專題05解一元一次不等式組（四大題型總結）【題型一：解一元一次不等式組】1．（24-25八年級上·全國·假期作業）解下列不等式組：（1）1+2x>3+x5x≤4x?1（2）2?x≤?13<x?1（3）3(x?1)<4x?2?x（4）12（5）12（6）x?3(x?2)≥41+2x2．（24-25七年級上·吉林長春·期末）解不等式組：（1）3x>x?2x+2（2）x?3x?23．（23-24七年級下·全國·單元測試）解不等式組：（1）x?3(x?2)≥42x?1（2）2x+3≥x+112x+54．（24-25九年級上·黑龍江大慶·期中）解下列不等式組：（1）3x>4?2x（2）x≥3?2x5．（24-25八年級上·浙江杭州·階段練習）解下列不等式組：（1）3x?2（2）3x+3>5x?16．（24-25八年級上·四川成都·期中）解一元一次不等式組，并把解集在數軸上表示出來．（1）2x+3>53x?2≤4（2）5x?1>3x+17．（23-24七年級下·全國·單元測試）解下列不等式組，并將解集表示在數軸上．（1）x?3x?2（2）3?x>05x+18．（23-24八年級下·全國·單元測試）解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．（1）5x+1≥3x+1（2）1?2x39．（23-24七年級下·全國·期中）解不等式組，并將解集表示在數軸上．（1）2x+3≤x+112x+5（2）2x≤x+2x?110．（23-24七年級下·全國·單元測試）解下列不等式組，并把解集在數軸上表示出來．（1）4x?1（2）4x?3x?2【題型二：不等式組和方程組結合的問題】11．（23-24七年級下·四川遂寧·期中）已知關于x、y的方程組x+y=m+24x+5y=6m+3的解滿足x>0，y>0，求m12．（23-24七年級下·吉林長春·期中）若關于x，y的二元一次方程組2x+y=8?kx+2y=4k+4的解滿足不等式x≥0，y≥013．（23-24七年級下·全國·假期作業）關于x，y的方程組x+3y=3?2k3x+y=1+k的解滿足x+y>0，且關于x的不等式組x?2x?1≤314．（23-24八年級下·河南鄭州·期中）已知關于x，y的二元一次方程組x+y=5?2mx?y=4m+1，其中x為非負數，y（1）求m的取值范圍；（2）化簡：m+3?15．（23-24七年級下·江蘇揚州·階段練習）已知x、y滿足3x+4y=1．（1）用含有x的代數式表示y；（2）當y>1時，求x的取值范圍；（3）當x、y滿足x>12，y≥?34且16．（23-24七年級下·江蘇揚州·期末）若關于x、y的二元一次方程組2x+y=6a?1x+2y=?5（1）若x、y滿足方程x?y=?4，求a的值；（2）若?2<x+y≤1，求a的取值范圍．17．（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）已知方程組x?y=1+3ax+y=?7?a中x為非正數，y（1）求a的取值范圍；（2）化簡：2a?7?（3）在（1）的范圍中，當a為何整數時，不等式2ax+x>2a+1的解集為x<118．（23-24七年級下·四川巴中·期末）已知方程組3x+y=?13+mx?y=1+3m的解滿足x為負數，y（1）m的取值范圍；（2）化簡m+2?（3）在（1）的條件下，若2m+1x?2m<1的解集為x>1，請寫出整數m19．（23-24八年級上·福建福州·開學考試）已知關于x，y的二元一次方程組x?5y=2k?7x+3y=5k（1）當k=3時，解這個方程組；（2）若?1<k≤4，設S=x?y7，求20．（23-24七年級下·福建泉州·期中）已知關于x和y的二元一次方程組x+3y=5k+1（1）當k=1時，求該方程組的解；（2）若該方程組的解滿足3x?2y=12k+1（3）設w=x?52y+1，若?1≤3x+2y≤1【題型三：由不等式組的解集求參數】21．（2025七年級下·全國·專題練習）已知不等式組x+9<5x+1x>a+1的解集是x>2，求a22．（24-25八年級上·陜西榆林·開學考試）已知關于x的不等式組x?a>2x+1<b的解集為?1<x<1，求a+b23．（24-25七年級下·全國·隨堂練習）已知關于x的不等式組&&2(x?m)>3x?2n<6的解集為2<x<3，求24．（24-25八年級上·全國·期末）若關于x的一元一次不等式組?2x+13≥?53x+a>?2+4x的解集為25．（24-25八年級上·浙江·階段練習）已知關于x的不等式組的x?a≥b2x?a<2b+1解集為3≤x<5（1）求a和b的值．（2）若x+y=3，求2x+y的取值范圍．26．（24-25七年級下·全國·單元測試）定義：若不等式組的解集是a<x<b，且滿足a+b=0，則稱該不等式組的解集是一個“對稱集”．若關于x的不等式組2(x+1)>x+5mx+m5>27．（23-24七年級下·河北邢臺·階段練習）嘉淇準備完成題目：解不等式組2x?4<3x?1（1）他把“□”猜成3，請你解不等式組2x?4<3x?1（2）王老師說：我做一下變式，若不等式組2x?4<3x?1x?□>x?428．（23-24七年級下·福建泉州·期中）若一個不等式（組）A有解且解集為a<x<ba<b，則稱a+b2為A的解集中點值．若A的解集中點值是不等式（組）B的解（即中點值滿足不等式組），則稱不等式（組）B對于不等式（組）（1）已知關于x的不等式組A:2x?3>56?x>0，以及不等式B:?1<x≤5，請判斷不等式B對于不等式組（2）已知關于x的不等式組C:2x+7>2m+13x?16<9m?1和不等式D:x>m?43x?13<5m，若D對于不等式組（3）已知關于x的不等式組E:x>2nx<2mn<m和不等式組F:x?n<62x?m>3n，若不等式組F對于不等式組E中點包含，且所有符合要求的整數29．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）新定義：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式組解集范困內，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關聯方程”，例如：方程x?1=3的解為x=4，而不等式組x?1>2x+2<7的解集為3<x<5，不難發現x=4在3<x<5的范圍內，所以方程x?1=3是不等式組x?1>2（1）在方程①3(x+1)?x=9；②4x?8=0；③x?12+1=x中，關于x的不等式組（2）若關于x的方程2x?k=6是不等式組3x+1≥2xx?12≥30．（23-24七年級下·廣東廣州·期末）定義：使方程（組）和不等式（組）同時成立的未知數的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“夢想解”．例：已知方程2x?3=1與不等式x+3>0，方程的解為x=2，使得不等式也成立，則稱“x=2”為方程2x?3=1和不等式x+3>0的“夢想解”．（1）x=?1①x?12>32，②2(x+3)<4（2）若關于x，y的二元一次方程組3x?2y=3m+22x?y=m?5和不等式組x>y?5x?y<1有“夢想解”，且（3）若關于x的方程x?4=?3n和關于x的不等式組2x?3≥2n?1x?1<4有“夢想解”，且所有整數“夢想解”的和為10，試求n【題型四：不等式組的整數解問題】31．（24-25九年級上·甘肅蘭州·期中）解不等式組：x232．（24-25八年級上·浙江溫州·期末）解不等式組?7+4x≤2x+4x<33．（24-25八年級上·四川眉山·期中）解不等式組：4x?134．（2024八年級上·全國·專題練習）若關于x的不等式組x?24<x?135．（2025七年級下·全國·專題練習）已知關于x的不等式組3x?a≥2x?136．（23-24七年級下·全國·單元測試）已知不等式組1?2x?1≤53x?a2<x+12的整數解是?1，037．（2024·山東濟南·模擬預測）若關于x的不等式組2x+1>x+ax2+1≥38．（2024七年級下·安徽·專題練習）已知關于x的不等式組3x+m<0x>?5的所有整數解的和為?9，求m39．（23-24七年級下·山西呂梁·期末）已知關于x的不等式組x?1<5+2x?2（1）當k=?2時，求該不等式組的解集．（2）若該不等式組有且只有2個整數解，求k的所有整數解的和m．（3）在（2）的條件下，已知關于a，b的方程組a+b2?a?b40．（23-24七年級下·湖南長沙·期末）我們約定：不等式組m<x<n，m<x≤n，m≤x<n，m≤x≤n的“長度”均為d=n?m，m<n，不等式組的整數解稱為不等式組的“整點”．例如：?2<x≤2的“長度”d=2??2=4，“整點”為（1）不等式組5x+3>3x2x?1≤0的“長度”d=（2）若不等式組1≤x≤3ax?3<12x+2的“長度”（3）若不等式組1≤x≤3a≤x≤12a+2的“長度”d=32，此時是否存在實數m使得關于專題05解一元一次不等式組（四大題型總結）【題型一：解一元一次不等式組】1．（24-25八年級上·全國·假期作業）解下列不等式組：（1）1+2x>3+x5x≤4x?1（2）2?x≤?13<x?1（3）3(x?1)<4x?2?x（4）12（5）12（6）x?3(x?2)≥41+2x【思路點撥】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．（1）分別求出每一個不等式的解集，確定不等式組的解集即可；（2）分別求出每一個不等式的解集，確定不等式組的解集即可；（3）分別求出每一個不等式的解集，確定不等式組的解集即可；（4）分別求出每一個不等式的解集，確定不等式組的解集即可；（5）分別求出每一個不等式的解集，確定不等式組的解集即可（6）分別求出每一個不等式的解集，確定不等式組的解集即可．【解題過程】（1）解：1+2x>3+x①由①得：x>2，由②得：x≤?1，∴不等式組無解．（2）2?x≤?1由①得：x≥3，由②得：x>4，∴不等式組的解集為x>4．（3）3(x?1)<4x?2由①得：x>?1，由②得：x<?5∴不等式組的解集為?1<x<?5（4）1由①得：x≤1，由②得：x<∴不等式組的解集為x<（5）1由①得：x<由②得：x>0，∴不等式組的解集為0<x<1．（6）x?3(x?2)≥4由①得：x≤1，由②得：x<∴不等式組的解集為x≤1．2．（24-25七年級上·吉林長春·期末）解不等式組：（1）3x>x?2x+2（2）x?3x?2【思路點撥】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關鍵．（1）先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集．（2）先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集．【解題過程】（1）解：3x>x?2①解不等式①得：x>?1，解不等式②得：x<1，∴不等式組的解集為：?1<x<1；（2）解：x?3x?2解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x<4，∴不等式組的解集為：x≤1．3．（23-24七年級下·全國·單元測試）解不等式組：（1）x?3(x?2)≥42x?1（2）2x+3≥x+112x+5【思路點撥】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．（1）分別求出每一個不等式的解集，根據“同小取小”，即可確定不等式組的解集．（2）分別求出每一個不等式的解集，根據“大大小小找不到”，即可確定不等式組的解集．【解題過程】（1）解：x?3(x?2)≥4①解不等式①得x≤1，

解不等式②得x<?7，∴這個不等式組的解集為x<?7；（2）解：2x+3≥x+11①解不等式①得x≥8，解不等式②得x<45∴這個不等式組無解．4．（24-25九年級上·黑龍江大慶·期中）解下列不等式組：（1）3x>4?2x（2）x≥3?2x【思路點撥】本題考查了解一元一次不等式組和不等式的性質，根據不等式的性質進行變形是解題的關鍵．（1）先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可；（2）先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．【解題過程】（1）解：3x>4?2x解不等式①得：x>4解不等式②得：x>1，∴不等式組的解集為：x>1．（2）解：x≥3?2x①解不等式①得：x≥1；解不等式②得：x<4，∴不等式組的解集為：1≤x<4．5．（24-25八年級上·浙江杭州·階段練習）解下列不等式組：（1）3x?2（2）3x+3>5x?1【思路點撥】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．【解題過程】（1）解：3解不等式①得：x<2，解不等式②得：x≤3，∴不等式組的解集為x<2；（2）解：3x+3>5解不等式①得：x<4，解不等式②得：x≥?2，∴不等式組的解集為?2≤x<4．6．（24-25八年級上·四川成都·期中）解一元一次不等式組，并把解集在數軸上表示出來．（1）2x+3>53x?2≤4（2）5x?1>3x+1【思路點撥】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．（1）分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解題過程】【解題過程】（1）解：由2x+3>5得：x>1，由3x?2≤4得：x≤2，則不等式組的解集為1<x≤2，將解集表示在數軸上如下：（2）由5x?1>3x+1得：x>2由x?22≤7?3x則不等式組的解集為2<x≤4，將解集表示在數軸上如下：7．（23-24七年級下·全國·單元測試）解下列不等式組，并將解集表示在數軸上．（1）x?3x?2（2）3?x>05x+1【思路點撥】本題考查解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式組的解集，熟練掌握不等式組的解法是解題的關鍵．（1）分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，并在數軸上表示出即可；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，并在數軸上表示出即可．【解題過程】（1）解：x?3解不等式①，得x≥?1，解不等式②，得x<2，∴不等式組的解集為?1≤x<2，解集在數軸上表示為如圖所示：（2）解：3?x>解不等式①，得：x<3，解不等式②，得x≥?1，∴不等式組的解集為：?1≤x<3，解集在數軸上表示為如圖所示：8．（23-24八年級下·全國·單元測試）解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．（1）5x+1≥3x+1（2）1?2x3【思路點撥】本題主要考查了解不等式組，并在數軸上表示不等式組的解集，解題的關鍵是熟練掌握解不等的基本步驟，準確計算，求出兩個不等式的解集．（1）先求出兩個不等式的解集，然后再求出不等式組的解集，最后將解集表示在數軸上即可；（2）先求出兩個不等式的解集，然后再求出不等式組的解集，最后將解集表示在數軸上即可．【解題過程】（1）解：5x+1≥3解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x<4，∴原不等式組的解集為1≤x<4，原不等式組的解集在數軸上表示如圖①所示：；（2）解：1?2x3解不等式①，得x≤1，解不等式②，得x>?4，∴原不等式組的解集為?4<x≤1，原不等式組的解集在數軸上表示如圖②所示：9．（23-24七年級下·全國·期中）解不等式組，并將解集表示在數軸上．（1）2x+3≤x+112x+5（2）2x≤x+2x?1【思路點撥】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式組的解集，掌握解一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．（1）先求出每個不等式的解集，再找出不等式組的解集并在數軸上表示出來即可；（2）先求出每個不等式的解集，再找出不等式組的解集并在數軸上表示出來即可．【解題過程】（1）解：2x+3≤x+11解不等式?①，得x≤8，解不等式?②，得x>2，∴不等式組的解集為：2<x≤8，把解集在數軸上表示出來為：（2）解：2x≤x+2?①解不等式?①得：x≤2，解不等式?②得：x>?3，不等式組的解集為：?3<x≤2，在數軸上表示為：10．（23-24七年級下·全國·單元測試）解下列不等式組，并把解集在數軸上表示出來．（1）4x?1（2）4x?3x?2【思路點撥】本題考查解不等式組，在數軸上表示不等式組的解集，熟練掌握確定一元一次不等式組解集的原則“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”是解題的關鍵．（1）分別求解兩個不等式，求出其解集，再根據得確定一元一次不等式組解集的原則到不等式組的解集，再把解集在數軸上表示出來即可．（2）分別求解兩個不等式，求出其解集，再根據得確定一元一次不等式組解集的原則到不等式組的解集，再把解集在數軸上表示出來即可．【解題過程】（1）解：解不等式①，得x>2.解不等式②，得x<72所以不等式組的解集為2<x<72它的解集在數軸上表示如下：（2）解：解不等式①，得x≥?2，解不等式②，得x<1.所以不等式組的解集為?2≤x<1．它的解集在數軸上表示如下：【題型二：不等式組和方程組結合的問題】11．（23-24七年級下·四川遂寧·期中）已知關于x、y的方程組x+y=m+24x+5y=6m+3的解滿足x>0，y>0，求m【思路點撥】本題考查了解方程組，解不等式組，先求得方程組的解，結合已知構造不等式組，求解即可，熟練掌握解方程組，不等式組是解題的關鍵．【解題過程】解：∵x+y=m+24x+5y=6m+3整理得：4x+4y=4m+8①②?①得：y=2m?5，∴x+2m?5=m+2，∴x=?m+7，∴x=?m+7y=2m?5∵x>0，y>0，∴?m+7>02m?5>0由?m+7>0可得m<7，由2m?5>0可得m>5∴5212．（23-24七年級下·吉林長春·期中）若關于x，y的二元一次方程組2x+y=8?kx+2y=4k+4的解滿足不等式x≥0，y≥0【思路點撥】本題主要考查了解二元一次方程組，求一元一次不等式組的整數解，先利用加減消元法解方程組得到x=4?2ky=3k，再由x≥0，y≥0【解題過程】解：2x+y=8?k①×2?②得：3x=12?6k，解得把x=4?2k代入①得：8?4k+y=8?k，解得y=3k，∴方程組的解為x=4?2ky=3k∵x≥0，∴4?2k≥03k≥0解得0≤k≤2，∴正整數k的值為1或2．13．（23-24七年級下·全國·假期作業）關于x，y的方程組x+3y=3?2k3x+y=1+k的解滿足x+y>0，且關于x的不等式組x?2x?1≤3【解題過程】解：x+3y=3?2k,①＋②，得4x+4y=4?k，∴x+y=1?1∵x+y>0，∴1?14k>0x?2x?1≤3,③2k+x3∵關于x的不等式組x?2x?1≤3,2k+x綜上所述，?1≤k<4．故符合條件的整數k的值為?1，0，1，2，3．14．（23-24八年級下·河南鄭州·期中）已知關于x，y的二元一次方程組x+y=5?2mx?y=4m+1，其中x為非負數，y（1）求m的取值范圍；（2）化簡：m+3?【思路點撥】本題考查了解二元一次方程組、解一元一次不等式組、化簡絕對值，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．（1）利用加減消元法解二元一次方程組得出x、y的值，再結合方程組的解是x為非負數，y為正數，得出不等式組，解不等式組即可得出答案；（2）由（1）可得?3<m<?1【解題過程】（1）解：x+y=5?2m①+②，得2x=6+2m，即x=m+3，把x=m+3代入②，得y=2?3m，由題意得m+3≥02?3m>0解得?3≤m<2（2）解：∵?3≤m<2∴m+3≥0，m?1<0．∴m+315．（23-24七年級下·江蘇揚州·階段練習）已知x、y滿足3x+4y=1．（1）用含有x的代數式表示y；（2）當y>1時，求x的取值范圍；（3）當x、y滿足x>12，y≥?34且【思路點撥】本題考查了解一元一次不等式組，解二元一次方程，解一元一次不等式．能正確解方程組或不等式組是解此題的關鍵．（1）把含x的項遷移到等式的右邊，化y的系數為1即可；（2）建立起關于x的不等式，求解即可；（3）先構造方程組，用含有m的代數式分別表示x，y，后建立不等式組求解即可．【解題過程】（1）解：∵3x+4y=1，∴4y=?3x+1，∴y=?3（2）解：∵y>1，∴?3解得：x<?1；（3）解：聯立方程組3x+4y=13x?4y=m解得x=1+m∵x>12，∴1+m6∴2<m≤7，∴m的取值范圍是2<m≤7．16．（23-24七年級下·江蘇揚州·期末）若關于x、y的二元一次方程組2x+y=6a?1x+2y=?5（1）若x、y滿足方程x?y=?4，求a的值；（2）若?2<x+y≤1，求a的取值范圍．【思路點撥】本題考查解二元一次方程組和解一元一次不等式，解題的關鍵：（1）正確找出等量關系列出關于a的一元一次方程，（2）根據不等量關系列出關于a的一元一次不等式組．（1）用加減消元法得出x?y用含有的式子a表示，代入x?y=?4，求出a的值即可，（2）用含有a的式子表示x+y=2a?2，代入?2<x+y≤1，得到關于a的一元一次不等式組，解之即可．【解題過程】（1）解：2x+y=6a?1x+2y=?5解得：x?y=4+6a，代入x?y=?4得：4+6a=?4，解得：a=?4故a的值為?4（2）解：2x+y=6a?1x+2y=?5∴3x+3y=6a?6，∴x+y=2a?2，把x+y=2a?2，代入?2<x+y≤1得：?2<2a?2≤1，解得：0<a≤3故a的取值范圍為：0<a≤317．（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）已知方程組x?y=1+3ax+y=?7?a中x為非正數，y（1）求a的取值范圍；（2）化簡：2a?7?（3）在（1）的范圍中，當a為何整數時，不等式2ax+x>2a+1的解集為x<1【思路點撥】（1）先求出方程組的解，即可得出不等式組，求出不等式組的解集即可；（2）根據?2<a≤3，再化簡絕對值即可；（3）根據不等式的解集求出a的范圍，即可得出答案．【解題過程】（1）解：解方程組x?y=1+3ax+y=?7?a得：x=?3+a∵方程組x?y=1+3ax+y=?7?a中x為非正數，y∴?3+a≤0?4?2a<0解得：?2<a≤3，即a的取值范圍是?2<a≤3；（2）解：∵?2<a≤3，∴?4<2a≤6，∴?11<2a?7≤?1,∴2a?7=7?2a?=7?2a?6+a=1?a；（3）解：2ax+x>2a+1，∴(2a+1)x>2a+1，∵要使不等式2ax+x>2a+1的解集為x<1，必須2a+1<0，解得：a<?0.5，∵?2<a≤3，a為整數，∴a=?1，所以當a為?1時，不等式2ax+x>2a+1的解集為x<1．18．（23-24七年級下·四川巴中·期末）已知方程組3x+y=?13+mx?y=1+3m的解滿足x為負數，y（1）m的取值范圍；（2）化簡m+2?（3）在（1）的條件下，若2m+1x?2m<1的解集為x>1，請寫出整數m【思路點撥】本題考查了加減消元法解二元一次方程組，解一元一次不等式組，不等式的性質．（1）加減消元法解二元一次方程組得x=?3+my=?4?2m，由題意得，?3+m≤0（2）根據（1）的結果得到m+2≥0，m?3<0，化簡絕對值，計算即可求解；（3）根據不等式的性質可知，2m+1<0，然后求解作答即可．【解題過程】（1）解：3x+y=?13+m①①+②得，解得，x=?3+m，將x=?3+m代入②得，?3+m?y=1+3m，解得，y=?4?2m，∴x=?3+my=?4?2m∵x為負數，y為非正數，∴?3+m<0③解③得，m<3；解④得，m≥?2；∴不等式組的解集為?2≤m<3，∴m的取值范圍為?2≤m<3；（2）解：∵?2≤m<3，∴m+2≥0，m?3<0，∴m+2?（3）解：∵2m+1x?2m<1∴2m+1x<2m+1∵不等式2m+1x?2m<1的解為x>1∴2m+1<0，即m<?1∴m的取值為?2<m<?1∴整數m的值為?1．19．（23-24八年級上·福建福州·開學考試）已知關于x，y的二元一次方程組x?5y=2k?7x+3y=5k（1）當k=3時，解這個方程組；（2）若?1<k≤4，設S=x?y7，求【思路點撥】（1）k=3時，方程組為x?5y=?1①（2）利用①+②得，2x?2y=7k?7，即：S=1【解題過程】（1）解：k=3時，方程組為x?5y=?1①②?①得，8y=16，解得：將y=2代入②得，x+6=15，解得x=9，即方程組的解是x=9y=2（2）解：x?5y=2k?7①①+②得，2x?2y=7k?7∵S=x?y∴S=1∵?1<k≤4，則?2<k?1≤3，∴?1<1∴S的取值范圍是：?1<S≤320．（23-24七年級下·福建泉州·期中）已知關于x和y的二元一次方程組x+3y=5k+1（1）當k=1時，求該方程組的解；（2）若該方程組的解滿足3x?2y=12k+1（3）設w=x?52y+1，若?1≤3x+2y≤1【思路點撥】（1）方程組利用加減消元法解答即可；（2）原方程組中的兩個方程相加，得3x?2y=4k+14，結合已知可得關于k的方程，求解即可；（3）解原方程組求得x=2k+4y=k?1，代入w的式子可得k=15?2w，代入已知的不等式組可得3x+2y=130?16w，結合已知條件可得關于w【解題過程】（1）解：當k=1時，方程組即為x+3y=6①①×2?②，得11y=0，解得把y=0代入①，得x=6，∴方程組的解為x=6y=0（2）原方程組中的兩個方程相加，得3x?2y=4k+14，∵3x?2y=1∴4k+14=1解得：k=?26（3）解方程組x+3y=5k+12x?5y=13?k，得x=2k+4∴w=x?5∴k=15?2w，∵3x+2y=32k+4∴3x+2y=815?2w∵?1≤3x+2y≤1，∴?1≤130?16w≤1，解得：12916【題型三：由不等式組的解集求參數】21．（2025七年級下·全國·專題練習）已知不等式組x+9<5x+1x>a+1的解集是x>2，求a【思路點撥】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練掌握解不等式組的方法和步驟．先分別求解兩個不等式，結合原不等式組的解集是x>2，得出關于a的不等式，求解即可．【解題過程】解：x+9<5x+1①解不等式①，得x>2，解不等式②，得x>a+1，因為該不等式組的解集是x>2，所以a+1≤2，所以a≤1．22．（24-25八年級上·陜西榆林·開學考試）已知關于x的不等式組x?a>2x+1<b的解集為?1<x<1，求a+b【思路點撥】分別求出每個不等式的解集，再結合不等式組的解集得出關于a、b的方程，解之即可得出答案．本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，“熟知同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．【解題過程】解：x?a>2解不等式①得：x>2+a解不等式②得：x<b?1∴不等式組的解集為2+a<x<b?1∵不等式組x?a>2x+1<b的解集為?1<x<1∴2+a=?1,b?1=1，解得：a=?3,b=2∴a+b=?123．（24-25七年級下·全國·隨堂練習）已知關于x的不等式組&&2(x?m)>3x?2n<6的解集為2<x<3，求【思路點撥】本題考查了解一元一次不等式組，求代數式的值，根據不等式組的解集求出m與n的值是解題的關鍵；先解不等式組，根據不等式組的解集得關于m與n的方程，求出m與n的值，即可求得代數式的值．【解題過程】解：令2(x?m)>3解不等式①，得x>m+32．解不等式②，得∵不等式組的解集為2<x<3，∴m+32=2解得m=12，∴2n24．（24-25八年級上·全國·期末）若關于x的一元一次不等式組?2x+13≥?53x+a>?2+4x的解集為【思路點撥】本題考查了解一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是能根據不等式的解集找出不等式組的解集．分別求出每一個不等式的解集，根據不等式組的解集x≤7即可得出a的取值范圍．【解題過程】解：不等式?2x+13≥?5∴2x≤14．∴x≤7；不等式3x+a>?2+4x可化為3x?4x>?a?2，∴?x>?a?2．∴x<a+2，∵關于x的一元一次不等式組?2x+13≥?5∴a+2>7．∴a>5．25．（24-25八年級上·浙江·階段練習）已知關于x的不等式組的x?a≥b2x?a<2b+1解集為3≤x<5（1）求a和b的值．（2）若x+y=3，求2x+y的取值范圍．【思路點撥】本題考查了不等式組的解法和二元一次方程組的解法，掌握不等式組的解法是解答本題的關鍵．不等式組的解法：先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分．不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解．（1）先求出每個一元一次不等式的解集，從而得到不等式組的解集，再根據不等式組的解集也是3≤x<5列出關于a，b的二元一次方程組，求出a、b即可；（2）根據x+y=3，得出2x+y=2x+3?x=x+3，根據3≤x<5，得出6≤x+3<8，即可得出答案．【解題過程】（1）解：解x?a≥b得，x≥a+b，解2x?a<2b+1得，x<a+2b+1∴a+b=3，a+2b+12解得：a=?3，b=6；（2）解：∵x+y=3，∴y=3?x，∴2x+y=2x+3?x=x+3，∵3≤x<5，∴6≤x+3<8，∴6≤2x+y<8．26．（24-25七年級下·全國·單元測試）定義：若不等式組的解集是a<x<b，且滿足a+b=0，則稱該不等式組的解集是一個“對稱集”．若關于x的不等式組2(x+1)>x+5mx+m5>【思路點撥】本題考查的是解一元一次不等式組，掌握“對稱集”的定義是解答此題的關鍵．解每個不等式得出5m?2<x<4m+20，根據“對稱集”的定義得出5m?2+4m+20=0，解方程即可．【解題過程】解：解不等式2(x+1)>x+5m，得x>5m?2，解不等式x+m5>x∴不等式組的解集為5m?2<x<4m+20，∵該不等式組的解集是一個“對稱集”，∴5m?2+4m+20=0，解得m=?2．27．（23-24七年級下·河北邢臺·階段練習）嘉淇準備完成題目：解不等式組2x?4<3x?1（1）他把“□”猜成3，請你解不等式組2x?4<3x?1（2）王老師說：我做一下變式，若不等式組2x?4<3x?1x?□>x?4【思路點撥】本題考查的是一元一次不等式組的解法，確定解集的方法，掌握確定不等式組的解集的方法是關鍵．（1）分別解不等式組中的兩個不等式，再確定解集的公共部分即可；（2）先解不等式組中的兩個不等式，再根據解集為x>?1，再確定范圍即可；【解題過程】（1）解：2x?4<3解不等式2x?4<3x?1∴2x?4<3x?3，∴x>?1解不等式x?3>x?4∴2x?6>x?4，∴x>2∴不等式組的解集為x>2．（2）解：2x?4<3x?1設常數“□”為m，∵x?m>x?4∴2x?2m>x?4，∴x>2m?4∴不等式x?m>x?42又∵不等式2x?4<3(x?1)的解集為x>?1，而不等式組2x?4<3(x?1)x?□>x?4∴?1≥2m?4，∴m≤3∴□≤328．（23-24七年級下·福建泉州·期中）若一個不等式（組）A有解且解集為a<x<ba<b，則稱a+b2為A的解集中點值．若A的解集中點值是不等式（組）B的解（即中點值滿足不等式組），則稱不等式（組）B對于不等式（組）（1）已知關于x的不等式組A:2x?3>56?x>0，以及不等式B:?1<x≤5，請判斷不等式B對于不等式組（2）已知關于x的不等式組C:2x+7>2m+13x?16<9m?1和不等式D:x>m?43x?13<5m，若D對于不等式組（3）已知關于x的不等式組E:x>2nx<2mn<m和不等式組F:x?n<62x?m>3n，若不等式組F對于不等式組E中點包含，且所有符合要求的整數【思路點撥】本題考查新定義概念的運用與求解，不等式組的解法和不等式的性質，掌握好不等式組的解法和不等式性質是本題解題關鍵．（1）先解不等式組A，再按照要求求中點，再判斷中點是否在B不等式中即可．（2）先解不等式組C、D，再根據C組的中點在D不等式組中建立不等式，再解出m取值范圍．（3）先解不等式組E、F，再根據E組的中點在F不等式組中建立不等式，再解出m取值范圍，再根據符合要求的整數m之和為14，縮小m取值范圍從而確定n取值范圍．【解題過程】（1）解不等式組A：2x?3>56?x>0得4<x<6∴中點值為x=5又∵x=5在不等式B：?1<x≤5范圍內，∴不等式B對于不等式組A是中點包含；（2）解不等式C得：m?3<x<3m+∴不等式組C中點為：m?3解不等式D得：m?4<x<∵2m+1位于m?4和5m+133∴m?4<2m+1<解得：?4<m<10；（3）解不等式組E得：2n<x<2m，則中點值為n+m解不等式組F得：3n+m∵3n+m∴m<6n<m∵所有符合要求的整數m之和為14∴m可取5，4，3，2∴1≤n<2．29．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）新定義：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式組解集范困內，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關聯方程”，例如：方程x?1=3的解為x=4，而不等式組x?1>2x+2<7的解集為3<x<5，不難發現x=4在3<x<5的范圍內，所以方程x?1=3是不等式組x?1>2（1）在方程①3(x+1)?x=9；②4x?8=0；③x?12+1=x中，關于x的不等式組（2）若關于x的方程2x?k=6是不等式組3x+1≥2xx?12≥【思路點撥】本題考查解一元一次方程，解一元一次不等式組，理解材料中的不等式組的“關聯方程”是解題的關鍵．（1）先求出方程的解和不等式組的解集，再判斷即可；（2）先求出不等式組的解集，然后再解方程求出x=k+62，最后根據“關聯方程”的定義列出關于【解題過程】（1）解：①3(x+1)?x=9，解得：x=3，②4x?8=0，解得：x=2，③x?12解得：x=1，2x?2>x?1④解不等式④得：x>1，解不等式⑤得：x≤14∴該不等式組的解集為：1<x≤14∵x=3和x=2在1<x<14∴不等式組2x?2>x?13(x?2)?4≤4故答案為：①②．（2）3x+1≥2x①解不等式①得：x≥?1，解不等式②得：x≤7，∴不等式組的解集為：?1≤x≤7，2x?k=6，解得：x=k+6∵關于x的方程2x?k=6是不等式組3x+12∴?1≤k+6解得：?8≤k≤8，∴k的取值范圍是?8≤k≤8．30．（23-24七年級下·廣東廣州·期末）定義：使方程（組）和不等式（組）同時成立的未知數的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“夢想解”．例：已知方程2x?3=1與不等式x+3>0，方程的解為x=2，使得不等式也成立，則稱“x=2”為方程2x?3=1和不等式x+3>0的“夢想解”．（1）x=?1①x?12>32，②2(x+3)<4（2）若關于x，y的二元一次方程組3x?2y=3m+22x?y=m?5和不等式組x>y?5x?y<1有“夢想解”，且（3）若關于x的方程x?4=?3n和關于x的不等式組2x?3≥2n?1x?1<4有“夢想解”，且所有整數“夢想解”的和為10，試求n【思路點撥】本題考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程組和一元一次不等式組，理解“夢想解”的定義是解題的關鍵．（1）分別把x=?1代入每個不等式，判斷是否是不等式的解即可；（2）求出方程組的解，代入不等式組，再解不等式組求出m的取值范圍，最后結合m為整數即可求解，（3）求出方程的解為x=?3n+4，不等式組的解集為n+1≤x<5，由所有整數“夢想解”的和為10可得0≤n+1≤1，解得?1≤n≤0．【解題過程】（1）解：把x=?1代入不等式x?12>∴x=?1不是不等式x?1把x=?1代入不等式2(x+3)<4得，左邊=2×?1+3∴x=?1不是不等式2(x+3)<4的解；把x=?1代入不等式x?12<3得，左邊∴x=?1是不等式x?12故答案為：③；（2）解：解方程組得x=?m?12y=?3m?19∵二元一次方程組3x?2y=3m+22x?y=m?5和不等式組x>y?5∴x=?m?12y=?3m?19把x=?m?12y=?3m?19代入不等式組得，?m?12>?3m?19?5解不等式組得?6<m<?3，∵m為整數，∴m=?5或?4；（3）解：由方程x?4=?3n得，x=?3n+4，解不等式組2x?3≥2n?1x?1<4得：n+1≤x<5∵所有整數“夢想解”的和為10，∴整數“夢想解”為1、2、3、4或0、1、2、3、4，∵關于x的方程x?4=?3n和關于x的不等式組2x?3≥2n?1x?1<4∴0≤n+1≤1，解得∶?1≤n≤0．綜上，?1≤n≤0．【題型四：不等式組的整數解問題】31．（24-25九年級上·甘肅蘭州·期中）解不等式組：x2【思路點撥】本題主要考查了解一元一次不等式組、求不等式組的整數解等知識點，正確求出不等式組的解集是解題的關鍵．先分別求出不等式組中每一個不等式的解集，然后再確定不等式組的解集，最后確定所有整數解即可．【解題過程】解：x解不等式①得：x>?2，解不等式②得：x≤2，所以不等式組的解集為?2<x≤2，∴不等式組的整數解為x=?1、32．（24-25八年級上·浙江溫州·期末）解不等式組?7+4x≤2x+4x<【思路點撥】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，熟練掌握該知識點是解題的關鍵．先求出兩個不等式的解集，再求其公共解，然后寫出范圍內的非正整數，即可得到答案．【解題過程】解：?7+4x≤2x+4解①得，x≤解②得，x>?∴原不等式組的解為：?∴非正整數解為?3、?2、?1、0∵?3+∴所有非正整數解的和為?6．33．（24-25八年級上·四川眉山·期中）解不等式組：4x?1【思路點撥】本題考查了一元一次不等式組的整數解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的法則是解答此題的關鍵，分別計算出兩個不等式的解集，再根據大小小大中間找確定不等式組的解集，最后找出解集范圍內的非負整數即可．【解題過程】解：4解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x>?1，數軸表示如下；所以不等式組的解集為：?1<x≤2，所以不等式組的非負整數解為2，1，0．34．（2024八年級上·全國·專題練習）若關于x的不等式組x?24<x?1【思路點撥】本題考查了不等式組的整數解，關鍵是根據不等式組的整數解求出取值范圍，用到的知識點是一元一次不等式的解法．解不等式組得出其解集為?2<x≤m+23，根據不等式組有且只有三個整數解得出【解題過程】解：解不等式x?24<x?1解不等式2x?m≤2?x，得：x≤m+2則不等式組的解集為：?2<x≤m+2∵不等式組有且只有三個整數解，∴1≤m+2解得：1≤m<4，故答案為：1≤m<4．35．（2025七年級下·全國·專題練習）已知關于x的不等式組3x?a≥2x?1【思路點撥】本題考查了一元一次不等式組的整數解：已知解集（整數解）求字母的取值．解題思路為：先把題目中除未知數外的字母當做常數看待解不等式組或方程組等，然后再根據題目中對結果的限制的條件得到有關字母的代數式，最后解不等式即可得到答案．【解題過程】解；2x?1去分母：22x?1去括號：4x?2≤12?3x，合并同類項：7x≤14，∴x≤2，3去括號：3x?3a≥2x?2，合并同類項：x≥3a?2，∵不等式組有5個整數解，∴不等式組的解集為a?2≤x≤2，且5個整數解為：2，1，0，?1，?2，∴?3<3a?2≤?2，∴?136．（23-24七年級下·全國·單元測試）已知不等式組1?2x?1≤53x?a2<x+12的整數解是?1，0【思路點撥】本題考查了由一元一次不等式組的解集求參數，解題的關鍵是掌握不等式組的解法．先分別求出每個不等式的解集，再根據不等式組的整數解是?1，0，1，2，求解即可．【解題過程】解：1?2x?1解不等式①得：1?2x+2≤5，?2x≤5?2?1，?2x≤2，x≥?1，解不等式②得：3x?a<2x+1，x<a+1，∵不等式組的整數解是?1，0，1，2，∴不等式組的解集是?1≤x<a+1，∴a+1>2a+1≤3解得：1<a≤2．37．（2024·山東濟南·模擬預測）若關于x的不等式組2x+1>x+ax2+1≥【思路點撥】本題考查了含參數的一元一次不等式組的整數解問題，掌握一元一次不等式組的解法，理解參數的意義是解題的關鍵．根據題意可求不等式組的解集為a?1<x≤5，再分情況判斷出a的取值范圍，即可求解．【解題過程】解：2x+1>x+a①解不等式①得：x>a?1解不等式②得：x≤5∴a?1<x≤5∵所有整數解的和為14，∴不等式組的整數解為5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，?1，∴1≤a?1<2或?2≤a?1<?1，∴2≤a<3或?1