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邊界層積分方程*對流邊界層示意圖層流附面層過渡區域湍流附面層層流底層層流段過渡段湍流段*概述：上次課我們得到了邊界層微分方程如下(層流)：連續方程：參數：動量方程：能量方程：*微分方程的缺點：有10個參數：且不易測量。即使在定常、忽略體積力、無內熱源的假設下，仍有8個不易測量的參數。工程上關心的是表面局部摩阻系數Cf和局部傳熱系數h等：

用微分方程組沒有體現出來。

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為此我們提出積分方程！*推導積分方程的幾個假定定常無體積力無內熱源

在這三個先決的假定條件下，我們才能推出控制體的積分方程。實際上，這幾個假定也是符合一般工程需要的。*定義幾個厚度邊界層厚度δ是粘性剪切層的幾何厚度，它只表示壁面附近粘性力影響區域的大小。但是，由于邊界層流動的速度是漸進地接近主流的，因此確定邊界層外邊界是困難的。所以工程中又引進另外一些更確切并且具有一定物理意義的邊界層積分厚度的概念

排量厚度與動量厚度焓厚度與傳導厚度*推導這幾個厚度的幾個假定定常無內熱源無體積力另外，表面無吸入或者吹出*

左端取到邊界層尚未開始處，右端取到充分發展處；下端貼著壁面，上端在邊界層以上。推導這幾個厚度的控制體：*排量厚度關于質量：體積內：流過控制體表面的質量：左端：下端：

右端：上端：

DABC*排量厚度控制體的質量守恒在定常條件下：

令，以使得整個邊界層均包括在積分之內，定義排量厚度，使得

DABC*排量厚度物理意義

稱為邊界層排量厚度，它表明：由于流體的粘性作用，存在著流動被阻滯了的邊界層，為了滿足連續性方程，流道就得擴張，才能讓一定量的流體通過，因此流線向外偏斜，被排移了的距離；也就是說，由于邊界層的存在排移了厚度為的非粘性流體的流量。*控制體的物理意義如圖，紅線為一條流線，由于邊界層的存在使它向上偏移了排量厚度δ1的距離。流線Yy=Y+δ1U∞δ1注意到，只是x的函數。*注意

排量厚度只是一種定義，并不能實際應用。因為：被積函數中的項無法知曉；關于“”的積分上限無法實現。后面的動量厚度之定義也存在著同樣的問題

*動量厚度關于動量體積內：在定常條件下，流過控制面的動量：

左端：下端：右端：上端：

DABCY足夠大，穿越BC邊界的流量*動量厚度應用控制體的動量定理有：令，以使得整個邊界層均包括在積分之內，定義動量厚度，使得*動量厚度的物理意義

是由于邊界層的存在所引起的動量通量減少量的度量，它正比于物體表面的阻力。它具有明確的物理意義：由于邊界層的存在損失了厚度為的非粘性流體的動量。*

現在，我們就來推導質量和動量積分方程:

方法：將質量和動量微分方程在控制體內積分，利用排量厚度和動量厚度的定義，消去一些積分號。注意：假定條件為定常、忽略體積力（壁面處可以有吸入或吹出）*與推導微分方程一樣，推導邊界層積分方程也需要控制體的定義。但是，積分方程的控制體與微分方程的大不一樣。*微分方程與積分方程控制體的不同微分方程的控制體積：控制體取在邊界層內部或外部的任意位置，且x方向與y方向都為無窮小，如圖中幾個小方塊。*微分方程與積分方程控制體的不同積分方程的控制體積：根據邊界層厚度十分有限這一事實，控制體在x方向沒有要求，而y方向為有限高度。且y方向的高度Y必須大于邊界層厚度。另外，積分方程的控制體不關注流態，不必理會控制體內部是層流還是湍流。

*質量積分方程0xy控制體的質量微分方程為：在控制體內沿0到Y積分上式，有：

-----質量積分方程定常*動量積分方程控制體的動量微分方程為：在控制體內沿0到Y積分上式，有：Y0xy*動量積分方程上下限處的物理條件：由控制體質量守恒方程：即：Y0xy*動量積分方程應用沿流線的無粘性流動的伯努力方程微分得：把壓力梯度項與自由流速度項聯系起來。*動量積分方程推導——動量積分方程*動量積分方程最終形式經整理得到動量積分方程為：我們可以看到：將排量厚度和動量厚度引用到邊界層的積分方程中，可以將積分運算形式改造成代數運算形式。*焓厚度與傳導厚度仿照排量厚度和動量厚度，可定義出焓厚度:傳導厚度:*能量積分方程在假定條件：①定常；②忽略體積力；③忽略內熱源下，引入控制體能量方程

前面引入了:*能量積分方程沿對上式左右兩端分別積分左端=其中第二項:*能量積分方程其中第三項:又質量守恒定律*能量積分方程得到:*能量積分方程同樣,沿對右式進行積分*能量積分方程結合上下限物理條件:*能量積分方程令左邊等于右邊,得到邊界層能量方程的積分形式為：代入焓厚度的定義于上式中,可得:

*能量積分方程展開并整理得:*方程封閉性的討論邊界層動量方程：微分方程：

參量：——5個，不易測量

積分方程：

參量：

——6個，容易測量*邊界層能量方程：微分方程：

參量：——8個，不易測量

積分方程：參量：——6個，容易測量*邊界層積分方程的其他形式動量積分方程的其它形式定常/忽略體積力定常/忽略體積力/無吸入與吹出*定常/忽略體積力/無吸入與吹出/恒定密度定常/忽略體積力/無吸入與吹出/恒定密度/恒定自由流*局部摩阻系數的引入

定義局部摩阻系數:

則在定常/忽略體積力/無吸入與吹出/恒定密度/恒定自由流條件下,由動量積分方程,得:*能量積分方程的其它形式定常/忽略體積力/忽略內熱源定常/忽略體積力/忽略內熱源/無吸入與吹出*定常/忽略體積力/忽略內熱源/無吸入與吹出/恒定密度定常/忽略體積力/忽略內熱源/無吸入與吹出/恒定密度/恒定自由流*定常/忽略體積力/忽略內熱源/無吸入與吹出/恒定密度/恒定自由流/恒定溫度差定義局部傳熱系數:引入焓的表達式:則局部Stanton數為:*小結在一定假設條件下,通過對邊界層微分方程進行邊界層高度的積分,得到邊界層的積分方程,以獲得數值解.為簡化積分方程,引入排量厚度,動量厚度和焓厚度,注意引入這三個量所取的控制體DABC*邊界層微分方程和積分方程控制體的區別:*積分方程的封閉性與微分方程相當,但當流體具體確定后,三個厚度就變為可測量的,有具體數據的物理量,所以與微分方程相比,積分方程的最大優點是:(1)將不易測量的參量改造成容易測量的參量

(2)可將積分運算形式改造成代數運算形式*本章給出了局部摩阻系數和局部Stanton數的函數表達,但