第七章度量空間第七章度量空間和賦范線性空間§1度量空間的進一步例子§2度量空間中的極限、稠密集、可分空間§3連續映射§4柯西點列和完備度量空間§6壓縮映射原理及其應用§8賦范線性空間和巴拿赫空間

泛函分析：是20世紀發展起來的一門新的學科，德國數學家希爾伯特，波蘭數學家巴拿赫，匈牙利—美國數學家馮.諾依曼，為此做出了主要貢獻。

泛函分析研究內容：是函數與數之間的對應關系；例如：定積分就是一個泛函。算子：函數空間和函數空間的對應關系。例如：微分就是一個算子。引言：§1度量空間的進一步例子度量空間（距離空間）：把距離概念抽象化，對某些一般的集合引進點和點之間的距離，使之成為距離空間，這將是深入研究極限過程的一個有效步驟。泛函分析中的度量空間（距離空間）：泛函分析中要處理的度量空間，是帶有某些代數結構的度量空間，例如賦范線性空間，就是一種帶有線性結構的度量空間。1、度量空間

設是一個集合，若對于中任意兩個元素,都有唯一確定的實數與之對應，而且這一對應關系滿足下列條件：1°

的充要條件為2°

對任意的都成立，則稱是之間的距離，稱為度量空間或距離空間。中的元素稱為點。

稱為點的鄰域，稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑。2、常見的度量空間（1）n維歐式度量空間（2）離散的度量空間

設是任意的非空集合，對中的任意兩點，令

稱為離散的度量空間。（3）序列空間S

令S表示實數列（或復數列）的全體，對S中的任意兩點令

稱為序列空間。

設A是一個給定的集合，令B(A)表示A上有界實值（或復值）函數全體，對B(A)中任意兩點，定義

設

為X上實值（或復值）的勒貝格可測函數全體，m為勒貝格測度，若，對任意兩個可測函數及（4）有界函數空間B(A）（5）可測函數空間由于，所以這是X上的可積函數。令（4）有界函數空間B(A）大家應該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流8

令表示閉區間[a,b]上實值（或復值）連續函數全體，對

中任意兩點，定義（6）空間（6）空間設，定義

設是中點列，如果存在，使則稱點列是中的收斂點列，是點列的極限。§2度量空間中的極限、稠密集、可分空間1、收斂點列收斂點列性質：

（1）在度量空間中，任何一個點列最多只有一個極限，即收斂點列的極限是唯一的。2、收斂點列在具體空間中的意義

（2）M是閉集的充要條件是M中任何收斂點列的極限都在M中。（1）n維歐式空間中：為中的點列，即：按歐式距離收斂于的充要條件是依坐標收斂于（2）序列空間S中：為中的點列，設及分別為中的點列及點，（3）空間（4）可測函數空間設及分別為可測函數空間中的點列及點，3、有界集

設M是度量空間中點集，定義為點集M的直徑，若，則稱M為中的有界集。常用結論：度量空間中的收斂點列是有界點集。4、稠密集，可分空間

（1）設X是度量空間，E和M是X中的兩個子集，令表示M的閉包，如果，那么稱集M在集E中稠密。等價定義：

如果E中任何一點x的任何鄰域都含有集M中的點，就稱M在E中稠密。

（2）當E=X時，稱集M為X的一個稠密子集。

（3）如果X有一個可數的稠密子集時，稱X為可分空間。

對任一，有M中的點列，使得例題

1：（1）多項式全體所成的線性空間P是度量空間的子集，則P在中是稠密的。其中，以有理數為系數的多項式全體是一個可數集，所以是可分空間。（2）n維歐式空間是可分空間，因為坐標為有理數的全體是一個可數集，是中的稠密子集。(3)為可分空間。(4)為不可分空間。

表示有界實（或復）數列全體，對中任意兩點定義則按成為度量空間。§3連續映射回憶函數的連續性？1、度量空間中的連續性

設，是兩個度量空間，T是X到Y中的映射,

如果對于任意給定，存在，使對X中一切滿足的，成立則稱T在連續。

設T是度量空間到中的映射，那么T在連續的充要條件為當時，必有連續性的極限定義2、連續映射

如果映射T在X的每一點都連續，則稱T是X上的連續映射。稱集合為集合M在映射T下的原像。

定理：度量空間X到Y的映射T是X上的連續映射的充要條件為Y中任意開集M的原像是X中的開集。§4柯西點列和完備度量空間1、柯西點列

設是度量空間，是X中點列，如果對任何事先給定的，存在正整數，使當時，必有則稱是X中的柯西點列或基本點列。

在實數空間當中，柯西點列一定是收斂點列；但是在一般的度量空間當中，柯西點列不一定收斂，但是每一個收斂點列一定是柯西點列。2、完備的度量空間

如果度量空間中每一個柯西點列都在中收斂，則稱是完備的度量空間。子空間完備性定理

完備度量空間X的子空間M，是完備空間的充要條件是：M是X中的閉子空間。例題

1：及是完備度量空間例題

2：n維歐幾里的空間是完備度量空間例題

3：是完備度量空間等距同構映射設是兩個度量空間，如果存在到的保距映射，即，則稱和等距同構，此時稱為到上的等距同構映射。§6壓縮映射原理及其應用1、壓縮映射

設X是度量空間，T是X到X中的映射，如果存在一個數，，使得對所有的，成立則稱T是壓縮映射。幾何意義：壓縮映射就是使映射后距離縮短倍的映射。2、不動點

設X為一個集合，T是X到X的一個映射，如果，使得，則稱為映射T的不動點。

設X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么T有且只有一個不動點。3、壓縮映射定理完備度量空間中的壓縮映射必有唯一的不動點。注：定理中的度量空間的完備條件不能去掉。完備性是保證映射的不動點的存在，至于不動點的唯一性，并不依賴于X的完備性。壓縮映射具有連續性，即對任何收斂點列必有§8賦范線性空間和巴拿赫空間

設X是實（或復）的