第一單元特殊的平行四邊形（提升卷）（考試時(shí)間：45分鐘試卷滿分：100分）選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋?平陸縣期末）矩形和菱形都一定具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線長(zhǎng)度相等 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角2．（2022秋?禮泉縣期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若AC＝14，則OB的長(zhǎng)為（）A．7 B．6 C．5 D．23．（2023?新都區(qū)模擬）如圖，菱形ABCD中對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，則OE的長(zhǎng)是（）A．2.5 B．5 C．2.4 D．不確定4．（2022秋?婺城區(qū)期末）用邊長(zhǎng)為1的正方形做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為原正方形面積的（）A． B． C． D．不能確定5．（2023春?鶴山市校級(jí)期中）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形 C．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是正方形6．（2022春?涿州市期末）如圖，以正方形ABCD的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）7．（2022春?烏拉特前旗期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為10的正方形，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，且AE⊥BE，又BE＝8，則陰影部分的面積是（）A．76 B．24 C．48 D．888．（2022春?永善縣期中）如圖四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于點(diǎn)H，則DH的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．9．（2022秋?南海區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCO和正方形DEFO的頂點(diǎn)A，O，E在同一直線l上，且EF＝，AB＝3，給出下列結(jié)論：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面積是．其中正確的結(jié)論為（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④10．（2021春?林州市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G為四邊形DEAF對(duì)角線交點(diǎn)，則線段GF的最小值為（）A． B． C． D．填空題(本題共6題，每小題3分，共18分）。11．（2021秋?濱海縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，AB＝6，則CD的長(zhǎng)是．（2022春?臨湘市期末）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊三角形CDE，則∠AED的度數(shù)為．13．（2022?虞城縣二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件使平行四邊形ABCD是菱形．14．（2022春?東莞市期中）如圖，連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，還要添加條件，才能保證四邊形EFGH是矩形．15．（2022春?濱城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的取值范圍是．16．（2022?薛城區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長(zhǎng)為．三、解答題（本題共5題，17題-20題，每題10分，21題12分）。17．（2022?隨州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且四邊形BEDF為正方形．（1）求證：AE＝CF；（2）已知平行四邊形ABCD的面積為20，AB＝5，求CF的長(zhǎng)．18．（2022?遵義三模）如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：BE＝CF．（2）若∠AOB＝60°，AB＝8，求矩形的面積．19．（2022春?石城縣校級(jí)月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在平面上的F點(diǎn)處，DF交BC于點(diǎn)E．（1）求證：△DCE≌△BFE；（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的長(zhǎng)．20．（2023?岳麓區(qū)一模）如圖，已知正方形ABCD，邊長(zhǎng)AB＝6，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上任一點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AP交BC于點(diǎn)Q．（1）求證：AP＝PQ；（2）若，求四邊形ABQP的面積．21．（2022春?興國(guó)縣期末）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合．（1）證明不論E、F在BC、CD上如何滑動(dòng)，總有BE＝CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF的面積和△CEF的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最小值．第一單元特殊的平行四邊形（提升卷）（考試時(shí)間：45分鐘試卷滿分：100分）選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋?平陸縣期末）矩形和菱形都一定具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)角線長(zhǎng)度相等 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角【答案】B【解答】解：矩形的性質(zhì)是：①矩形的四個(gè)角度數(shù)直角，②矩形的對(duì)邊相等且互相平行，③矩形對(duì)角線相等且互相平分；菱形的性質(zhì)是：①菱形的四條邊都相等，菱形的對(duì)邊互相平行；②菱形的對(duì)角相等，③菱形的對(duì)角線互相平分且垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角，所以矩形和菱形都具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相平分，故選：B．2．（2022秋?禮泉縣期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若AC＝14，則OB的長(zhǎng)為（）A．7 B．6 C．5 D．2【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC,∵AC＝14,∴OB＝7,故選：A．3．（2023?新都區(qū)模擬）如圖，菱形ABCD中對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，則OE的長(zhǎng)是（）A．2.5 B．5 C．2.4 D．不確定【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，AO＝AC，BO＝BD，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，S菱形ABCD＝×8×6＝24，∴AB＝＝5，S△AOB＝6，∵?AB?EO＝×AO×BO，∴5EO＝4×3，EO＝，故選：C．4．（2022秋?婺城區(qū)期末）用邊長(zhǎng)為1的正方形做了一套七巧板，拼成如圖所示的一座橋，則橋中陰影部分的面積為原正方形面積的（）A． B． C． D．不能確定【答案】A【解答】解：讀圖可得，陰影部分的面積為原正方形的面積的一半，則陰影部分的面積為1×1÷2＝；是原正方形的面積的一半；故選：A．5．（2023春?鶴山市校級(jí)期中）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形 C．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，它是矩形 D．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是正方形【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)AB＝BC或AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD為菱形，故A、B結(jié)論正確；當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，四邊形ABCD為矩形，故C結(jié)論正確；當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形ABCD為矩形，故D結(jié)論不正確，故選：D．6．（2022春?涿州市期末）如圖，以正方形ABCD的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）【答案】B【解答】解：如圖所示：∵以正方形ABCD的中心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），∴點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)分別為：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）．故選：B．7．（2022春?烏拉特前旗期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為10的正方形，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，且AE⊥BE，又BE＝8，則陰影部分的面積是（）A．76 B．24 C．48 D．88【答案】A【解答】解：在Rt△ABE中，∵∠AEB＝90°，AB＝10，BE＝8，∴AE＝＝＝6，∴S陰＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝100﹣×8×6＝76．故選：A．8．（2022春?永善縣期中）如圖四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于點(diǎn)H，則DH的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝3，∴AB＝5，∴S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?DH，∴DH＝＝4.8．故選：C．9．（2022秋?南海區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCO和正方形DEFO的頂點(diǎn)A，O，E在同一直線l上，且EF＝，AB＝3，給出下列結(jié)論：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面積是．其中正確的結(jié)論為（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④【答案】B【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正確；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故錯(cuò)誤；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延長(zhǎng)線于G，則FG＝1，CF＝＝＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝＝＝2，故錯(cuò)誤；④△COF的面積S△COF＝×3×1＝，故正確；∴其中正確的結(jié)論為①④，故選：B．10．（2021春?林州市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G為四邊形DEAF對(duì)角線交點(diǎn)，則線段GF的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：連接AD、EF，∵∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，∴BC＝＝15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°，∴四邊形DEAF是矩形，∴EF＝AD，∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，此時(shí)，△ABC的面積＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴EF的最小值為，∵點(diǎn)G為四邊形DEAF對(duì)角線交點(diǎn)，∴GF＝EF＝；故選：B．填空題(本題共6題，每小題3分，共18分）。11．（2021秋?濱海縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，AB＝6，則CD的長(zhǎng)是3．【答案】3．【解答】解：∵∠C＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝3．故答案為3．12．（2022春?臨湘市期末）如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊三角形CDE，則∠AED的度數(shù)為15°．【答案】15°．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC，∵△CDE是等邊三角形，∴DE＝DC，∠EDC＝60°，∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，∴∠DAE＝∠AED＝（180°﹣∠ADE）＝（180°﹣150°）＝15°，故答案為：15°．13．（2022?虞城縣二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件AB＝BC或AC⊥BD使平行四邊形ABCD是菱形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：當(dāng)AB＝BC或AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形．故答案為AB＝BC或AC⊥BD．14．（2022春?東莞市期中）如圖，連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，還要添加條件，才能保證四邊形EFGH是矩形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵G、H、E分別是BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四邊形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故還要添加AC⊥BD，才能保證四邊形EFGH是矩形．15．（2022春?濱城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的取值范圍是．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：連接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M為EF中點(diǎn)，∴AM＝EF＝AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP值最小，此時(shí)S△BAC＝×5×12＝×13×AP，∴AP＝，即AP的范圍是AP≥，∴2AM≥，∴AM的范圍是AM≥，∵AP≤AC，即AP≤12，∴AM≤6，∴≤AM≤6．故答案為：≤AM≤6．16．（2022?薛城區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長(zhǎng)為．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，∴陰影部分的面積為×9＝6，∴空白部分的面積為9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，設(shè)BG＝a，CG＝b，則ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周長(zhǎng)＝+3，故答案為：+3．三、解答題（本題共5題，17題-20題，每題10分，21題12分）。17．（2022?隨州）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，且四邊形BEDF為正方形．（1）求證：AE＝CF；（2）已知平行四邊形ABCD的面積為20，AB＝5，求CF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）1．【解答】（1）證明：∵四邊形BEDF為正方形，∴DF＝EB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB，∴DC﹣DF＝AB﹣EB，∴CF＝AE，即AE＝CF；（2）解：∵平行四邊形ABCD的面積為20，AB＝5，四邊形BEDF為正方形，∴5DE＝20，DE＝EB，∴DE＝EB＝4，∴AE＝AB﹣EB＝5﹣4＝1，由（1）知：AE＝CF，∴CF＝1．18．（2022?遵義三模）如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：BE＝CF．（2）若∠AOB＝60°，AB＝8，求矩形的面積．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OB＝OC，∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO＝∠CFO＝90°，在△BEO和△CFO中，，∴△BEO≌△CFO（AAS），∴BE＝CF；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OB＝OA，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝OB＝8，∴AC＝16，由勾股定理得：BC＝＝8，∴矩形的面積是AB×BC＝8×8＝64．19．（2022春?石城縣校級(jí)月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)A落在平面上的F點(diǎn)處，DF交BC于點(diǎn)E．（1）求證：△DCE≌△BFE；（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，根據(jù)折疊的性質(zhì)∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝∠C＝90°，∴∠DBC＝∠BDF，∴BE＝DE，在△DCE和△BFE中，，∴△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，∴BC＝2，在Rt△ECD中，∵CD＝2，∠EDC＝30°，∴DE＝2EC，∴（2EC）2﹣EC2＝CD2，∴CE＝，∴BE＝BC﹣EC＝．20．（2023?岳麓區(qū)一模）如圖，已知正方形ABCD，邊長(zhǎng)AB＝6，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上任一點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AP交BC于點(diǎn)Q．（1）求證：AP＝PQ；（2）若，求四邊形ABQP的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）25．【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)P作MN∥CD交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，∵M(jìn)N∥CD，∠ADC＝90°，∴四邊形MNCD為矩形，∴∠NMD＝90°，∠MPD＝45°，AD＝CD＝MN，∴MD＝MP，∴AM＝PN，∵AP⊥PQ，∴∠APQ＝90°，∴∠