2024-2025學年八年級數學下冊第一次月考測試卷（考試范圍：第16~17章）一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．若x3?x=x?3?xA．?3 B．5 C．2x?3 D．3?2x2．如圖，在Rt△ABC，∠B=90°，BC=3，AC=5，以DE為折痕將∠A翻折，使點A與點C重合，則BD的長為（

A．78 B．1 C．258 3．已知x=2?3,y=2A．32 B．34 C．3?14．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，則BD，CD，AD三者的關系為（

）A．BD=CD+AD B．BD+CD=2ADC．BD2+C5．如圖是一個按某種規律排列的數陣：根據數陣排列的規律，第n（n是整數，且n≥4）行從左向右數第（n-3）個數是（用含n的代數式表示）（

）．A．n2?1 B．n2?2 C．6．已知m、n是正整數，若2m+5A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是7．如圖，在4×4的正方形網格中，小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點，A，B，C，D，E，F都在格點上，以AB，CD，EF為邊能構成一個直角三角形

A．1處 B．2處 C．3處 D．4處8．如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點B，D的距離，已經測得∠ABC=45°，∠ACD=90°，AC=CD，BC=152米，AB=40米，則BDA．50 B．40 C．402 D．9．若a和b都是正整數且a<b，a和b是可以合并的二次根式，下列結論中正確的個數為（）①只存在一組a和b使得a+②只存在兩組a和b使得a+③不存在a和b使得a+④若只存在三組a和b使得a+b=A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，以Rt△ABC各邊為邊分別向外作等邊三角形，編號為①、②、③，將②、①如圖所示依次疊在③上，已知四邊形EMNC與四邊形MPQN的面積分別為93與73，則斜邊BC的長為（）A．5 B．9 C．10 D．16二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．已知x、y滿足y=x2?16+12．如圖，有一圓柱形下水管道緊靠墻磚豎直安放，墻磚ABCD為長方形，AD=8分米，AB=6分米，該管道底面是周長為4分米的圓，一只螞蟻從點A爬過管道到達C，需要走的最短路程是分米．13．若m=7?2，那么2m14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P是邊AC上一動點，把△ABP沿直線BP折疊，使得點A落在圖中點A′處，當△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是．15．已知a+b+c+3=2a+4b?1+2c?216．如圖，在等腰直角△ABC的斜邊AB上任取兩點M,N，使∠MCN=45°，記AM=m,MN=n,BN=k，則以m,n,k為邊長的三角形的形狀是．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）先化簡，再求值：a+1?2a+a2(1)______的解法是錯誤的；(2)錯誤的原因在于未能正確地運用二次根式的性質：______；(3)先化簡，再求值：a+2a2?6a+918．（6分）先觀察下列等式，再回答問題：①1+1②1+1③1+1(1)根據上面三個等式，請猜想1+1(2)根據上述規律，解答問題：設m=1+1119．（6分）平面直角坐標系中，已知點P3a+1,6a?5是第一象限角平分線上的點，點C0,m，m≠0，點Dn,0，n≠0(1)以下兩個結論：①m+n是一個定值；②m?n是一個定值．其中有且只有一個結論正確，請選出來，并求出這個定值．(2)求四邊形OCPD的面積．20．（8分）小明家正在裝修，電視背景墻ABCD是矩形，其中BC=27m，AB=8m，中間要鑲一個長為

(1)矩形ABCD的面積是多少m2(2)除去大理石圖案部分，其他部分貼壁布，若壁布的造價為8元/m2，大理石的造價為150元21．（8分）如圖，某小區的兩個噴泉A，B位于小路AC的同側，兩個噴泉間的距離AB的長為25m．現要為噴泉鋪設供水管道AM,BM，供水點M在小路AC上，供水點M到AB的距離MN的長為12m，BM的長為15m．(1)求供水點M到噴泉A，B需要鋪設的管道總長；(2)請求出噴泉B到小路AC的最短距離．22．（9分）閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如23+1一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：23+1=2(3?1)②學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知ab2，ab3，求a2+b2．我們可以把ab和ab看成是一個整體，令xab，yab，則a2(1)計算：13+1+15+(2)m是正整數，am+1?mm+1+m，bm+1(3)已知15+x223．（9分）探究一：如圖1，P，問題：（1）若圖1中的△DEF為直角三角形，P的面積為3，Q的面積為10，則M的面積為________；（2）若P的面積為15cm2，Q的面積為45cm2，同時M的面積為探究二：圖形變化：（3）如圖2，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個半圓，判斷這三個半圓的面積之間有什么關系，并說說你的理由；（4）如圖3，如果直角三角形兩直角邊長分別為6和8，以直角三角形的三邊為直徑作半圓，你能利用上面的結論求出陰影部分的面積嗎？如果能，請寫出你的計算過程；如果不能，請說明理由．24．（10分）【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明精彩粉呈，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者，向常春在1994年構造發現了一個新的證法．【小試牛刀】（1）把兩個全等的直角三角形如圖1放置，∠DAB=∠B=90°，已知AB=AD=a，AE=BC=b，DE=AC=c，AC⊥DE，試證明a2

【知識運用】（2）如圖2，鐵路上A，B兩點（看作直線上的兩點）相距24千米，C，D為兩個村莊（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=23千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為千米（直接填空）；（3）在（2）的背景下，要在AB上建造一個供應站P，使得PC=PD，求AP的長．（4）【知識遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，求代數式x2+9+25．（10分）我們規定，三角形任意兩邊的“廣益值”等于第三邊上的中線和這邊一半的平方差．如圖1，在ΔABC中，AO是BC邊上的中線，AB與AC的“廣益值”就等于AO2（1）在ΔABC中，若∠ACB=90°，AB?AC=81，求AC的值．（2）如圖2，在ΔABC中，AB=AC=12，∠BAC=120°，求AB?AC，BA?BC的值．（3）如圖3，在ΔABC中，AO是BC邊上的中線，SΔABC=24，AC=8，AB?AC=?64，求BC和參考答案一．選擇題1．B【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式的性質，整式的加減．根據二次根式有意義的條件求得0≤x≤3，推出x+1>0，x?4<0，據此求解即可．【詳解】解：∵x3?x∴x≥0，3?x≥0，∴0≤x≤3，∴x+1>0，x?4<0，∴x+12故選：B．2．A【分析】本題考查的是勾股定理的應用，軸對稱的性質，根據勾股定理可以求得AB=4，再由勾股定理列出方程即可得出答案．【詳解】解：∵在Rt△ABC，∠B=90°，BC=3，AC=5∴AB=A設BD=x，則AD=4?x，由折疊可知CD=AD=4?x，在Rt△DBC中，∠B=90°∴BC∴32∴x=7∴BD=7故選：A3．C【分析】根據已知，得到x+y=2【詳解】解：∵x=2∴x+y=2∴x======3故選C．4．C【分析】過點C作CD′⊥BC，使CD′=BD，連接DD′，AD【詳解】解：如圖，過點C作CD′⊥BC，使CD′∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵CD∴∠ACD在△ABD和△ACDAB=AC∴△ABD≌△ACD∴AD=AD′，∴∠DAD∴△DAD∴D∵在Rt△DCD′∴BD故選C．5．C【分析】觀察數陣排列，可發現各數的被開方數是從1開始的連續自然數，行數中的數字個數是行數的2倍，求出n-1行的數字個數，再加上從左向右的第n-3個數，就得到所求數的被開方數，再寫成算術平方根的形式即可．【詳解】由圖中規律知，前（n-1）行的數據個數為2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），∴第n（n是整數，且n≥4）行從左向右數第（n-3）個數的被開方數是：n（n-1）+n-3＝n2-3，∴第n（n是整數，且n≥4）行從左向右數第（n-3）個數是：n故選：C．【點睛】本題考查了數字規律的知識；解題的關鍵是熟練掌握數字規律、二次根式的性質，從而完成求解．6．C【分析】根據二次根式的性質分析即可得出答案．【詳解】解：∵2m+5∴m=2，n=5或m=8，n=20，當m=2，n=5時，原式=2是整數；當m=8，n=20時，原式=1是整數；即滿足條件的有序數對（m，n）為（2，5）或（8，20），故選：C．7．B【分析】先利用勾股定理求出AB的長，再根據勾股定理的逆定理，如果滿足EF<AB，則CD2+EF2【詳解】解：由題意可得，CD=2，∵以AB，CD∴CD即4+EF解得EF=3，∴F點的位置如圖所示，共2處．

故選：B．8．A【分析】本題考查的是勾股定理的應用，二次根式的化簡，等腰三角形的判定，作出合適的輔助線是解本題的關鍵，如圖，過C作CM⊥AB于M，過D作DN⊥AB于N，求解CM=BM=15，AM=40?15=25，AC=152+252=534，CD=AD=1017，延長DC交AB于E，則∠ACE=90°，由勾股定理可得：CE2=AE2【詳解】解：如圖，過C作CM⊥AB于M，過D作DN⊥AB于N，∴CM∥DN，∵∠ABC=45°，BC=152∴CM=BM=15，∵AB=40，∴AM=40?15=25，∴AC=15∵AC=CD，∴CD=AD=A延長DC交AB于E，則∠ACE=90°，由勾股定理可得：CE∴25+ME2解得：ME=9，∴CE=C∴DE=CD+CE=834∴BE=15?9=6，∴AE=40?6=34，同理可得：AD∴1017解得：AN=10，∴BN=40?10=30，DN=A∴BD=B故選：A9．C【分析】直接利用同類二次根式的定義得出a和b是同類二次根式，進而得出答案．【詳解】解：①a和b都是正整數且a<b，a和b可以合并的二次根式，∵a∴a當a=2時b=8，故該選項①正確；②a+當a=3，則b=48,當a=12，則b=27故選項②正確；③a+當a=65時，b=65,a<b，所以不存在，故該選項③正確；④∵a∴1+b當ca=49時，∴b∴b=36a，有無數a和b滿足等式，故該選項④錯誤．故選：C．10．C【分析】設等邊三角形△EBC，△ABD，△ACF的面積分別是S3，S2，S1，AC=b，BC=a，AB=c，根據勾股定理得到c2+b2=a2，根據等式的性質得到34c2+34b2=34a2．根據等邊三角形的面積公式得到S3=34a2，S2=34c2，S1【詳解】解：如圖，設等邊三角形△EBC，△ABD，△ACF的面積分別是S3，S2，S1，AC=b，BC=a，AB=c，∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90度，∴c2+b2=a2，∴34c2+34b2=34∵S3=34a2，S2=34c2，S1=34∴S3﹣S2=34（a2﹣c2）=34b2=93，S3﹣S1=34a2﹣34b2=34（a2﹣b2）=34c2=∴b=6，c=8，即AB=8，AC=6，∴BC=AB2+A故選：C．二．填空題11．2或34【分析】本題考查二次根式有意義的條件；根據被開方數大于等于0列式不等式，求出x，再求出y，然后代入代數式進行計算即可得解．【詳解】解：依題意，得：x2解得：x=±4；當x=?4時，y=?9∴?16y+4x=18?16=2；當x=4時，y=?9∴?16y+4x=18+16=34；∴?16y+4x的值為2或34，故答案為：2或34．12．2【分析】本題考查了勾股定理的應用?最短路線問題，把圓柱側面展開，由兩點之間，線段最短，可知線段AC為螞蟻爬行的最短路徑，利用勾股定理計算即可求解，正確畫出圖形是解題的關鍵．【詳解】解：把圓柱側面展開，如圖，則AB=6+4=10分米，BC=AD=8分米，由兩點之間，線段最短，可知線段AC為螞蟻爬行的最短路徑，由勾股定理得，AC=A∴需要走的最短路程是241故答案為：24113．?2【分析】本題考查了二次根式的混合運算、完全平方公式，熟練掌握并靈活運用完全平方公式是解題關鍵．利用完全平方公式將2m3+9m2【詳解】解：∵m=7∴2=2=2m=2m=2×==14=?2故答案為：?2．14．4或3【分析】分類討論分別當∠AA′C=90°時，當∠ACA′=90°時，根據折疊的性質函數直角三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：如圖1，當∠AA′C=90°時，∵以直線BP為軸把△ABP折疊，使得點A落在圖中點A′處，∴AP=A′P，∴∠PAA′=∠AA′P，∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，∴∠PCA′=∠PA′C，∴PC=PA′，∴PC=12如圖2，當∠ACA′=90°時，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，∵以直線BP為軸把△ABP折疊，使得點A落在圖中點A′處，∴A′B=AB=10，PA=PA′，∴A′C=4，設PC=x，∴AP=8-x，∵A′C2+PC2=PA′2，∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，∴PC=3，綜上所述：當△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是4或3，故答案為：4或3．15．9【分析】先將原等式變形為(a?1)2+(b?1?2)2+【詳解】解：∵a+b+c+3=2a∴a?2a∴(a∴a?1=0，b?1?2=0，∴a=1，b?1=2，∴a=1，b=5，c=3，∴a+b+c=1+5+3=9，故答案為：9．16．直角三角形【分析】本題考查等腰直角三角形的性質，難度較大，注意掌握旋下列情形常實施旋轉變換：（1）圖形中出現等邊三角形或正方形，把旋轉角分別定為60°、90°；(2)圖形中有線段的中點，將圖形繞中點旋轉180°，構造中心對稱全等三角形；（3）圖形中出現有公共端點的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點，旋轉兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合．把△ACM繞C點逆時針旋轉90°，得△CBD，這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個與∠MCN相等的角，在一條直線上的m、x、n集中為△DNB，只需判定△DNB的形狀即可．【詳解】解：如圖：把△ACM繞C點逆時針旋轉90°，得△CBD，則△ACM≌△BCD，∴∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°，又∵CN=CN，∴△MNC≌△DNC，∴MN=ND=n,AM=BD=m，又∠DBN=45°+45°=90°，∴n∴以m、n、k為邊長的三角形的形狀是直角三角形．故答案為：直角三角形．三．解答題17．（1）解：當a=1007時，原式=a+=1007+∵1?1007<0∴原式=1007?=1007?1+1007=2013，∴小亮錯誤，故答案：小亮．（2）解：由題意得a2故答案：a2（3）解：當a=?2024時，原式=a+2=?2024+2∵?2024?3<0∴原式=?2024?2=?2024+4048+6=2030．18．（1）解：①1+1②1+1③1+1故1+1（2）解：①1+=1+1?②1+=1+1③1+=1+11+11+1故m=2023+1?1故不超過m的最大整數是2023．19．（1）結論①正確，理由如下：∵點P3a+1,6a?5∴3a+1=6a?5，解得：a=2，∴3a+1=7，6a?5=7，即點P的坐標為7,7，點C0,m，m≠0，點Dn,0，n≠0，且連接CD，∵∠CPD=90°，在Rt△CPDPCPCPCD即49+7?mm+n=14，所以結論①正確，且定值為14；取m=8，n=6，滿足m+n=14，此時m?n=2，若取m=10，n=4，同樣滿足m+n=14，但此時m?n=6，也不是定值．因此，結論②錯誤．（2）解：∵點C0,m，m≠0，點Dn,0，n≠0，且∴OC=m，OD=∵P7,7∴點P到x軸距離為7，到y軸距離為7，∴SS△OPD四邊形OCPD的面積：，SOCPD∵m+n=14，n≠0，∴m>0，n>0，S四邊形20．（1）解：∵BC=27m，∴矩形ABCD的面積為27×答：矩形ABCD的面積是66（2）解：大理石的面積為23壁布的面積為66則整個電視墻的總費用為8×46答：整個電視墻需要花費332621．（1）解：由題意可得，MN⊥AB,AB=25m在Rt△BMN中，∠BNM=90°∴BN=B∴AN=AB?BN=25?9=16(m在Rt△AMN，∠ANM=90°∴AM=A∴AM+BM=20+15=35(m即供水點M到噴泉A，B需要鋪設的管道總長為35m（2）解：在△ABM中，AB=25m∵BM∴△ABM是直角三角形，∠AMB=90°，∴BM⊥AC，∴噴泉B到小路AC的最短距離為BM=15m22．（1）原式===2019（2）∵am+1?mm+1+m，∴a+b=(∵2a∴2(a∴a2∴4(2m+1)∴2m=±5?1，∵m是正整數，∴m=2．（3）由15+x2∴15+∵(15∵15+∴15+23．解：（1）由題意得，SP=D∴SM故答案為：13；（2）∵P的面積為15cm2，Q的面積為45cm2，同時∴DE2=15，E∵DE∴△DEF是直角三角形，故答案為：直角；（3）S1設直角三角形的三邊分別為a、b、ca<b<c，則S1=12π∵S1∴S1（4）由圖②可得，S陰影24．（1）證明：根據題意，Rt△ABC≌Rt△DAE，AB=AD=a，AC=DE=c則BE=AB?AE=a?b，∴四邊形AECD的面積=1∵S∴12∴a（2）解：如圖2所示，連接CD，過點C作CE⊥AD于點E，

∵BC⊥AB，AD⊥AB，∴∠A=∠B=∠CEA=90°，∴四邊形ABCE是矩形，∴AE=BC=16千米，CE=AB=24千米，∵AD=23千米，∴DE=AD?AE=23?16=7（千米），由勾股定理得：CD=D則兩個村莊之間的距離為25千米．故答案為：25；（3）解：如圖3所示，連接CD，作線段CD的垂直平分線交AB于P，則點P即為所求；

連接PC，