的虛部為【考點】復數的除法運算．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；邏輯推理；數學運算．【答案】2．【分析】直接利用復數的運算求出結果．【解答】解：由于z=2+2i1?i=2(故答案為：2．【點評】本題考查的知識點：復數的運算，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．19．（2024春?浦東新區校級期中）已知復數z滿足|z﹣1|＝1，復數z0滿足|z0?2023+2024i|=||z|4?4z?z2【考點】復數的代數表示法及其幾何意義；共軛復數．【專題】整體思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】16π．【分析】由復數的幾何意義可知，復數z對應的點P在以（1，0）為圓心，半徑長為1的圓上，又因為||z|4﹣4z?z2+4z2|＝|z|2?|z﹣2|2，而|z|和|z﹣2|表示點P到原點【解答】解：因為|z﹣1|＝1，所以復數z對應的點P在以（1，0）為圓心，半徑長為1的圓上，||z|4﹣4z?z2+4z2|＝|（z?z）2﹣4z?z+4z2|＝|z2（z2﹣4z+4）|＝|z2(z?2)2|＝|z注意到|z|和|z﹣2|表示點P到原點O和點A（2，0）的距離，而三角形AOP是直角三角形，所以|z|故|z0﹣2023+2024i|≤4，即z0對應的點到（2023，﹣2024）的距離不超過4，所以z0對應的點構成以（2023，﹣2024）為圓心、半徑長為4的圓，面積是16π．故答案為：16π．【點評】本題主要考查了復數的幾何意義，屬于中檔題．20．（2024春?溫州期末）已知復數z滿足z（1+i）＝4﹣2i，則|z|＝10．【考點】復數的模．【專題】整體思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】10．【分析】由已知結合復數的四則運算及復數的性質及模長公式即可求解．【解答】解：由題意得，z=4?2i所以|z|＝|4?2i1+i|=故答案為：10．【點評】本題主要考查了復數的模長公式的應用，屬于基礎題．四．解答題（共5小題）21．（2024春?江西期末）在復平面內，復數z＝a+bi（a，b∈R）對應的點為Z（a，b），連接OZ（O為坐標原點）可得向量OZ→，則稱復數z為向量OZ→的對應復數，向量OZ→（1）若復數z1＝x+2i，z2＝1+（x﹣1）i（x∈R）的對應向量共線，求實數x的值；（2）已知復數z1=1+3i?sinx，z2＝cos2x+2icosx的對應向量分別為OZ1→和O【考點】復數對應復平面中的點．【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值；三角函數的圖象與性質；平面向量及應用；數系的擴充和復數；邏輯推理；數學運算．【答案】（1）2或﹣1；（2）π；單調遞增區間為[?π3+kπ，kπ+π6【分析】（1）直接利用向量共線的充要條件求出x的值；（2）利用三角函數的關系式的變換，把函數的關系式變換成正弦型函數，進一步利用函數的性質求出結果．【解答】解：（1）由于復數z1＝x+2i，z2＝1+（x﹣1）i，故OZ1→由于OZ1→∥OZ2→，所以x（x（2）由于z1=1+3sinxi，z2＝cos2x+2cosxi，所以所以f(x)=O故函數f（x）的最小正周期為2π2令?π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2（k∈故函數的單調遞增區間為[?π3+kπ，kπ+π6【點評】本題考查的知識點：向量的坐標運算，向量共線的充要條件，三角函數的關系式的變換，正弦型函數的性質，主要考查學生的運算能力，屬于中檔題．22．（2024春?內江期末）復數是由意大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受．材料：形如z＝a+bi（a，b∈R）的數稱為復數的代數形式．而任何一個復數z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即a=rcosθb=rsinθ，其中r為復數z的模，θ叫做復數z的輻角，我們規定0≤θ＜2π范圍內的輻角θ的值為輻角的主值，記作argz．復數z＝r（cosθ+isinθ）叫做復數的三角形式．由復數的三角形式可得出，若OZ1→=r1(cosθ1+isinθ1)，OZ2→=r2(cosθ2+isinθ2)，則r1（cosθ1+isinθ1）?r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+請根據所學知識，回答下列問題：（1）試將z=1?3（2）設復數z1=2a?3i，z2=2b+i，z3=a+bi，且|z3|＝1．若復數z1、z2在復平面上對應的點分別為A、B，且（3）已知單位圓以坐標原點O為圓心，點A為該圓上一動點（縱坐標大于0），點P（2，0），以PA為邊作等邊△PAQ，且Q在AP上方．求線段OQ長度的最大值．【考點】復數的三角表示．【專題】轉化思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】（1）z=2(cos5π（2）a=?1（3）最大值為3．【分析】（1）根據復數的三角形式的定義直接求解即可；（2）根據所給材料中的復數的乘法幾何意義求解即可；（3）解法一：設A（cosθ，sinθ），θ∈（0，π），PA→所表示的復數為z4，PQ→所表示的復數為z5，根據復數的三角形式求出Q的坐標，從而可表示出|OQ|，化簡變形后可求出其最大值；解法二：連接OA，設|PA|＝|PQ|＝|QA|＝t，∠OPA＝α【解答】解：（1）由于z=1?3i，故|z|＝2，所以所以cosθ=1因為0≤θ＜2π，所以θ=5π所以z=2(cos5π（2）由材料一復數的乘法幾何意義可知，復數z2乘以一個模長為1，輻角為90°的復數z0，即為復數z1．故z2故2b=?3?1=2a，所以（3）解法一：設A（cosθ，sinθ），θ∈（0，π），PA→所表示的復數為z4，PQ→所表示的復數為z5，則z4＝cosθz5故Q(cos(θ?π得|OQ|==co=5+4sin(θ?所以當sin(θ?π6)=1故線段OQ長度的最大值為3．解法二：連接OA，設|PA|＝|PQ|＝|QA|＝t，∠OPA＝α，∠POA＝θ，由|OA|＝1，在△AOP中可得cosα=t在△AOP中可得AOsinα=APsinθ，于是sinθ＝在△AOP中可得|AP|2＝|OA|2+|PO|2﹣2|OP|?|OA|cosθ，于是t2＝5﹣4cosθ，在△QOP中可得|OQ|化簡得|OQ|故|OQ|的最大值為3．．【點評】本題考查的關鍵是對所給材料的正確理解，然后利用材料中的知識解決問題，是中檔題．23．（2024?貴陽模擬）在復數集中有這樣一類復數：z＝a+bi與z=a﹣bi（a，b∈R），我們把它們互稱為共軛復數，b（1）z+z=2a（2）z?z=2bi（當（3）z=z?z∈（4）(z（5）z?z=（6）兩個復數和、差、積、商（分母非零）的共軛復數，分別等于兩個復數的共軛復數的和、差、積、商．請根據所學復數知識，結合以上性質，完成下面問題：（1）設z≠i，|z|＝1．求證：z1+（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求z1（3）設z＝x+yi，其中x，y是實數，當|z|＝1時，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值．【考點】復數的運算；共軛復數；復數的模．【專題】整體思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】（1）證明見解答；（2）z1z2=?（3）|z2﹣z+1|max＝3，|z2﹣z+1|min＝0．【分析】（1）設z＝a+bi（a，b∈R），利用z?z=1，z+z=2a∈R（2）設z1z2=p+qi（p，q∈R），結合題意，可得關于（3）設z＝cosθ+isinθ，θ∈R，依題意，可得|z2﹣z+1|＝|2cosθ﹣1|，從而可求得|z2﹣z+1|的最大值和最小值．【解答】解：（1）證明：設z＝a+bi（a，b∈R），∵z≠i，|z|＝1，∴z?z=1，z+z=2a∴z1+（2）設z1z2=p+qi（p，則z1＝（p+qi）z2，∵|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，∴3＝|z1|＝|（p+qi）||z2|＝5p∴p2+q2=925又7＝|z1﹣z2|＝|（p+qi）z2﹣z2|＝|z2||（p﹣1）+qi|＝5(p?1)2∴（p﹣1）2+q2=4925聯立①②，解得p=?310，q＝±∴z1z2=?（3）∵|z|＝1，設z＝cosθ+isinθ，θ∈R，則|z2﹣z+1|＝|z2﹣z+z?z|＝|z（z+z?1）|＝|z||z+z∵﹣1≤cosθ≤1，∴﹣3≤2cosθ﹣1≤1，∴|z2﹣z+1|max＝3，|z2﹣z+1|min＝0．【點評】本題考查復數的運算及其性質的應用，考查轉化與化歸思想及方程思想的綜合運用，屬于中檔題．24．（2024春?浠水縣校級期末）現定義“n維形態復數zn”：zn＝cosnθ+isinnθ，其中i為虛數單位，n∈N*，θ≠0．（1）當θ=π（2）若“2維形態復數”與“3維形態復數”相等，求sin(θ+π（3）若正整數m，n（m＞1，n＞2）滿足zm＝z1，zn=zm2，證明；存在有理數q，使得m＝q?n【考點】復數的運算；虛數單位i、復數．【專題】整體思想；綜合法；數系的擴充和復數；邏輯推理；數學運算．【答案】見試題解答內容【分析】（1）由θ=π4可求出z1，z（2）由已知結合復數的四則運算及復數的幾何意義可求θ，代入即可求解；（3）由已知結合復數的幾何意義及復數相等條件可表示θ，從而可證．【解答】證明：（1）當θ=π4時，z1＝cosπ4+z2＝cosπ2+isinz12=（22+22i解：（2）因為z2＝cos2θ+isin2θ，z3＝cos3θ+isin3θ，則cos2θ=cos3θsin2θ=sin3θ因為θ≠0，所以θ＝2kπ，k∈Z，故sin(θ+π4)=證明：（3）因為zm＝z1，zn=zm2所以cosmθ+isinmθ＝cosθ+isinθ，cosnθ+isinnθ＝（cosmθ+isinmθ）2＝cos2θ+isin2θ，所以mθ＝θ+2k1π，即θ=2k1πm?1，同理，nθ＝2θ+2k2π，k2∈Z，所以θ=2k2πn?2，所以2k1πm?1=2k2πn?2，因為θ≠0，所以k1k2≠0，m?1n?2=k1k2，即m=k1k2（n﹣2）+1=k1k2?故存在有理數q=k1k2，使得m＝q?【點評】本題以新定義為載體，主要考查了復數的四則運算及幾何意義的應用，屬于難題．25．（2024春?滄州期末）已知復數z1＝2m﹣1+mi，z2＝m+mi，m∈R在復平面內表示的點分別為Z1，Z2，O為坐標原點．（1）若復數z1+z2在復平面內對應的點在直線y＝x+2上，求|z1+z2|的值；（2）若OZ1→與O【考點】復數的代數表示法及其幾何意義；復數的模．【專題】整體思想；綜合法；數系的擴充和復數；數學運算．【答案】（1）25；（2）(?∞，0)∪(1【分析】（1）由已知結合復數的幾何意義及模長公式即可求解；（2）結合復數的幾何意義及向量共線定理即可求解．【解答】解：（1）因為復數z1＝2m﹣1+mi，z2＝m+mi，所以z1+z2＝3m﹣1+2mi，由題意得，2m＝3m﹣1+2，解得m＝﹣1．所以z1+z2＝﹣4﹣2i．所以|z（2）OZ1→因為OZ1→與O所以（2m﹣1，m）?（m，m）＞0，即（2m﹣1）m+m2＞0，解得m＞13或當兩向量共線且同向時，設OZ1→即（2m﹣1，m）＝λ（m，m）＝（λm，λm），所以2m?1=λmm=λm，解得λ＝1，m所以m≠1，綜上，實數m的取值范圍為(?∞，0)∪(1【點評】本題主要考查了復數的幾何意義的應用，屬于中檔題．

考點卡片1．虛數單位i、復數【知識點的認識】i是數學中的虛數單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a+bi的數叫做復數，把a＝0且b≠0的數叫做純虛數，a≠0，且b＝0叫做實數．復數的模為a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的數叫復數，其中2．復數的代數表示法及其幾何意義【知識點的認識】1、復數的代數表示法建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面．在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點（0，0），對應復數0．即復數z＝a+bi→復平面內的點z（a，b）→平面向量OZ→2、除了復數與復平面內的點和向量的一一對應關系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復數z對應的點到原點的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復數z對應的點與復數z0對應的點之間的距離．3、復數中的解題策略：（1）證明復數是實數的策略：①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?z=z（2）證明復數是純虛數的策略：①z＝a+bi為純虛數?a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0時，z?z=2bi為純虛數；③z是純虛數?z+z3．復數對應復平面中的點【知識點的認識】1、復數的代數表示法建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面．在復平面內，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點（0，0），對應復數0．即復數z＝a+bi→復平面內的點z（a，b）→平面向量OZ→2、除了復數與復平面內的點和向量的一一對應關系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復數z對應的點到原點的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復數z對應的點與復數z0對應的點之間的距離．【解題方法點撥】﹣點的表示：將復數a+bi作為復平面上的點（a，b）進行圖示．﹣幾何運算：利用復平面上的點進行幾何運算和分析．【命題方向】﹣復平面的幾何表示：考查復數在復平面中的點表示及其幾何意義．﹣復數的幾何應用：如何在復平面中使用復數解決幾何問題．4．共軛