對面積的曲面積分課件_第1頁
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文檔簡介

對面積的曲面積分上頁下頁鈴結束返回首頁一、對面積的曲面積分的概念與性質

設

為一物質曲面

其面密度為r(x

y

z)

求其質量

物質曲面的質量問題求質量的近似值

取極限求質量的精確值

S1

S2

Sn

(

Si也代表曲面的面積)

把曲面

分成n個小塊

下頁

把

任意分成n小塊

S1

S2

Sn

(

Si也代表曲面的面積)

在

Si上任意一點(

i

i

i)

對面積的曲面積分的定義下頁

則稱此極限為函數f(x

y

z)在曲面

上對面積的曲面

設曲面

是光滑的

函數f(x

y

z)在

上有界

如果當各小塊曲面的直徑的最大值

0時

極限總存在

>>>

在積分中

f(x

y

z)叫做被積函數

叫做積分曲面

如果f(x

y

z)在光滑曲面

上連續時對面積的曲面積分是存在的

今后總假定f(x

y

z)在

上連續

如果

是分片光滑的

例如

可分成兩片光滑曲面

1及

2(記作

1

2)

就規定說明:對面積的曲面積分有對弧長的曲線積類似的性質

首頁對面積的曲面積分的定義

二、對面積的曲面積分的計算法下頁

面密度為f(x

y

z)的物質曲面的質量為

另一方面

如果

由方程z

z(x

y)給出

在xOy面上的投影區域為D

那么曲面的質量元素為根據元素法

曲面的質量為下頁化曲面積分為二重積分設曲面

的方程為z

z(x

y)

在xOy面上的投影區域為Dxy

函數z

z(x

y)在Dxy上具有連續偏導數

被積函數f(x

y

z)在

上連續

則討論

如果積分曲面

由方程y

y(z

x)給出或由x

x(y

z)給出

那么

f(x

y

z)在

上對面積的曲線面積分如何計算?提示

對于

y

y(z

x)

有

解

下頁被平面z

h(0

h

a)截出的頂部

Dxy

x2

y2

a2

h2

解

下頁被平面z

h(0

h

a)截出的頂部

Dxy

x2

y2

a2

h2

因為所以>>>

z

0及x

y

z

1所圍成的四面體的整個邊界曲面

解

整個邊界曲面

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