試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年茂名市高三年級第二次綜合測試數學試卷試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，請將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知，則（

）A．1 B． C． D．2．設集合，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知向量不共線，且，則實數（

）A．3 B． C． D．4．若，則（

）A．0 B． C．1 D．45．二項式的展開式中的系數為（

）A． B． C．40 D．806．甲、乙、丙三人練習傳球，每次傳球時，持球者會等可能地傳給另外兩人中的任意一位，若第一次由甲開始傳球，則經過四次傳球后，球回到甲手中的概率為（

）A． B． C． D．7．已知函數為上的奇函數，，當時，，不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．設為坐標原點，為雙曲線的左焦點，圓與的漸近線在第一象限的交點為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．等差數列中，．記數列前項和為，下列選項正確的是（

）A．數列的公差為2 B．取最小值時，C． D．數列的前10項和為5010．的內角的對邊分別為，已知，下列選項正確的是（

）A． B．可能成立C．可能是等腰三角形 D．面積的最大值為2011．設為坐標原點，對點（其中）進行一次變換，得到點，記為，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．為圖象上一動點，，若的軌跡仍為函數圖象，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸于點，若，則．13．已知函數，若恒成立，則實數a的取值范圍是．14．已知棱長為的正四面體，且，為側面內的一動點，若，則點的軌跡長為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．已知為常數，且．(1)若，求函數的單調區間；(2)若方程有且僅有2個不等的實數解，求的值．16．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點，．

(1)證明：；(2)若為線段上一點，且四點共面，求三棱錐的體積．17．某運動員為了解自己的運動技能水平，記錄了自己1000次訓練情況并將成績（滿分100分）統計如下表所示.成績區間頻數100200300240160(1)求上表中成績的平均值及上四分位數（同一區間中的數據用該區間的中點值為代表）；(2)該運動員用分層抽樣的方式從的訓練成績中隨機抽取了6次成績，再從這6次成績中隨機選2次，設成績落在區間的次數為X，求X的分布列及數學期望；(3)對這1000次訓練記錄分析后，發現某項動作可以優化.優化成功后，原低于80分的成績可以提高10分，原高于80分的無影響，優化失敗則原成績會降低10分，已知該運動員優化動作成功的概率為．在一次資格賽中，入圍的成績標準是80分.用樣本估計總體的方法，求使得入圍的可能性變大時p的取值范圍.18．已知橢圓的焦距為2，點在上，是的右焦點，設過點的直線與交于兩點．(1)求的方程；(2)直線不與軸重合，且平分．①求的值；②若點是直線與的交點，證明：．19．已知為一個連續函數，若數列滿足：，則稱數列是關于的“可差數列”，記數列的前項和為．(1)若是關于的“可差數列”，求的通項公式及；(2)已知滿足：，若是關于的“可差數列”．①試求一個滿足條件的的解析式；②證明：對于任意給定的正數，總存在正整數，使得當時，．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】化簡求模長即可．【詳解】，，故選：A．2．A【分析】根據已知條件，推得是的真子集，即可判斷．【詳解】∵集合，，∴是的真子集，是的充分不必要條件．故選：A．3．D【分析】根據向量共線，可設，利用向量相等的條件求解即可．【詳解】因為向量不共線，且，設，即，所以，解得．故選：D．4．C【分析】根據兩角和正切公式展開后再代入即可.【詳解】，即，則，.故選：C.5．B【分析】由二項式定理的通項公式列方程，求出，求出項的系數即可．【詳解】由二項式定理的通項公式得：，令，解得：，所以的系數為：，故選：B．6．C【分析】由題意可列出球在甲手中的概率遞推關系式，構造出等比數列，求出第次球在甲手中的概率表達式，代入計算即可.【詳解】設事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由題意可知：，又，所以，構造等比數列，因為第一次由甲傳球，可認為第次傳球在甲，即，所以是以為首項，公比為的等比數列，故，則.故選：C.7．D【分析】構造函數，利用導數得到在各區間的符號，再分類討論即可解出不等式.【詳解】構造，則，因為當時，，則此時，單調遞增，則的正負符號由決定，又因為，則，因為在上單調遞增，則當時，，所以此時，當時，，所以此時，又因為為上的奇函數，則當時，，則，當時，，則，且，則若，則或即或，解得或，綜上，的解集為.故選：D.8．B【分析】根據條件寫出雙曲線的漸近線，與圓聯立求出，再利用向量夾角為建立等式求解離心率即可.【詳解】的漸近線為，聯立，因為在第一象限的交點為，得，即，所以，又，故，化簡得：，故選：B.9．AD【分析】根據等差數列通項公式得關于的方程，解出，則得到，最后一一判斷選項即可.【詳解】對A，設等差數列的公差為，則由題意知，解得，故A正確；對B，，，則當時，取最小值，故B錯誤；對C，，，則，故C錯誤；對D，數列的前10項和為，故D正確.故選：AD.10．AC【分析】由三角恒等變換公式結合正弦定理化簡即可判斷A，反證法假設成立，結合三角形三邊關系即可判斷B，假設結合余弦定理代入計算，即可判斷C，由三角形的面積公式結合余弦定理代入計算，即可判斷D.【詳解】由正弦定理可得,即，即，即，且，所以，且，所以，故A正確；假設，則，又，則，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故不可能成立，故B錯誤；假設，由余弦定理可得，代入可得，又，即，則成立，所以成立，成立，所以成立，故C正確；由三角形的面積公式，由余弦定理可得，即，且，，所以，化簡可得，解得，所以時，三角形的面積最大，最大值為，故D錯誤；故選：AC11．ABD【分析】對于A，驗證旋轉后的點是否滿足，即斜率乘積是否為，對于B，旋轉不改變點到原點的距離，直接計算和是否相等，對于C，根據變換得到的坐標關系可得變換形式，從而可判斷正誤，對于D，根據導數的范圍可出參數的范圍后可判斷正誤.【詳解】因為，，所以，所以，故A正確；因為，，所以，故B正確；因為，故，故，而，故，同理，故，故C錯誤；對于D，因為，故將順時針旋轉后仍為函數圖像，故圖象上的任意一點切線的斜率大于或等于，故即在上恒成立，故，故D成立.故選：ABD.12．8【分析】先求出焦點坐標，得到，即準線方程為，利用拋物線的定義可知等于其到準線的距離，即.【詳解】由題意可知焦點，準線方程為，又點在拋物線上，所以點到準線的距離為，由拋物線的定義可知.故答案為：.13．【分析】恒成立問題，可以用參變分離求最值的方法，結合放縮即可得答案.【詳解】由于，兩者都是當且僅當x＝1等號成立則所以．故答案為：．14．【分析】以為原點，建立空間直角坐標系，設，由，得到，得到點在空間中的軌跡為一個球，進而點在側面內的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓的一部分，求得，得到，進而求得點的軌跡長度.【詳解】以為原點，以的方向為軸，建立空間直角坐標系，可得，因為，可得，設，因為，即，可得，整理得，所以點在空間中的軌跡是以為球心，半徑為的球，又因為在側面內，過點作平面于點，則為的中心，點在側面內的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓的一部分，（如圖所示的圓的虛線部分），因為，所以，所以，則，所以點的軌跡長度為.故答案為：15．(1)單調增區間為和，單調減區間為.(2)【分析】（1）直接代入求導即可得到其單調區間；（2）求導得到其單單調性，再跟三次函數特點得到，解出方程即可.【詳解】（1）因為，所以，所以，當和時，單調遞增；當時，單調遞減，所以的單調增區間為和，單調減區間為.（2）因為方程有2個不同的實數解，所以有2個零點，又由（1）可知，，因為，則當，，當，，則在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，所以，解得或或或，又，所以.16．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用向量數量積證得，再利用線面垂直的性質與判定定義即可證明；（2）建立合適的空間直角坐標系得平面的一個法向量，再設，根據垂直關系得值，最后利用體積公式即可.【詳解】（1）由題意知，因為，所以，又平面，又平面，所以，又平面，且，所以平面，又平面，所以.（2）因為平面，又平面，所以，又，所以兩兩垂直，如圖以A為原點，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為則，不妨令，則所以設，則，因為四點共面，則，解得，即，所以.

17．(1)平均值為，上四分位數為；(2)分布列見解析，數學期望為；(3).【分析】（1）根據平均值計算公式和上四分位數計算方法即可得到答案；（2）寫出的可能取值，再分別計算出其分布列，最后再利用數學期望公式即可；（3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率計算公式得到關于的表達式，從而得到不等式，解出即可；法二：根據比例法得到相關概率表達式，解出不等式即可.【詳解】（1）依題意，平均值，，上四分位數落在區間，且等于.（2）由樣本數據可知，訓練成績在之內的頻數之比為2:1，由分層抽樣的方法得，從訓練成績在中隨機抽取了6次成績，在之內的4次，在之內的抽取了2次，所以可取的值有：0，1，2，，，，分布列為：012.（3）法一：設事件分別表示動作優化前成績落在區間，，，則相互互斥，所以動作優化前，在一次資格賽中，入圍的概率，設事件B為＂動作優化成功＂，則，動作優化后，在一次資格賽中，入圍事件為：，且事件相互互斥，所以在一次資格賽中入圍的概率，故，由解得，又的取值范圍是.法二：因為入圍的成績標準是80分，所以進行某項動作優化前，該運動員在資格賽中入圍的概率為：，進行某項動作優化后，影響該運動員入圍可能性變化的是落在區間或的成績，當且僅當動作優化成功，落在這兩個區間的成績才能符合入圍標準，所以進行優化后，該運動員在資格賽中入圍的概率，由，得，又的取值范圍是.18．(1)；(2)①；②證明見解析.【分析】（1）根據焦距得到，再代入點坐標即可得到橢圓方程；（2）①采用設線法，再聯立橢圓方程得到韋達定理式，再將角平分線轉化為，再韋達定理式整體代入化簡即可；②轉化為證明，而，替換其中的化簡即可.【詳解】（1）橢圓的焦距為，∴橢圓的左右焦點分別是，又點在橢圓上，，，橢