第十屆湖北省高三（4月）調研模擬考試數學試卷命題單位：黃岡市教科院審題單位：宜昌市教科院2025.4本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.★祝考試順利★注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.3.已知函數，若，則的最小值為（）A. B. C. D.4.一個直三棱柱形容器中盛有水，側棱，底面邊上的高為.當底面水平放置時水面高度為16（如圖①）.當側面水平放置時（如圖②），水面高度為（）A. B. C. D.5.已知向量，滿足，且在上的投影向量為單位向量，則（）A.1 B. C.3 D.26.已知為坐標原點，為雙曲線：的右焦點，，為的左右頂點，為上一點，軸，過的直線分別交軸和線段于，兩點，直線交軸于點，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.7.已知函數，若，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.8.如圖，半徑為1的與半徑為2的內切于點，沿的圓弧無滑動的滾動一周.若上一定點從點出發隨著的滾動而運動，設點的軌跡為，則（）A.是半徑為的圓 B.是半徑為1的圓C.是長度為2的線段 D.是長度為4的線段二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.是一組樣本數據，去掉其中的最大數和最小數后，剩下10個數的中位數小于原樣本的中位數B.若事件，相互獨立，且，，則事件，不互斥C.若隨機變量，，則D.若隨機變量的方差，期望，則隨機變量的期望10.已知，，分別為的內角，，所對的邊，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.，11.已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，，設直線為拋物線在點處的切線，過點作的垂線交拋物線于另一點，若，則下列說法正確的是（）A. B.直線的斜率為C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______.13.已知函數恰有2個極值點，則實數的取值范圍為______.14.甲乙丙三個班級共同分配9個三好學生名額，每班至少1個名額，用表示這三個班級中分配的最少名額數，則的數學期望______.四、解答題：共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知是無窮正整數數列，定義操作為刪除數列中除以余數為的項，剩下的項按原先后順序不變得到新數列.若，，進行操作后剩余項組成新數列，設數列的前項和為.（1）求；（2）設數列滿足，求數列的前項和.16.（本小題滿分15分）設函數，.（1）當，時，討論的單調性；（2）若，且和（為的導函數）的零點均在集合中，求的極小值.17.（本小題滿分15分）在平面直角坐標系中，為坐標原點，，分別是橢圓：的左焦點，右頂點，過的直線交橢圓于，兩點，當軸時，的面積為.（1）求；（2）若斜率為的直線交橢圓于，兩點，為以線段為直徑的圓上一點，求的最大值.18.（本小題滿分17分）如圖，在四棱錐中，為矩形，且，，.（1）求證：平面；（2）若（在的左側），設三棱錐體積為，四棱錐體積為，且.（I）求點到平面的距離；（II）求平面與平面所成夾角的正弦值.19.（本小題滿分17分）一電動玩具汽車需放入電池才能啟動.現抽屜中備有6塊規格相同的電池，其中3塊為一次性電池，另外3塊為可反復使用的充電電池.每次使用時隨機取一塊電池，若取出的是一次性電池，則使用后作廢品回收，若取出的是可充電電池，則使用后充滿電再放回抽屜.（1）在已知第2次取出一次性電池的條件下，求第1次取出的是可充電電池的概率；（2）設，是離散型隨機變量，在給定事件條件下的期望定義為其中為的所有可能取值的集合，表示事件“”與“”均發生的概率.設表示玩具汽車前4次使用中取出一次性電池的塊數，表示前2次使用中取出可充電電池的塊數，求；（3）若已用完一塊一次性電池后，記剩下電池再使用次后，所有一次性電池恰好全部用完的概率為，求數列的通項公式.

湖北省第十屆高三（4月）聯考數學參考答案及評分細則一、選擇題1.C2.A3.C4.D5.D6.B二、多選題9.BCD10.ABD11.BCD（注：第9，10，11題有錯選得0分，僅部分選對的選對一個各得2分）三、填空題12. 13. 14.8.解析：圓運動到，兩圓相切于點，點從運動到，易知，所以，所以，所以的軌跡為圓中過，的直徑，長度為4.10.解析：依題意有，所以，所以，所以，A正確；，所以B正確；因為，所以，，所以，所以，C錯；易知，，為銳角，且，，，，，.D正確，選ABD.11.解析：，所以，所以A錯，，所以在點處切線斜率為，所以，B正確；聯立及得，所以，所以，所以C正確；，所以，累加得，又，所以，所以，D正確，選BCD.14解析：易知，，所以，，所以.法二：列舉.三個班名額分配：1，1，7共3種；1，2，6共6種；1，3，5共6種；1，4，4共3種；2，2，5共3種；2，3，4共6種；3，3，3共1種，總計28種，其中名額最少是1的有18種，名額最少是2的有9種，名額都是3的有1種.依次求的概率分別為，，，期望為.15.解析：（1）由題意，所以，所以，所以.（2），所以，所以.所以.16.解析：（1），.當時，，在上單增，當時，令，或，時，，單調遞增，時，，單調遞減，時，，單調遞增，（2），令，所以或令，或，又，且，，互不相等，所以，所以所以或或.經檢驗，符合，所以，，令，或，當，，，，，所以時，取得極小值.17.解析：（1）依題意有，當軸時，，，.解得，.（2）設直線：，設，，聯立得所以，所以.，所以，的中點為，.又的軌跡是以為圓心，半徑的圓，所以.令，，記，，所以，時，注：若利用導數或其它方法求得最大值，結論正確，照樣給滿分。18.解析：（1）在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，又矩形中，，（2）由（1）知，平面，，所以平面，平面，所以，又在三角形中可求得，在直角三角形中可求得，又，又所以，又，所以，（I）取中點，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，，，，所以，，設平面的法向量則，所以，取，又，所以到平面的距離.注：過點作等腰三角形腰上的高，證明為點到平面的距離，然后等積法，，求得結果照樣給滿分.（II），，設平面的法向量，所以