PAGE1-課時作業18拋物線及其標準方程學問點一拋物線的定義1.已知動點M的坐標滿意方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，則動點M的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓答案C解析方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|可化為eq\r(x2＋y2)＝eq\f(|3x＋4y－12|,5)，它表示點M到坐標原點O的距離等于它到直線3x＋4y－12＝0的距離，由拋物線的定義可知，動點M的軌跡是拋物線．故選C.2．給出下列命題：①到定點F(－1,0)的距離和定直線x＝1的距離相等的動點P的軌跡為拋物線；②到定點F(2,1)的距離和到定直線3x－2y－4＝0的距離相等的動點P的軌跡為拋物線；③拋物線的焦點肯定在y軸上．其中假命題是________(填序號)．答案②③解析由拋物線的定義，知命題①為真命題；因為定點F(2,1)在定直線3x－2y－4＝0上，可知動點P的軌跡為一條直線，所以命題②為假命題；因為拋物線的焦點可以隨建立坐標系的方式不同而不同，因此可以在x軸上，所以命題③為假命題．3．平面上動點P到定點F(1,0)的距離比點P到y軸的距離大1，求動點P的軌跡方程．解解法一：設點P的坐標為(x，y)，則eq\r(x－12＋y2)＝|x|＋1.兩邊平方并化簡，得y2＝2x＋2|x|，所以y2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,0，x<0.))于是動點P的軌跡方程為y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．解法二：由于點F(1,0)到y軸的距離為1，所以當x<0時，射線y＝0上的點滿意題意；當x≥0時，已知條件等價于點P到點F(1,0)的距離與到其直線x＝－1的距離相等，所以點P的軌跡是以點F為焦點，直線x＝－1為準線的拋物線，方程為y2＝4x.于是動點P的軌跡方程為y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．學問點二拋物線的標準方程4.拋物線y＝2x2的焦點坐標是________，準線方程為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))y＝－eq\f(1,8)解析拋物線方程即x2＝eq\f(1,2)y，可知焦點在y軸上，且eq\f(p,2)＝eq\f(1,8)，所以焦點坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))，準線方程為y＝－eq\f(1,8).5．依據下列條件寫出拋物線的標準方程：(1)準線方程為y＝－1；(2)焦點在x軸的正半軸上，焦點到準線的距離是3.解(1)由準線方程為y＝－1知拋物線焦點在y軸正半軸上，且eq\f(p,2)＝1，則p＝2.故拋物線的標準方程為x2＝4y.(2)設焦點在x軸的正半軸上的拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)，則焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準線為x＝－eq\f(p,2)，則焦點到準線的距離是p＝3，因此所求的拋物線的標準方程是y2＝6x.一、選擇題1．頂點在原點，且過點(－4,4)的拋物線的標準方程是()A.y2＝－4x B.x2＝4yC.y2＝－4x或x2＝4y D.y2＝4x或x2＝－4y答案C解析設拋物線方程為y2＝－2p1x或x2＝2p2y，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.故拋物線的標準方程為y2＝－4x或x2＝4y.故選C.2．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，則p的值為()A.eq\f(1,2) B.1C.2 D.4答案C解析由拋物線的標準方程得準線方程為x＝－eq\f(p,2).由x2＋y2－6x－7＝0得(x－3)2＋y2＝16.∵準線與圓相切，∴3＋eq\f(p,2)＝4，∴p＝2.故選C.3．設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝eq\f(k,x)(k>0)與C交于點P，PF⊥x軸，則k＝()A.eq\f(1,2) B.1C.eq\f(3,2) D.2答案D解析易知拋物線的焦點為F(1,0)，設P(xP，yP)，由PF⊥x軸可得xP＝1，代入拋物線方程得yP＝2，(－2舍去)，把P(1,2)代入曲線y＝eq\f(k,x)(k>0)得k＝2.故選D.4．若動圓與圓(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，則動圓圓心的軌跡方程是()A.y2＝8x B.y2＝－8xC.y2＝4x D.y2＝－4x答案A解析設動圓的半徑為r，圓心為O′(x，y)，且O′到點(2,0)的距離為r＋1，O′到直線x＝－1的距離為r，所以O′到(2,0)的距離與到直線x＝－2的距離相等，由拋物線的定義，動圓圓心的軌跡方程為y2＝8x.故選A.5．已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0等于()A.4 B.2C.1 D.8答案C解析如圖，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，過A作AA′⊥準線l，∴|AF|＝|AA′|，∴eq\f(5,4)x0＝x0＋eq\f(p,2)＝x0＋eq\f(1,4)，∴x0＝1.故選C.二、填空題6．若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y軸的距離是________．答案9解析由于拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線為x＝－1，設點M的坐標為(x，y)，則x＋1＝10，所以x＝9.故M到y軸的距離是9.7．在平面直角坐標系xOy中，有肯定點A(2,1)，若線段OA的垂直平分線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，則該拋物線的準線方程是__________．答案x＝－eq\f(5,4)解析OA的垂直平分線方程為y＝－2x＋eq\f(5,2)，令y＝0，得x＝eq\f(5,4)，∴焦點F的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0)).∴拋物線方程為y2＝5x，其準線方程為x＝－eq\f(5,4).8．下圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2m，水面寬4m．水位下降1m后，水面寬________m.答案2eq\r(6)解析以拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸建立直角坐標系，設拋物線的方程為x2＝－2py，則點(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當y＝－3時，x2＝6，所以水面寬為2eq\r(6)m.三、解答題9．設拋物線y2＝mx的準線與直線x＝1的距離為3，求拋物線的方程．解當m>0時，準線方程為x＝－eq\f(m,4)，由條件知1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))＝3，所以m＝8.此時拋物線方程為y2＝8x；當m<0時，準線方程為x＝－eq\f(m,4)，由條件知－eq\f(m,4)－1＝3，所以m＝－16，此時拋物線方程為y2＝－16x.所以所求拋物線方程為y2＝8x或y2＝－16x.10．設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F為拋物線的焦點．(1)若點P到直線x＝－1的距離為d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．解(1)依題意，拋物線的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.由拋物線的定義，知|PF|＝d，于是問題轉化為求|PA|＋|PF|的最小值．如圖，連接AF，交拋物線于點P，則最小值為eq\r(22＋12)