專題02矩形的性質與判定（八大類型）【題型1矩形的性質】【題型2直角三角形斜邊上的中線】【題型3矩形的判定】【題型4矩形的性質與判定綜合運用】【題型5矩形形中最小值問題】【題型6梯子模型運用】【題型7矩形中折疊問題】【題型8矩形中動點問題】【題型1矩形的性質】1．（2023?榕城區一模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．若∠BOC＝120°，AB＝4，則AD的長為（）A．8 B． C． D．42．（2023春?西湖區校級期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交AD于點E，若AB＝6，BC＝8，則AE的長為（）A． B．6 C． D．53．（2023春?洪山區期中）如圖，將5個大小相同的長方形置于平面直角坐標系中，若頂點A（2，9），B（6，3），則頂點C的坐標是（）A．（4，5） B．（3，5） C．（4，7） D．（5，6）4．（2023春?河北區期中）一個長方形在平面直角坐標系中三個頂點的坐標為（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），則第四個頂點的坐標為（）A．（2，2） B．（2，3） C．（3，3） D．（3，2）5．（2023春?新市區期中）如圖，已知在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，則∠EAC的度數是（）A．18° B．36° C．45° D．72°6．（2023?灞橋區校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于點E，點F、G分別是AD、AE的中點，則FG的長為（）A． B．5 C．4 D．7．（2023春?南川區期中）如圖，在矩形OABC中，點B的坐標是（3，6），則A，C兩點間的距離是（）A． B． C． D．68．（2023春?天河區校級期中）如圖，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，點R、P分別是CD，BC上的定點，點E、F分別是AP，RP的中點，若CR＝9，則EF＝（）?A．12 B．8 C．12.5 D．不能確定9．（2023春?珠海校級期中）已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，對角線AC、BD相交于點O，點P是線段AD上任意一點，且PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE+PF等于（）A．6 B．5 C． D．10．（2023春?廬陽區校級期中）如圖，在矩形ABCD中，M為BC邊上一點，連接AM，過點D作DE⊥AM于E，若，AE＝2EM，則CM的長為（）A． B． C．1 D．211．（2023春?甌海區期中）如圖，長方形ABCD的長AB為8，寬AD為6，將這個長方形向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到長方形EFGH，則陰影部分的面積為（）A．30 B．32 C．36 D．4012．（2023春?江南區校級期中）下列性質中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A．有一個內角等于90° B．對角線互相平分 C．鄰邊相等 D．對角線相等13．（2023春?廬江縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點M，N，則AM的長為（）A． B． C． D．【題型2直角三角形斜邊上的中線】14．（2023春?海淀區校級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D為線段AB的中點，則∠BCD＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°15．（2023春?張北縣校級期中）如圖，一架3m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻上，M為AB中點，當梯子的上端沿墻壁下滑時，OM的長度將（）A．變大 B．變小 C．不變 D．先變大后變小16．（2023?安康一模）如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，過點D作DE⊥AB，連接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．517．（2022秋?競秀區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，若CD＝3，AB的長為（）A．6 B．5 C．3 D．1.5【題型3矩形的判定】18．（2023春?徐匯區期中）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的（）A．當AB＝BC時，它是菱形 B．當AD⊥CD時，它是菱形 C．當∠ABC＝90°時，它是矩形 D．當AC＝BD時，它是矩形19．（2023春?南崗區期中）下列說法正確的是（）A．一組對邊平行且一組鄰角相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線垂直且互相平分的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形20．（2023春?青山區期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，添加下列條件不能判定平行四邊形ABCD為矩形的是（）A.∠BAD＝90° B．∠BAD＝∠ABC C．∠BAO＝∠OBA D．∠BOA＝90°21．（2023?咸陽一模）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列條件，可以判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBO22．（2023春?宿豫區期中）如圖，在菱形ABCD中的對角線AC、BD相交于點O，OE∥CD，DE∥AC．求證：四邊形AODE是矩形．23．（2023?朝陽區一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F在BD上，AE∥CF，連接AF，CE．（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；（2）若∠EAO+∠CFD＝180°，求證：四邊形AECF是矩形．24．（2023春?東莞市校級月考）如圖，將?ABCD的邊AB延長至點E，使BE＝AB，連接DE，EC，BD，DE交BC于點O．（1）求證：△ABD≌△BEC；（2）若∠BOD＝2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．25．（2023?順義區一模）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，將對角線BD向兩個方向延長，分別至點E和點F，且使BE＝DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若OF＝OA，求證：四邊形AECF是矩形．【題型4矩形的性質與判定綜合運用】26．（2023春?長沙期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E為菱形ABCD外一點，連接CE、DE，且CE∥BD，DE∥AC．（1）求證：四邊形OCED為矩形；（2）若菱形ABCD的邊長為4，∠BCD＝60°，求△ADE的面積．27．（2023春?武昌區校級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作BC的垂線，垂足為點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的長．28．（2023?延慶區一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接AC，∠BAC＝90°．點M為邊AD的中點，連接CM并延長，交BA的延長線于點E，連接DE．（1）求證：四邊形ACDE是矩形；（2）若BE＝10，DE＝12，求四邊形BCDE的面積．29．（2023?豐臺區一模）如圖，在?ABCD中，∠ACB＝90°，過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E，連接AE交CD于點F．（1）求證：四邊形ACED是矩形；（2）連接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的長．30．（2023春?麒麟區校級期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC垂直BD于點O，O、F分別為AC、AE中點，分別過點C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點E．（1）求證：四邊形ODEC是矩形；（2）若OF＝1，∠CAE＝30°時，求AC的長．31．（2023春?鄂城區期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，EF⊥AB于F點，OG∥EF交AB于點G．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．32．（2023春?思明區校級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．過點A作AE∥BD，過點D作DE∥AC交AE于點E．（1）求證：四邊形AODE是矩形；（2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求四邊形AODE的面積．33．（2023春?雨花區校級月考）如圖，已知點E是?ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，連接AC，BF，且AF＝BC．（1）求證：四邊形ABFC為矩形；（2）若△AFD是等邊三角形，且邊長為，求四邊形ABFC的面積．34．（2023春?邗江區月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點、F是AC中點，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分線，延長DF交AN于點E．連接CE．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝3，求四邊形ADCE的面積．【題型5矩形形中最小值問題】35．（2023春?河東區期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.836．（2023?淳安縣一模）如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，M為線段BD上一動點，MP⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，則PQ的最小值是（）?A． B．3 C． D．37．（2023春?滑縣期中）如圖，點P是Rt△ABC中斜邊AC（不與A，C重合）上一動點，分別作PM⊥AB于點M，作PN⊥BC于點N，點O是MN的中點，若AB＝3，AC＝5．當點P在AC上運動時，則BO的最小值是（）A．1 B．1.2 C． D．38．（2023春?海淀區校級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P是對角線AC上一個動點（點P與點A，C不重合），過點P分別作PE⊥AD于點E，PF∥BC交CD于點F，連接EF，則EF的最小值為．【題型6梯子模型運用】39．（2022春?曲阜市期中）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝8，BC＝3，運動過程中，點D到點O的最大距離為．40．（2020?惠山區一模）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如圖，將直角頂點B放在原點，點A放在y軸正半軸上，當點B在x軸上向右移動時，點A也隨之在y軸上向下移動，當點A到達原點時，點B停止移動，在移動過程中，點C到原點的最大距離為．【題型7矩形中折疊問題】41．（2023春?江陰市月考）數學老師要求學生用一張長方形的紙片ABCD折出一個45°的角，甲、乙兩人的折法如下，下列說法正確的是（）甲：如圖1，將紙片沿折痕AE折疊，使點B落在AD上的點B'處，∠EAD即為所求．乙：如圖2，將紙片沿折痕AE，AF折疊，使B，D兩點分別落在點B'，D'處，且AB'與AD'在同一直線上，∠EAF即為所求．A．甲和乙的折法都正確 B．只有甲的折法正確 C．只有乙的折法正確 D．甲和乙的折法都不正確42．（2023春?普陀區期中）如圖①，已知長方形紙帶ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，點E、F分別在邊AD、BC上，∠1＝25°，如圖②，將紙帶先沿直線EF折疊后，點C、D分別落在H、G的位置，如圖③，將紙帶再沿FS折疊一次，使點H落在線段EF上點M的位置，那么∠2＝°．43．（2023春?義烏市月考）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點C，D分別落在C′、D′的位置上，EC′交AD于點G，已知∠EFG＝58°，那么∠BEG＝度．44．（2022春?濰坊期中）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點D落在邊BC的點F處，已知AB＝6cm，BC＝10cm，則EC的長為cm．45．（2022春?灌南縣期中）如圖，把長方形ABCD的兩角折疊，折痕分別為EF、HG，點B、D折疊后的對應點分別是B'、D'，并且使HD'與B'F在同一直線上，已知長方形的兩組對邊分別平行，試說明兩條折痕EF、GH也相互平行．46．（2022?蘇州）如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B的對應點為點E，AE與CD交于點F．（1）求證：△DAF≌△ECF；（2）若∠FCE＝40°，求∠CAB的度數．47．（2022?麗水）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點B與點D重合，點A落在點P處，折痕為EF．（1）求證：△PDE≌△CDF；（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的長．48．（2021秋?吉安縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點恰好落在邊OC上的點F處，若點D的坐標為（10，8）．（1）求CE的長；（2）寫出點E的坐標．49．（2022?運城二模）如圖，將矩形ABCD對折，使AD與BC重合，得到折痕EF，展開后再一次折疊，使點A落在EF上的點A′處，并使得折痕經過點B，得到折痕BG，連接AA′，如圖1問題解決：（1）試判斷圖1中△ABA′是什么特殊的三角形？并說明理由；（2）如圖2，在圖1的基礎上，AA′與BG相交于點N，點P是BN的中點，連接AP并延長交BA′于點Q，求的值．50．（2021春?鼓樓區校級期中）已知，如圖，四邊形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，∠DAC＝∠B，點E是BC的中點．（1）求證：四邊形AECD是矩形；（2）若AD＝8，CD＝6，點F是AD上的點，連接CF，把∠D沿CF折疊，使點D落在點G處．當△AFG為直角三角形時，求CF的長度．【題型8矩形中動點問題】51．（2023春?江津區期中）已知直角坐標系中，四邊形OABC是長方形，點A，C的坐標分別為A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P是BC邊上的一個動點，當△POD是腰長為5的等腰三角形時，則點P坐標為（）A．（2，4）（3，4） B．（2，4）（8，4） C．（2，4）（3，4）（8，4） D．（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4）52．（2022秋?巴中期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝12，延長BC到點E，使CE＝6，連接DE．（1）動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD→DA向終點A運動，設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△ABP和△DCE全等？（2）若動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度僅沿著BE向終點E運動，連接DP，設點P運動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．53．（2022秋?巴州區期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝12，延長BC到點E，使CE＝6，連接DE．（1）動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD→DA向終點A運動，設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△ABP和△DCE全等？（2）若動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度僅沿著BE向終點E運動，連接DP，設點P運動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．54．（2022秋?鄭州期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，點G是CD的中點，點E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連接CE，DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）①直接寫出：當AE＝cm時，四邊形CEDF是菱形（不需要說明理由）；②當AE＝cm時，四邊形CEDF是矩形，請說明理由．55．（2022春?江門校級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點C出發，在CB之間往返運動，兩個動點同時出發，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止運動），設運動時間為t秒（t＞0）．（1）用含t的式子表示線段的長度：PD＝cm，（2）當0＜t＜2.5時，運動時間t為秒時，以A、P、Q、B為頂點的四邊形是矩形．（3）當5＜t＜10時，以P、D、Q、B為頂點的四邊形有沒可能是平行四邊形？若有，請求出t；若沒有，請說明理由．56．（2021秋?青岡縣期末）如圖，在三角形ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN平行于BC，設MN交∠ACB的角平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于F．問：（1）求證：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的長；（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．57．（2022春?綏棱縣校級期中）如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．（1）求證：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的長；（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．58．（2022秋?重慶期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A和點C的坐標分別為（8，0）和（0，12），四邊形OABC是長方形，點P從點B出發，以每秒4個單位長度的速度沿著長方形BCOA移動一周（即沿著B→C→O→A→B的路線移動）．（1）點B的坐標為；（2）當點P移動8秒時，求出點P的坐標；（3）在移動過程中，當點P到x軸的距離為8個單位，求點P的移動時間．專題02矩形的性質與判定（八大類型）【題型1矩形的性質】【題型2直角三角形斜邊上的中線】【題型3矩形的判定】【題型4矩形的性質與判定綜合運用】【題型5矩形形中最小值問題】【題型6梯子模型運用】【題型7矩形中折疊問題】【題型8矩形中動點問題】【題型1矩形的性質】1．（2023?榕城區一模）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．若∠BOC＝120°，AB＝4，則AD的長為（）A．8 B． C． D．4【答案】B【解答】解：∵∠BOC＝120°，∴∠BOA＝60°，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，∴AO＝BO＝OD＝OC，∴△ABO是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，∵AB＝4，∴BO＝OD＝4，∴BD＝8，∴Rt△ABD中，．故選：B．2．（2023春?西湖區校級期中）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交AD于點E，若AB＝6，BC＝8，則AE的長為（）A． B．6 C． D．5【答案】C【解答】解：如圖，連接CE，∵矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ADC＝90°，OA＝OC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，設AE＝x，則CE＝x，DE＝8﹣x，在Rt△DEC中，CE2＝DE2+CD2，∴x2＝（8﹣x）2+62，∴，∴，故選：C．3．（2023春?洪山區期中）如圖，將5個大小相同的長方形置于平面直角坐標系中，若頂點A（2，9），B（6，3），則頂點C的坐標是（）A．（4，5） B．（3，5） C．（4，7） D．（5，6）【答案】A【解答】解：如圖，∵A（2，9），B（6，3），∴D（6，9），∴AD＝6﹣2＝4，BD＝9﹣3＝6，∴每個長方形的長為6÷3＝2，寬為4÷4＝1，∴點C的坐標為：（2+1×2，9﹣2×2），即（4，5），故選：A．4．（2023春?河北區期中）一個長方形在平面直角坐標系中三個頂點的坐標為（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），則第四個頂點的坐標為（）A．（2，2） B．（2，3） C．（3，3） D．（3，2）【答案】D【解答】解：如圖所示：過（﹣1，2）、（3，﹣1）兩點分別作x軸、y軸的平行線，交點為（3，2），即為第四個頂點坐標．故選：D．5．（2023春?新市區期中）如圖，已知在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE⊥BD于點E．若∠DAE：∠BAE＝3：1，則∠EAC的度數是（）A．18° B．36° C．45° D．72°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO，∵∠DAE：∠BAE＝3：1，∴∠BAE＝×90°＝22.5°∵AE⊥BO，∴∠ABO+∠BAE＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝90﹣22.5°＝67.5°，∴∠EAO＝∠BAO﹣∠BAE＝67.5°﹣22.5°＝45°．故選：C．6．（2023?灞橋區校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于點E，點F、G分別是AD、AE的中點，則FG的長為（）A． B．5 C．4 D．【答案】D【解答】解：連接DE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝8，DC＝AB＝6，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝∠DAB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝6，∴EC＝BC﹣BE＝2，∴DE＝＝＝2，∵點F、G分別是AD、AE的中點，∴FG是△ADE的中位線，∴FG＝DE＝．故選：D．7．（2023春?南川區期中）如圖，在矩形OABC中，點B的坐標是（3，6），則A，C兩點間的距離是（）A． B． C． D．6【答案】B【解答】解：如圖，連接AC，OB，∵四邊形AOCB是矩形，∴AC＝OB，∵點B的坐標是（3，6），點O（0，0），∴OB＝＝3，∴A，C兩點間的距離為3，故選：B．8．（2023春?天河區校級期中）如圖，已知矩形ABCD，AD＝24，CD＝16，點R、P分別是CD，BC上的定點，點E、F分別是AP，RP的中點，若CR＝9，則EF＝（）?A．12 B．8 C．12.5 D．不能確定【答案】C【解答】解：如圖，連接AR，∵CR＝9，CD＝16，∴DR＝7，∵AD＝24，∠D＝90°，∴AR＝＝＝25，∵點E、F分別是AP，RP的中點，∴EF＝AR＝12.5，故選：C．9．（2023春?珠海校級期中）已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，對角線AC、BD相交于點O，點P是線段AD上任意一點，且PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE+PF等于（）A．6 B．5 C． D．【答案】C【解答】解：連接PO，∵矩形ABCD的兩邊AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故選：C．10．（2023春?廬陽區校級期中）如圖，在矩形ABCD中，M為BC邊上一點，連接AM，過點D作DE⊥AM于E，若，AE＝2EM，則CM的長為（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AMB，∵，∴，∵DE⊥AM，∴∠DEA＝∠DEM＝90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM＝AD，BM＝AE，∵AE＝2EM，∴BC＝AD＝AM＝3EM，連接DM，如下圖所示，在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM＝CM，設EM＝CM＝x，則BM＝AE＝2x，AM＝AE+EM＝3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2+BM2＝AM2，即，解得x1＝1，x2＝﹣1（舍去），∴CM＝1．故選：C．11．（2023春?甌海區期中）如圖，長方形ABCD的長AB為8，寬AD為6，將這個長方形向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到長方形EFGH，則陰影部分的面積為（）A．30 B．32 C．36 D．40【答案】A【解答】解：過點A作AN⊥EF于N，由平移可得：HM＝2，AN＝3，∴MG＝HG﹣HM＝8﹣2＝6，AM＝EH﹣AN＝3，∴陰影部分的面積＝8×6﹣6×3＝30，故選：A．12．（2023春?江南區校級期中）下列性質中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A．有一個內角等于90° B．對角線互相平分 C．鄰邊相等 D．對角線相等【答案】C【解答】解：∵菱形的鄰邊相等，但矩形的鄰邊不一定相等，∴菱形具有而矩形不一定具有的是鄰邊相等，故選：C．13．（2023春?廬江縣期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點M，N，則AM的長為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：連接CM，如圖所示：在矩形ABCD中，AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∠D＝90°，∵對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點M，N，∴CM＝AM，設AM＝CM＝x，則DM＝6﹣x，在Rt△CDM中，根據勾股定理，得32+（6﹣x）2＝x2，解得x＝，∴AM＝，故選：A．【題型2直角三角形斜邊上的中線】14．（2023春?海淀區校級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D為線段AB的中點，則∠BCD＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，D為線段AB的中點，則CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A，∵∠A＝40°，∴∠ACD＝40°，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝50°，故選：C．15．（2023春?張北縣校級期中）如圖，一架3m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻上，M為AB中點，當梯子的上端沿墻壁下滑時，OM的長度將（）A．變大 B．變小 C．不變 D．先變大后變小【答案】C【解答】解：∵∠AOB＝90°，M為AB的中點，AB＝3，∴OM是Rt△AOB的中線，∴，∵梯子的上端沿墻壁下滑時，梯子的長度不變，∴OM的長度也不變，故選：C．16．（2023?安康一模）如圖，在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，過點D作DE⊥AB，連接AE、BE，若CD＝4，AE＝5，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的中線，CD＝4，∴，∵DE⊥AB，AE＝5，∴，故選：B．17．（2022秋?競秀區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，若CD＝3，AB的長為（）A．6 B．5 C．3 D．1.5【答案】A【解答】解：Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，D是AB的中點，∴，∴AB＝6．故選：A．【題型3矩形的判定】18．（2023春?徐匯區期中）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的（）A．當AB＝BC時，它是菱形 B．當AD⊥CD時，它是菱形 C．當∠ABC＝90°時，它是矩形 D．當AC＝BD時，它是矩形【答案】D【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，也可能是正方形，故本選項符合題意；故選：D．19．（2023春?南崗區期中）下列說法正確的是（）A．一組對邊平行且一組鄰角相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線垂直且互相平分的四邊形是矩形 C．對角線互相垂直的四邊形是菱形 D．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形【答案】D【解答】解：A、一組對邊平行且一組鄰角相等的四邊形不一定是平行四邊形，故選項A不符合題意，反例：等腰梯形；B、∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線垂直的平行四邊形是菱形，∴對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，不一定是矩形，故選項B不符合題意；C、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故選項C不符合題意；D、∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形，∴對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故選項D符合題意；故選：D．20．（2023春?青山區期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，添加下列條件不能判定平行四邊形ABCD為矩形的是（）A.∠BAD＝90° B．∠BAD＝∠ABC C．∠BAO＝∠OBA D．∠BOA＝90°【答案】D【解答】解：A、∠BAD＝90°，由一個角為直角的平行四邊形是矩形知，平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意；B、∵在平行四邊形ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，又∠BAD＝∠ABC，則∠BAD＝∠ABC＝90°，則平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意；C、∵∠BAO＝∠OBA，∴OA＝OB，又，則AC＝BD，根據對角線相等的平行四邊形是矩形知，平行四邊形ABCD為矩形，故此選項不符合題意；D、∠BOA＝90°能判定平行四邊形平行四邊形ABCD為菱形，不能判定它為矩形，故此選項符合題意．故選：D．21．（2023?咸陽一模）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列條件，可以判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBO【答案】B【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，當AB＝AD或AC⊥BD時，可判定四邊形ABCD是菱形；當∠ABO＝∠CBO時，由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，∴∠ABO＝∠ADO，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；當AC＝BD時，可判定四邊形ABCD是矩形；故選：B．22．（2023春?宿豫區期中）如圖，在菱形ABCD中的對角線AC、BD相交于點O，OE∥CD，DE∥AC．求證：四邊形AODE是矩形．【答案】見解析．【解答】證明：∵AE∥BD，DE∥AC，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴平行四邊形AODE是矩形．23．（2023?朝陽區一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F在BD上，AE∥CF，連接AF，CE．（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；（2）若∠EAO+∠CFD＝180°，求證：四邊形AECF是矩形．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF，∴四邊形AECF為平行四邊形；（2）∵∠EAO+∠CFD＝180°，∠CFO+∠CFD＝180°，∴∠EAO＝∠CFO，∵∠EAO＝∠FCO，∴∠FCO＝∠CFO，∴OC＝OF，由（1）可知，OA＝OC，OE＝OF，∴AC＝EF，∴平行四邊形AECF是矩形．24．（2023春?東莞市校級月考）如圖，將?ABCD的邊AB延長至點E，使BE＝AB，連接DE，EC，BD，DE交BC于點O．（1）求證：△ABD≌△BEC；（2）若∠BOD＝2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解答】證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，則BE∥CD．又∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD＝EC．在△ABD與△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD＝OE，OC＝OB．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∴平行四邊形BECD為矩形．25．（2023?順義區一模）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，將對角線BD向兩個方向延長，分別至點E和點F，且使BE＝DF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若OF＝OA，求證：四邊形AECF是矩形．【答案】證明見解析．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵BE＝DF，∴OE＝OF．∴四邊形AECF是平行四邊形．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OF＝，OA＝AC，∵OF＝OA，∴EF＝AC，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴四邊形AECF是矩形．【題型4矩形的性質與判定綜合運用】26．（2023春?長沙期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E為菱形ABCD外一點，連接CE、DE，且CE∥BD，DE∥AC．（1）求證：四邊形OCED為矩形；（2）若菱形ABCD的邊長為4，∠BCD＝60°，求△ADE的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）2．【解答】（1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥CE，∴∠ECO＝90°，∴四邊形OCED是矩形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，CO⊥BD，∵∠BCD＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴DO＝BD＝×4＝2，OC＝BC＝×4＝2，∵四邊形OCED是矩形，∴ED＝OC＝2，∴△ADE的面積＝DE?OD＝×2×2＝2．27．（2023春?武昌區校級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作BC的垂線，垂足為點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的長．【答案】（1）見解答；（2）．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AD＝25，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴AC＝2OE＝14，∵AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2＝AE2∴252﹣BE2＝142﹣（25﹣BE）2，∴BE＝，∴AE＝＝＝．28．（2023?延慶區一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接AC，∠BAC＝90°．點M為邊AD的中點，連接CM并延長，交BA的延長線于點E，連接DE．（1）求證：四邊形ACDE是矩形；（2）若BE＝10，DE＝12，求四邊形BCDE的面積．【答案】（1）證明見解答；（2）四邊形BCDE的面積是90．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠MAE＝∠MDC，∵點M為邊AD的中點，∴MA＝MD，在△MAE和△MDC中，，∴△MAE≌△MDC（ASA），∴ME＝MC，∴四邊形ACDE是平行四邊形，∵∠ACD＝∠BAC＝90°，∴四邊形ACDE是矩形．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ACDE是矩形，∴AE＝CD，AB＝CD，∠AED＝90°，∴DE⊥BE，∵BE＝10，DE＝12，∴AE＝AB＝CD＝BE＝×10＝5，∵BE∥CD，∴S四邊形BCDE＝×（5+10）×12＝90，∴四邊形BCDE的面積是90．29．（2023?豐臺區一模）如圖，在?ABCD中，∠ACB＝90°，過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E，連接AE交CD于點F．（1）求證：四邊形ACED是矩形；（2）連接BF，若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的長．【答案】（1）證明見解答；（2）BF的長是2．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E在BC的延長線上，∴AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∵∠ACE＝90°，∴四邊形ACED是矩形．（2）解：∵四邊形ACED是矩形，四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝2，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2×2＝4，∴∠AFB＝90°，AF＝AE＝×4＝2，∴BF＝＝＝2，∴BF的長是2．30．（2023春?麒麟區校級期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC垂直BD于點O，O、F分別為AC、AE中點，分別過點C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點E．（1）求證：四邊形ODEC是矩形；（2）若OF＝1，∠CAE＝30°時，求AC的長．【答案】（1）見解析；（2）2．【解答】（1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形ODEC是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四邊形ODEC是矩形；（2）解：∵四邊形ODEC是矩形，∴∠ACE＝90°，∵O、F分別為AC、AE中點，∴OF是△ACE的中位線，∴CE＝2OF＝2，∵∠CAE＝30°，∴AE＝2CE＝4，∴AC＝＝＝2．31．（2023春?鄂城區期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，EF⊥AB于F點，OG∥EF交AB于點G．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．【答案】（1）證明見解析；（2）5，2．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四邊形OEFG是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四邊形OEFG是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝10，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中點，∴OE＝AD＝AE＝5，由（1）可知，四邊形EFCO是矩形，∴FG＝OE＝5，∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°，∴AF＝＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，故答案為：2．32．（2023春?思明區校級期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O．過點A作AE∥BD，過點D作DE∥AC交AE于點E．（1）求證：四邊形AODE是矩形；（2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求四邊形AODE的面積．【答案】（1）見解答；（2）．【解答】（1）證明：∵AE∥BD，DE∥AC，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴平行四邊形AODE為矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝2，∴OA＝AC＝1，∴OD＝OB＝＝，由（1）可知，四邊形AODE是矩形，∴矩形AODE的面積＝OA×OD＝1×＝．33．（2023春?雨花區校級月考）如圖，已知點E是?ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F，連接AC，BF，且AF＝BC．（1）求證：四邊形ABFC為矩形；（2）若△AFD是等邊三角形，且邊長為，求四邊形ABFC的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，即AB//DF，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE．∵點E是BC邊中點，∴BE＝CE．∴△BAE≌△CFE（AAS），∴AB＝CF，∴四邊形ABFC是平行四邊形．∵AF＝BC，∴平行四邊形ABFC是矩形；（2）解：∵AB＝CF，AB＝CD，∴，即點C為DF中點．∵△AFD是等邊三角形，且邊長為，∴，∴，∴，∴．34．（2023春?邗江區月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點、F是AC中點，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分線，延長DF交AN于點E．連接CE．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝3，求四邊形ADCE的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【解答】（1）證明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠MAE＝∠B，∴AN∥BC，∵F為AC的中點，D為BC的中點，∴FD∥AB，∴四邊形ABDE為平行四邊形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四邊形ADCE為平行四邊形，∵AB＝AC，點D為BC中點，∴AD⊥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴四邊形ADCE為矩形；（2）解：由（1）知四邊形ADCE是矩形，∵BC＝AB＝3，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝3，∵D為BC的中點，∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝，∴AD＝＝，∴四邊形ADCE的面積為CD?AD＝3×＝．【題型5矩形形中最小值問題】35．（2023春?河東區期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為（）A．5 B．3.6 C．2.4 D．4.8【答案】D【解答】解：如圖，連接AD．∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴．∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴四邊形AMDN為矩形，∴AD＝MN，∴當AD最小時，MN最小．當AD⊥BC時，AD最小，此時S△ABC＝AB?AC＝AD?BC，∴6×8＝10AD，∴AD＝4.8，∴線段MN的最小值為4.8．故選：D．36．（2023?淳安縣一模）如圖，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，M為線段BD上一動點，MP⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，則PQ的最小值是（）?A． B．3 C． D．【答案】C【解答】解：如圖，連接CM，∵MP⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝8，∠BCD＝90°，∴四邊形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝10，當CM⊥BD時，CM最小，則PQ最小，此時，S△BCD＝BD?CM＝BC?CD，∴CM＝＝＝，∴PQ的最小值為，故選：C．37．（2023春?滑縣期中）如圖，點P是Rt△ABC中斜邊AC（不與A，C重合）上一動點，分別作PM⊥AB于點M，作PN⊥BC于點N，點O是MN的中點，若AB＝3，AC＝5．當點P在AC上運動時，則BO的最小值是（）A．1 B．1.2 C． D．【答案】B【解答】解：連接OP，如圖所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，∴BC＝4，四邊形BMPN是矩形，∴BP＝MN，BP與MN互相平分，∵點O是MN的中點，∴BO＝MN，當BP⊥AC時，BP最小＝＝2.4，∴MN＝2.4，∴BO＝MN＝1.2，故選：B．38．（2023春?海淀區校級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P是對角線AC上一個動點（點P與點A，C不重合），過點P分別作PE⊥AD于點E，PF∥BC交CD于點F，連接EF，則EF的最小值為．【答案】．【解答】解：如圖，連接DP．∵∠B＝∠D＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，∵PF⊥DC于點E，PE∥DC，∠D＝90°，∴四邊形DEPF是矩形；∴EF＝DP，由垂線段最短可得DP⊥AC時，線段EF的值最小，此時，S△ADC＝DC?AD＝AC?DP，即×4×3＝×5?DP，解得DP＝．故答案為：．【題型6梯子模型運用】39．（2022春?曲阜市期中）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝8，BC＝3，運動過程中，點D到點O的最大距離為．【答案】見試題解答內容【解答】解：如圖，取AB的中點E，連接OE、DE、OD，∵OD≤OE+DE，∴當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大，此時，∵AB＝8，BC＝3，∴OE＝AE＝AB＝4，∴DE＝＝＝5，∴OD的最大值為：5+4＝9；故答案為：9．40．（2020?惠山區一模）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如圖，將直角頂點B放在原點，點A放在y軸正半軸上，當點B在x軸上向右移動時，點A也隨之在y軸上向下移動，當點A到達原點時，點B停止移動，在移動過程中，點C到原點的最大距離為．【答案】見試題解答內容【解答】解：如圖所示：取A1B1的中點E，連接OE，C1E，當O，E，C1在一條直線上時，點C到原點的距離最大，在Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，點OE為斜邊中線，∴OE＝B1E＝A1B1＝4，又∵B1C1＝BC＝4，∴C1E＝＝4，∴點C到原點的最大距離為：OE+C1E＝4+4．故答案為：4+4．【題型7矩形中折疊問題】41．（2023春?江陰市月考）數學老師要求學生用一張長方形的紙片ABCD折出一個45°的角，甲、乙兩人的折法如下，下列說法正確的是（）甲：如圖1，將紙片沿折痕AE折疊，使點B落在AD上的點B'處，∠EAD即為所求．乙：如圖2，將紙片沿折痕AE，AF折疊，使B，D兩點分別落在點B'，D'處，且AB'與AD'在同一直線上，∠EAF即為所求．A．甲和乙的折法都正確 B．只有甲的折法正確 C．只有乙的折法正確 D．甲和乙的折法都不正確【答案】A【解答】解：甲：將紙片沿折痕AE折疊，使B點落在AD上的B'點，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；乙：將紙片沿折痕AE，AF折疊，使B，D兩點落在AC上的點B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；故選：A．42．（2023春?普陀區期中）如圖①，已知長方形紙帶ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C＝90°，點E、F分別在邊AD、BC上，∠1＝25°，如圖②，將紙帶先沿直線EF折疊后，點C、D分別落在H、G的位置，如圖③，將紙帶再沿FS折疊一次，使點H落在線段EF上點M的位置，那么∠2＝52.5°．【答案】52.5．【解答】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，∵∠1＝25°，∴∠BFE＝∠1＝25°，∴∠EFC＝180°﹣25°＝155°，根據第一次折疊，可得∠EFH＝∠EFC＝155°，根據第二次折疊，可知∠MFS＝∠HFS＝77.5°，∴∠2＝∠MFS﹣∠EFB＝77.5°﹣25°＝52.5°，故答案為：52.5．43．（2023春?義烏市月考）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點C，D分別落在C′、D′的位置上，EC′交AD于點G，已知∠EFG＝58°，那么∠BEG＝度．【答案】64．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠EFG＝58°，由折疊的性質得：∠GEF＝∠CEF＝58°，∴∠BEG＝180°﹣∠GEF﹣∠CEF＝64°．故答案為：64．44．（2022春?濰坊期中）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點D落在邊BC的點F處，已知AB＝6cm，BC＝10cm，則EC的長為cm．【答案】．【解答】解：設CE＝xcm，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝10cm，∴DC＝AB＝6cm，AD＝BC＝10cm，∠B＝∠C＝90°，∵將矩形ABCD沿AE折疊，使點D落在邊BC的點F處，∴AF＝AD＝10cm，DE＝EF＝（6﹣x）cm，∴BF＝＝＝8（cm），∴FC＝BC﹣BF＝2cm，在Rt△ECF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，即（6﹣x）2＝x2+22，解得：x＝，即CE＝cm，故答案為：．45．（2022春?灌南縣期中）如圖，把長方形ABCD的兩角折疊，折痕分別為EF、HG，點B、D折疊后的對應點分別是B'、D'，并且使HD'與B'F在同一直線上，已知長方形的兩組對邊分別平行，試說明兩條折痕EF、GH也相互平行．【答案】見解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DHF＝∠BFH，由折疊知：∠FHG＝∠DHG＝∠DHF，∠HFE＝∠BFE＝∠BFH，∴∠FHG＝∠HFE，∴EF∥HG，即兩條折痕也相互平行．46．（2022?蘇州）如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B的對應點為點E，AE與CD交于點F．（1）求證：△DAF≌△ECF；（2）若∠FCE＝40°，求∠CAB的度數．【答案】（1）證明見解析部分；（2）25°．【解答】（1）證明：將矩形ABCD沿對角線AC折疊，則AD＝BC＝EC，∠D＝∠B＝∠E＝90°，在△DAF和△ECF中，，∴△DAF≌△ECF（AAS）；（2）∵△DAF≌△ECF，∴∠DAF＝∠ECF＝40°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠EAB＝∠DAB﹣∠DAF＝90°﹣40°＝50°，∵∠EAC＝∠CAB，∴∠CAB＝25°．47．（2022?麗水）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點B與點D重合，點A落在點P處，折痕為EF．（1）求證：△PDE≌△CDF；（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的長．【答案】（1）證明見解答；（2）cm．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，由折疊得：AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°，∴PD＝CD，∵∠PDF＝∠ADC，∴∠PDE＝∠CDF，在△PDE和△CDF中，，∴△PDE≌△CDF（ASA）；（2）解：如圖，過點E作EG⊥BC于G，∴∠EGF＝90°，EG＝CD＝4，在Rt△EGF中，由勾股定理得：FG＝＝3，設CF＝x，由（1）知：PE＝AE＝BG＝x，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，由折疊得：∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝x+3，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF2＝CD2+CF2，∴x2+42＝（x+3）2，∴x＝，∴BC＝2x+3＝+3＝（cm）．48．（2021秋?吉安縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點恰好落在邊OC上的點F處，若點D的坐標為（10，8）．（1）求CE的長；（2）寫出點E的坐標．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）∵四邊形AOCD為矩形，D的坐標為（10，8），∴AD＝OC＝10，DC＝AO＝8，∵矩形沿AE折疊，使D落在BC上的點F處，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△AOF中，OF＝＝6，∴FC＝10﹣6＝4，設EC＝x，則DE＝EF＝8﹣x，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，即EC的長為3．（2）∵EC的長為3，∴點E的坐標為（10，3）．49．（2022?運城二模）如圖，將矩形ABCD對折，使AD與BC重合，得到折痕EF，展開后再一次折疊，使點A落在EF上的點A′處，并使得折痕經過點B，得到折痕BG，連接AA′，如圖1問題解決：（1）試判斷圖1中△ABA′是什么特殊的三角形？并說明理由；（2）如圖2，在圖1的基礎上，AA′與BG相交于點N，點P是BN的中點，連接AP并延長交BA′于點Q，求的值．【答案】（1）等邊三角形；（2）．【解答】解：（1）等邊三角形．理由：由折疊可知：EF垂直平分AB，AB＝A'B，∴AA'＝A'B，∴AB＝A'B＝AA'，∴△ABA'為等邊三角形．（2）取A'Q的中點M，連接MN，則A'M＝QM，由折疊可知：AN＝A'N，∴MN是△AA'Q的中位線，∴MN∥AQ，∴BP：PN＝BQ：QM，∵P為BN的中點，∴BP＝PN，∴BQ＝QM，∴．50．（2021春?鼓樓區校級期中）已知，如圖，四邊形ABCD中，∠D＝90°，AB＝AC，∠DAC＝∠B，點E是BC的中點．（1）求證：四邊形AECD是矩形；（2）若AD＝8，CD＝6，點F是AD上的點，連接CF，把∠D沿CF折疊，使點D落在點G處．當△AFG為直角三角形時，求CF的長度．【答案】（1）證明見解析；（2）6或3．【解答】解：（1）證明：∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB．∵∠DAC＝∠B,∴∠DAC＝∠ACB．∴AD∥EC．∵AB＝AC,E是BC的中點，∴AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．∴∠EAD＝180°﹣∠AEC＝90°．∵∠D＝90°,∴四邊形AECD為矩形．(2)當∠AGF＝90°時，G在AC上，如圖，∵AD＝8,CD＝6,∴AC＝．∵CG＝CD,∴AG＝AC﹣CG＝4．設DF＝x,則AF＝8﹣x,GF＝DF＝x,由勾股定理得：AG2+GF2＝AF2．∴42+x2＝(8﹣x)2．解得：x＝3．∴．當∠AFC＝90°時，G在CE上，此時四邊形CDFG為正方形，如圖：∴CF＝6；當∠FAG＝90°時，G在AB上，此時CG＝CD＝6,而CE＝AD＝8,∵斜邊大于直角邊，∴G不可能在AB邊上．綜上，CF＝6或3【題型8矩形中動點問題】51．（2023春?江津區期中）已知直角坐標系中，四邊形OABC是長方形，點A，C的坐標分別為A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P是BC邊上的一個動點，當△POD是腰長為5的等腰三角形時，則點P坐標為（）A．（2，4）（3，4） B．（2，4）（8，4） C．（2，4）（3，4）（8，4） D．（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4）【答案】C【解答】解：（1）OD是等腰三角形的底邊時，P就是OD的垂直平分線與CB的交點，此時OP＝PD≠5；（2）OD是等腰三角形的一條腰時：若點O是頂角頂點時，P點就是以點O為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點，在直角△OPC中，CP＝＝＝3，則P的坐標是（3，4）；若D是頂角頂點時，P點就是以點D為圓心，以5為半徑的弧與CB的交點，過D作DM⊥BC于點M，在直角△PDM中，PM＝＝＝3，當P在M的左邊時，CP＝CM﹣PM＝5﹣3＝2，則P的坐標是（2，4）；當P在M的右側時，CP＝CM+PM＝5+3＝8，則P的坐標是（8，4）．所以滿足條件的點P的坐標為：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故選：C．52．（2022秋?巴中期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝12，延長BC到點E，使CE＝6，連接DE．（1）動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD→DA向終點A運動，設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△ABP和△DCE全等？（2）若動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度僅沿著BE向終點E運動，連接DP，設點P運動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）當t＝3或13時，△ABP與△DCE全等；（2）當t＝3或4或時，△PDE為等腰三角形．【解答】解：（1）當△ABP≌△DCE，即BP＝CE＝6時，則t＝6÷2＝3，當△ABP≌△DCE，即AP＝CE＝6時，則．∴當t＝3或13時，△ABP與△DCE全等．（2）若△PDE為等腰三角形，則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，當PD＝DE時，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝6，∴．當PE＝DE＝10時，∵BP＝BC+CE﹣PE＝12+6﹣10＝8，∴．當PD＝PE時，∴PE＝PC+CE＝6+PC，∴PD＝6+PC，在Rt△PDC中，PD2＝CD2+PC2，∴（6+PC）2＝64+PC2，∴，∵BP＝BC﹣PC，∴，∴．綜上所述，當t＝3或4或時，△PDE為等腰三角形．53．（2022秋?巴州區期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝12，延長BC到點E，使CE＝6，連接DE．（1）動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD→DA向終點A運動，設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△ABP和△DCE全等？（2）若動點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度僅沿著BE向終點E運動，連接DP，設點P運動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）t＝3或13；（2）存在，t＝3或4或．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，若△ABP與△DCE全等，則BP＝CE或AP＝CE，當△ABP≌△DCE，即BP＝CE＝6時，則t＝6÷2＝3；當△ABP≌△CDE，即AP＝CE＝6時，則．∴當t＝3或13時，△ABP與△DCE全等．；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝6，∴，若△PDE為等腰三角形，則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，當PD＝DE時，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝6，∴；當PE＝DE＝10時，∵BP＝BC+CE﹣PE＝12+6﹣10＝8，∴，當PD＝PE時，∴PE＝PC+CE＝6+PC，∴PD＝6+PC，在Rt△PDC中，PD2＝CD2+PC2，∴（6+PC）2＝64+PC2，∴，∵BP＝BC﹣PC，∴，∴．綜上所述，當t＝3或4或時，△PDE為等腰三角形．54．（2022秋?鄭州期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，點G是CD的中點，點E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F，連接CE，DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）①直