近世代數(shù)練習(xí)題題庫

§1第一章基礎(chǔ)知識

1.1判斷題：

1.2設(shè)與都是非空集合，那么。()

1.3AXB=BXA()

1.4只要是到的一一映射，那么必有

唯一的逆映射。()

1.5如果。是A至心的---映射，則j°(a)]=a。

()

1.6集合A到B的可逆映射一定是A到B的雙

射。()

1.7設(shè)、、都是非空集合，則到的

每個映射都叫作二元運(yùn)算。()

1.8在整數(shù)集Z上，定義“"：ab=ab(a,b

￡Z),則“”是Z的一個二元運(yùn)算。()

1.9整數(shù)的整除關(guān)系是Z的一個等價關(guān)系。

()

1.10填空題：

1.11若A={0,1},則AxA=

1.12設(shè)A={1,2},B={a,b},則AXB

1.13設(shè)={1}2,3}B={a,b},則

AxB=o

1.14設(shè)A={1,2},則

AxA=o.

1.15設(shè)集合；，則有

1.16如果是與間的---映射，是

的一個元，則。

1.17設(shè)人=31,a2,…a8},則A上不同的

二元運(yùn)算共有個。

1.18設(shè)A、B是集合，|A|=|B|=3,貝快

可定義個從A到B的映射，其中有

個單射，有個滿射，有個

雙射。

1.19設(shè)A是n元集，B是m元集，那么A到B

的映射共有個.

1.20設(shè)人={%卜0,則A到A的---映射共

有個.

1.21設(shè)A={a,b,c,d,e},則A的----變換共

有個.

1.22集合的元間的關(guān)系?叫做等價關(guān)系,

如果?適合下列三個條件：

陣｝,A,BeM,定義A~B=秩(A)=秩(B),則由“

確定的等價類有個。

1.31證明題：

1.32設(shè)是集合A到B的一個映射，對于，

規(guī)定關(guān)系：.證明：是A的一個等

價關(guān)系.

1.33在復(fù)數(shù)集C中規(guī)定關(guān)系：.證明:

是C的一個等價關(guān)系.

1.34在n階矩陣的集合中規(guī)定關(guān)系“~”：.

證明：”是的一個等價關(guān)系.

設(shè)是集合A的一個關(guān)系，且滿足：(1)對

任意，有；(2)對任意，若就有.證

明：“是A的一個等價關(guān)系.

設(shè)G是一個群，在G中規(guī)定關(guān)系“~存在于

,使得.證明：“"是G的一個等價關(guān)系.

第二章群論

判斷題：

§2.1群的定義.

設(shè)非空集合G關(guān)于一個乘法運(yùn)算滿足以下

四條：

(A)G對于這個乘法運(yùn)算都是封閉的；

(B)(a,b,cG,都有(ab)c=a(be)成立；

(0存在G,使得(aG,都有ea=a成立；

(D)(aG,都存在aG,使得aa=e成立。

則G關(guān)于這個乘法運(yùn)算構(gòu)成一個群。

()

設(shè)非空集合G關(guān)于一個乘法運(yùn)算滿足以下

四條：

A)G對于這個乘法運(yùn)算是封閉的;

B)a,b,cG,都有(ab)c=a(bc)成立；

C)存在eG,使得aG,都有ae=a

成立；

D)aG,都存在aG,使得aa=e

成立。

則G關(guān)于這個乘法運(yùn)算構(gòu)成一個群。()

1.1設(shè)G是一個非空集合，在G中定義了一個

代數(shù)運(yùn)算，稱為乘法，如果(DG對乘法運(yùn)算是封

閉的(2)G對乘法適合結(jié)合律(3)G對乘法適合消

去律，則G構(gòu)成群。()

1.2設(shè)G是一個有限非空集合,G中定義了一

個代數(shù)運(yùn)算稱為乘法,如果⑴.G對乘法運(yùn)算是

封閉的；（2）.乘法適合結(jié)合律與消去律，則G對

所給的乘法構(gòu)成一個群。（）

1.3實(shí)數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法成群。（）

1.4若G是一個n階群,aG,|a|表示a的階,

則⑸。()

1.5若|a|=2,|b|=7,ab=ba,則|ab|=14。

設(shè)Q為有理數(shù)集，在Q上定義二元運(yùn)算“”，

ab=a+b+ab（）構(gòu)成一個群。（）

§2.2變換群、置換群、循環(huán)群

1.6一個集合上的全體---變換作成一個變

換群。（）

1.7一個集合A的所有變換作成一個變換群

G.（）

1.8集合A的所有的一一變換作成一個變換

群。（）

1.9素?cái)?shù)階群都是交換群。（）

1.10p（p為質(zhì)數(shù)）階群G是循環(huán)群.（）

1.11素?cái)?shù)階的群G一定是循環(huán)群.（）

1.123次對稱群工是循環(huán)群。（）

1.13任意群都同構(gòu)于一個變換群.（）

1.14有限群都同構(gòu)于個置換群。()

1.15任何一個有限群都與一個循環(huán)群同構(gòu)。

()

1.16在5次對稱群中，(15)(234)的階是

6.()

1.17在4次對稱群S4中，(12)(324)的階

為6。()

1.18在中，(12)(345)的階是3。

()

1.19任意有限群都與一個交換群同構(gòu)。

()

1.20因?yàn)?2階群是交換群,所以62階群也

為交換群。()

1.216階群是交換群。(..

1.224階群一定是交換群。()

1.234階群一定是循環(huán)群。()

1.24循環(huán)群一定是交換群。()

1.25設(shè)G是群，a,beG,|a|=2,|b|=3,則

|ab|=6o()

1.2614階交換群一定是循環(huán)群。()

1.27如果循環(huán)群中生成元的階是無限的,

則與整數(shù)加群同構(gòu)。.().

1.28有理數(shù)加群Q是循環(huán)群。（）

若一個循環(huán)群G的生成元的個數(shù)為2,則G為

無限循環(huán)群。（）

§2.3子群、不變子群。

1.29若H是群G的一個非空子集，且

a,bH都有abH成立，則H是G的一個子

群。（）

1.30若H是群G的一個非空有限子集，且

a,bH都有abH成立，則H是G的一個子

群。（）

1.31循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。（）

1.32如果群的子群是循環(huán)群，那么也

是循環(huán)群。（）

1.33一個階是11的群只有兩個子群。

（）

1.34有限群G中每個元素,的階都整除群G的

階。（）

1.35設(shè)G是一個n階群，m|n,則G中一定有

m階子群存在。（）

1.36若G是60階群，則G有14階子群。（）

1.37設(shè)G是60階群，則G有40階子群。

（）

1.38階為100的群一定含25階元。（）

1.39階為100的群一定含25階子群。（）

1.40階為81的群G中，一定含有3階元。

（）

1.41設(shè)H是群G的一個非空子集，則。

（）

1.42設(shè)H是群G的一個非空子集，則。

（）

1.43群G的子群//是不變子群的充要條件為

Vg€G,V〃G"o（）

1.44群的一個子群元素個數(shù)與的每一

個左陪集的個數(shù)相等.（）

1.45指數(shù)為2的子群不是不變子群。（）

1.46若NH,HG,則NG。（）

1.47若N是群G的不變子群,N是群N的不變

子群，則N是G的不變子群。（）

1.48設(shè)H<G,KWG,則HK〈G。（）

若NN,HG那么NHGo（）

§2.4商群、群的同態(tài)定理。

1.49群之間的同態(tài)關(guān)系是等價關(guān)系。（）

1.50循環(huán)群的商群是循環(huán)群。（）

1.51設(shè)f:是群到群的同態(tài)滿射，a￡

，則a與f(a)的階相同。()

1.52設(shè)G是有限群，HWG,則。()

1.53若是群G到的同態(tài)滿射，N是G的

一個不變子群，則(N)是的不變子群，且

o()

1.54設(shè)f是群G到群的同態(tài)映射，HG,

則f(H)o()

1.55設(shè)f是群G到群的同態(tài)映射，HWG

則f(H)<o()

1.56若是群G到的一個同態(tài)滿射,N是G的一

個不變子群,則(N)是的不變子群,且工

1.57若是群G到的同態(tài)滿射，是的一個不變

子群，()表示斤的原象,則0是G不變子群,且二o

()

2設(shè)G和都是群，，，N=(),

則NG,且。()

2.1填空題：

2.2在群G中，a,b￡G,a2=e,a-Iba=

b2,貝!]|b[=o

2.3在交換群G中,a,b￡G,|a|=8,|b|=

3,則|a_2b|=o

2.4設(shè)a是群G的元,a的階為6,則a4的階

為0

2.5設(shè)a是群G中的一個8階元，則a的階為

2.6設(shè)G是交換群,a、bG,|a|=5,|b|=7,

則Iab|=o

2.7群AG中有個1階元。

2.8在S5中，4階元的個數(shù)為

2.9在S4中，3階元的個數(shù)為

2.10設(shè)為群,若,則

2.11設(shè)群G={e,al,a2,???,an-1),運(yùn)

算為乘法，e為G的單位元，則aln=—.

2.12若a,b是交換群G中的5階元和7?階元,

則ab的階為o

2.13在整數(shù)加群Z中，<4>n<6>

2.1410階交換群G的所有子群的個數(shù)是

2.15階數(shù)最小的非交換群的階數(shù)是

O一個有限非可換群至少含有

____________個元素.

2.16任意群G一定同構(gòu)于G的一個

2.17n次對稱群Sn的階是

23456789]

2.1843961827)分解為互不相

交的循環(huán)之積是O

2.19n階有限群G一定置換

群。

2.20每一個有限群都與一個群同

構(gòu)。

2.21已知為上的元素，則=

2.22給出一個5-循環(huán)置換,那么

2.23在4次對稱群S4中，

(134)2(312)-1=.

2.24在4次對稱群S4中，(24)(231)=

,(4321)-1=,

(132)的階為o

2.25在6次對稱群S

中，（1235）（36）=

2.26（2431）,=o

2.27設(shè)群G的元a的階是n,則ak的階是

2.28設(shè)群中元素的階為,如果,那

么與存在整除關(guān)系為O

2.29已知群中的元素的階等于50,則

的階等于O

2.30設(shè)為循環(huán)群，那么（1）若的階為無

限，則同構(gòu)于,（2）若的階為

n,則同構(gòu)于o

2.31若群G是一個6階循環(huán)群，則G與（模6

剩余類同構(gòu)）同構(gòu)。

2.32設(shè)=是循環(huán)群，則與模的剩余

類加群同構(gòu)的充要條件是O

2.33整數(shù)加群（Z,+）的兩個生成元是—+1

和-1________

2.34整數(shù)加群Z有個生成元.

2.35整數(shù)加群（Z,+）的生成元是

2.36無限循環(huán)群G=（a）的生成元為_a的逆

2.37無限循環(huán)群G中能作為G的生成元的元

素共有個。

2.38若G=(a)是一個無限循環(huán)的乘法群,則G

的另一個生成元是a的逆元—o

2.39剩余類加群Z共有_4個元可作為

它的生成元。

2.4016階循環(huán)群G中能作為G的生成元的元

素的個數(shù)為—8o

2.41模10G379》剩余類加群(Z,+)中能作為

Z的生成元的元素有O

2.42設(shè)=是12階循環(huán)群，則的生成元

是O

2.43設(shè)是一個階群，其中是一個素?cái)?shù),

是一個正整數(shù)，則的真子群的一切可能的階

數(shù)是O

2.44設(shè)G是p階群，(p是素?cái)?shù))，則G的

生成元有個.

2.45剩余類加群Z12有個生成元.

2.46設(shè)H是群G的非空子集，則H是G的子群

的充要條件是O

2.47設(shè)G=(a)是6階循環(huán)群，則G的子群

有o

2.48設(shè)群G是24階群，G中元素a的階是6,

則元素a2的階為,子群H=<

a3>的在G中的指數(shù)是o

2.49設(shè)為群的子群，則是群的子群

的充分必要條件為O

2.50設(shè)是群的子群，，則

2.51在3次對稱群S3中，H={(1),(12))

是S3的一個子群，則H(23)=.

2.52在3次對稱群S3中，H={(1),(23)},

則S3對H的右陪集分解式是o

2.53邑的子群//={(0.(123),(132)}的一切右陪集

2.54G<a)是21階群，H=.則

[G:H]=o

2.55凱萊定理說：任一個子群都同一個

同構(gòu)。

2.56凱萊定理的內(nèi)容是：任一個子群都同一

個同構(gòu)。

2.57設(shè)G是群,N是G的非空子集，則NAG

的充要條件是o

2.586階循環(huán)群有個子群.

2.59設(shè)G是由a生成的30階循環(huán)群,H=<a

-5>,則G/H=o

2.60設(shè)G=(a)是10階群，H=(a)，則=

2.61設(shè)：A,，貝！Jo

2.6216階循環(huán)群G中能作為G的生成元的元

素的個數(shù)為O

2.63設(shè)：A,，則=o

2.64模10的剩余類加群乙。的生成元為

2.65設(shè)a是群G中的一個6階元，則的階

為O

2.66一個6階的非交換群G中的非單位元的

階一定是。

2.67剩余類加群（〃+）中能作為它的生成元的

元素有O

2.68設(shè)G是群，a,b￡G,|a|=12,則

|balOb-11=o

2.69設(shè)G是一個20階的交換群，a￡G,|a|=2,

則G/<a>go

2.70在整數(shù)加群Z中，，，則

2.71在整數(shù)加群Z中，則[G:H]

2.72在12階循環(huán)群G中，G=<a>,H=<a2>,則

2.73在4次對稱群S4中，S={(123)},則

<S>=O

2.74在S5中，=(235)(13)(24),則

2.7521階群G中，7階子群的個數(shù)為

2.76設(shè)N,商群中的單位元是

2.77在Z24中，24,H=<[a]>,Z8,則

[a]=o

2.78在整數(shù)加群Z中，H=<a>,則a

2-79設(shè)Gl,G2分別為m,n階循環(huán)群，則

G1?G2的充要條件是o

2.80Z4到Z2的所有同態(tài)映射是

2.81在整數(shù)加群Z中，<12>+<18>+<10>

2.82在同構(gòu)的意義下，6階群有

種。

2.83設(shè)G是模4的剩余類加群，那么

Aut（G）=o

2.84設(shè)G是正有理數(shù)作成的乘法群,

a,a=（P,q為奇數(shù)，n為整數(shù)）,令:a

是G到（Z,+）的同態(tài)映射，則

2.85設(shè)G,H是兩個階互素的有限群，則G

到H的同態(tài)映射f為o

2.86在環(huán)R=4Z={4k|keZ）中，（8）

2.87在整數(shù)加群Z中，S={22,32}則

<S>=O

2.88設(shè)群中元素的階為，如果，那

么與存在整除關(guān)系為。

2.89設(shè)是一個階交換群，是的一個

（）階元，則商群的階等于

2.90

7、一個非正方形的長方形S的對稱群是

{?..}o

13.平面上的正方形的對稱群是

72.設(shè)a,b是群G的兩個元素，滿足aba=ba2b,

a3=l,b7=L則b=。

2.91證明題:

2.92令.證明，G對于矩陣的普通乘法作在

一個群.

2.93設(shè)G是整數(shù)集,規(guī)定運(yùn)算:.證明：G

對運(yùn)算作成一個群.

2.94方程工一】=。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的三個根關(guān)

于數(shù)的乘法構(gòu)成群.

2.95設(shè)證明:關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群.

2.96全體可逆的階方陣的集合（）關(guān)

于矩陣的乘法構(gòu)成一個非交換群.這個群的單位

元是單位矩陣，每個元素（即可逆矩陣）的逆元

是的逆矩陣.

2.97設(shè)為實(shí)數(shù)集，，令，將的所有這樣

的變換構(gòu)成一個集合，試證明：對于變換普通

的乘法，作成一個群。

2.98證明：若群G的每個元素都滿足方程，

則G是一個Abel群（交換群）.

2.99設(shè)G是一個群，證明：G是交換群的充

分必要條件是，對任意，都有.

2.100證明：在群G中，與有相同的階.

2.101證明：在群G中，與有相同的階.

2.102證明：在n階群G中每個元都滿足

xn=e.

2.103設(shè)為群..證明：與b有相同的階.

2.104證明：在群G中，ab與ba有相同的

階.

2.105設(shè)為群..證明：，，有相同的

階.

2.106設(shè)為到的同構(gòu)映射，.證明：

與有相同的階.

2.107設(shè)為群，，的階為，，.證明:

■

2.108設(shè),的階為，證明的階是,其

中。

2.109證明：循環(huán)群是交換群.

2.110證明：有限群中階數(shù)大于2的元的個

數(shù)必是偶數(shù).

2.111證明：任意偶數(shù)階群必含有階為2的

元素.

2.112設(shè)為素?cái)?shù).證明：中每一個非零元

都是生成元.

2.113設(shè)G是一個群,.若a的階是正整

數(shù)n.證明：對.

2.114設(shè)G是一個交換群，m是固定的正整

數(shù).令.證明：H是G的一個子群.

2.115假定和是一個群G的兩個元，并且

,又假定的階是，的階是，，證明：的

階是。

2.116設(shè)是群G的子群.證明：也是G

的一個子群.

2.117設(shè)G是一個群，令.證明：C是G

的一個子群.

2.118設(shè)G是一個群，S是G的一個非空子

集.令.證明：C(S)是G的一個子群.

2.119若群G的階是素?cái)?shù)p,則G是一個循

環(huán)群，試證之.

2.120證明：循環(huán)群的子群也是循環(huán)群.

2.121若群G與群同態(tài)，且G是循環(huán)群,

證明：也是循環(huán)群.

2.122證明：階為的群(p是素?cái)?shù))一定包

含有一個階為P的子群.

2.123設(shè)H,K是群G的不變子群，證明:

HK也是G的不變子群。

2.124設(shè)H,K是群G的不變子群，且.證

明：，都有.

2.125設(shè)H,K是群G的不變子群，證明：

也是G的不變子群。

2.126設(shè)H是群G的子群,N是G的不變子

群。證明：HN是G的子群.

2.127設(shè)G是一個n階有限群.證明：G的

每一個元素都滿足方程.

2.128設(shè)G是一個群，是G的中心，證明:

C是G的一個不變子群.

2.129設(shè)C是群G的中心，即.且商群

是循環(huán)群.證明：G交換群.

2.130若G是循環(huán)群，H是G的一個子群.

證明：也是循環(huán)群.

2.131設(shè)G是一個群，令.證明：是G到

G的同構(gòu)映射的充分必要條件是：G是一個交換

群.

2.132設(shè)H是群G的子群，令NG(H)={x|x(G,

xH=Hx},證明NG(H)是G的子群.

2.133設(shè)G是群，令C={x|x(G,(y(G,

xy=yx},證明C是G的正規(guī)子群。

2.134設(shè)G=(a)是一無限循環(huán)群，證明G的

生成元只有兩個。

2.135設(shè)G是交換群，證明G中一切有限階

元素組成的集合T是G的一個子群，且除單位

元之外不含有限階元素。

2.136取定群G的元u,在G中定義新的

“o"：aob=aub.a.bG.證明(G,o)是

群.

2.137證明循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。

2.138設(shè)p是一個素?cái)?shù)，證明2P階群G中

一定有一個P階子群No

2.139若G是一個群,e是G的單位元,G中

任何元都是方程的解，證明G是一個交換群。

2.140若G是一個循環(huán)群,N是G的一個子群,

證明也是一個循環(huán)群.

2.141證明階是素?cái)?shù)的群一定是循環(huán)群。

2.142設(shè)G是一個43階的有限群,證明G的

子群只有單位元群及G本身。

2.143證明：群G為交換群為G到G的一

個同構(gòu)映射。

2.144設(shè)G是一個1000階的交換群，a是G

的一個100階元，證明。

2.145設(shè)G是群，f:G-G,aa2,()證

明f是群G的自同態(tài)G是交換群。

2.146設(shè)G={(a,b)|a,b|R,}，在

G上定義“”：(a,b)證明(G,)構(gòu)成

一個群。

2.147設(shè)G是有限交換群，f:

GG,f(g)=gk(gG)證明

fAut(G)(k,|G|)=lo

2.148設(shè)G是100階的有限交換群，f:GG,

f(g)=g49(gG),證明fAut(G)o

2.149設(shè)A<G,B<G如果存在a,b^G,使得

Aa=Bb,則A=Bo

2.150設(shè)G是交換群，m是固定的整數(shù)，令

H={a|aG,am=e),證明HGo

2.151設(shè)HG,令CG(H)=

{g|gG,hH,gh=hg),證明CG(H)Go

2.152設(shè)G是非空有限集合，“”是G的

一個二元運(yùn)算，“”適合結(jié)合律及左、右消去

律，證明：(G,)構(gòu)成一個群，當(dāng)G是無限集時

呢？

2.153設(shè)G是2000階的交換群，

HG,|H|=200,證明：是一個循環(huán)群。

2.154證明：無限循環(huán)群的生成元的個數(shù)

只有兩個。反之，一個循環(huán)群G的生成元只有兩

個，則G是否一定同構(gòu)于Z?

2.155設(shè)G是一個循環(huán)群，|G|3,4,G的生

成元的個數(shù)為2,證明GZo

2.156設(shè)G是有限群，HG,aG,證明存

在最小正整數(shù)叫使amH,且m|。

2.157設(shè)G是奇階群，則對任意gG,存在

唯一元xG,使g=x2。

2.158證明：整數(shù)加群Z與偶數(shù)加群2Z同

構(gòu)。

2.159設(shè)HG,g是G的一個固定元素,

gHg-l={ghg-l|hH}(1)證明：gHg-LGo(2)

證明：Ho

2.160設(shè)G=,G對復(fù)數(shù)的加法構(gòu)成群，H

對矩陣的加法也構(gòu)成群，證明：GHo

2.161設(shè)H是群G的非空子集，且H中元的

階都有限，證明：HG。

2.162設(shè)Ng|G/N|=10,geG,|g|=12,證

明：g2eNo

2.163設(shè)G是群，a,bG,ab=ba,|a|=m,

|b|=n,<a>Cl<b>={e}.證明：|ab|=[m,n]

(Em,n]是m,n的最小公倍數(shù))。

2.164設(shè)是一個n次置換,集合X={1,2,

3,…，n},在X中，規(guī)定關(guān)系心”為k~l,

使r(k)=L證明：”是X上的一個等價關(guān)系。

2.165設(shè)K={⑴,(12)(34),(13)(24),

(14)(23)}證明：KS4o

2.166設(shè)G是群，HG,規(guī)定關(guān)系“a~

b證明：~是6的一個等價關(guān)系，且a所在的

等價類[a]=Ha。

2.167證明：15階群至多含有一個5階子

群。

2.168設(shè)HG,若H的任意兩個左陪集的乘

積仍是一個左陪集，證明HGo

2.169設(shè)NG,[G:N]=2004,證明：對，

恒有。

2.170設(shè)NG,[G:N]=4,證明：存在MG,

且[G:M]=2。

2.171設(shè)H,NG,證明：|ab|二6。

2.172設(shè)HG,證明：HG如果由o

2.173設(shè)k|叫證明：稀產(chǎn)…

2J74群G的非平凡子群N稱為G的極小子

群，如果不存在子群B使得，證明：整數(shù)加

群Z沒有極小子群。

2.175如果是循環(huán)群，證明：G是交換群

(其中C(G)是群G的中心)。

2.176證明：6階交換群是循環(huán)群。舉例說

明6階群不一定是循環(huán)群。

2.177證明：在一個有單位元的環(huán)R中，全

體可逆元組成的集合對R的乘法構(gòu)成一個群。

2.178設(shè)H,K則對任意a,bG,則

HaKb=或HaKb是HK的一個右陪集，該

結(jié)果能否推廣？

2.179設(shè)是群.證明：如果對任意的，

有，則是交換群.

2.180證明：在群「中，如果從=”則

2.181設(shè)為加群.證明：任給，，有.

2.182證明：一個子群的左陪集的所有元素

的逆元素組成這個子群的一個右陪集。

2.183設(shè)群的子群在中的指數(shù)為2.

證明：，.

2.184設(shè)為群，是的子群.證明：中

每個元素屬于且屬于的一個左陪集.

2.185設(shè)是群，是的子群，.則是

的子群.

2.186設(shè)是群，是的非空子集.證明:

中與中每個元素都可交換的元素全體是

的子群.

2.187設(shè).證明：是的子群.

2.188設(shè)是交換群.是一個固定的正整

數(shù).令，.證明：與都是的子群.

2.189證明：（山丁川7=?$_丁用），

2.190設(shè)c是群，證明：c的中心

C==G｝是G的正規(guī)子群.

2.191設(shè)G是群，H&G,KdG,證明：HKcG.

2.192設(shè)是群，和分別是的子群

和正規(guī)子群.證明：（1）是的正規(guī)子群；（2）

是的子群.

2.193設(shè)為的中心.證明：如果是循

環(huán)群，則是交換群.

2.194設(shè)為群，對任意的，稱為的

換位子，的所有換位子生成的子群叫做的換

位子群，記作.證明：（1）是的正規(guī)子

群；（2）商群是交換群；（3）若，且為

交換群，則是的子群.注：是由所有換位

子的可能乘積所組成的集合.

2.195設(shè)與為群，為到的同態(tài)映

射..證明：當(dāng)且僅當(dāng)對任意的，有.

2.196設(shè)與為群，為到的同態(tài)映

射.，.證明：

2.197設(shè)為到的同態(tài)映射，.為

的子群.證明：.

2.198設(shè)與分別為階與階循環(huán)群.

證明：當(dāng)且僅當(dāng).

2.199設(shè)都是群的正規(guī)子群.證明：

2.200設(shè)群在集合上的作用是傳遞的.

證明：如果是的正規(guī)子群，則在的

作用下的每個軌道有同樣多的元素.

2.201設(shè)群作用在集合上，.證明：如

果存在，使得，則.

2.202設(shè)為大于1的正整數(shù).令證明：關(guān)

于剩余類的乘法構(gòu)成一個交換群.

2.203設(shè)群與群同態(tài)，是的一個不變

子群，是的逆象證明。

2.204證明：設(shè)是群，如果對任意的，

有，則是交換群。

2.205證明：任何方陣都可唯一地表示成一

個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和。

2.206設(shè)a、b是群G的元素，a的階為2,b

的階為3,且ab=ba,證明ab的階是6.

2.207,。那么H是的一個子群。

2.208一個群G的一個不空有限子集H作成

G的一個子群的充分而且必要條件是：

2.209設(shè)是所有階可逆矩陣關(guān)于矩陣

的乘法構(gòu)成的群.是所有行列式等于1的

階矩陣所組成的集合.則是的子群.

2.210群的任何兩個子群的交集也是

的子群.

2.211設(shè)為的子群.則在中左

陪集的個數(shù)與右陪集的個數(shù)相同.

2.212有限群G的任一元素的階都是群G的

階數(shù)的因子.

2.213設(shè)《與G為群，-是。與。，的同構(gòu)映

射，則(1)如果■為G的單位元，則小)為C的

單位元；(2)任給aeG,5為「⑷的逆元，即

5)=Ma))-1-

2.214如果是交換群，則的每個子群

都是的正規(guī)子群.

2.215設(shè)，，則.

2.216群G的任何兩個正規(guī)子群的交還是G

的正規(guī)子群.

2.217設(shè)與是群，是到的同態(tài)

映射.⑴如果是的單位元，則是的

單位元；(2)對于任意的，是在中的逆

元.即

2.218設(shè)門與。是群，《是。到。的滿同態(tài).

如果我是G的正規(guī)子群，則以a是G的正規(guī)子

群.

2.219設(shè)是循環(huán)群，G與同態(tài)，證明是

循環(huán)群。

2.220設(shè)G是群，aEG,令CG(a)={x|x

WG,xa=ax},證明：CG(a)WG

2.221設(shè)6~,H={x|xeG,

f(x)￡}o證明：H/Kerfg.

2.222設(shè)G是群，u是G的一個固定元,定義

"o”:aob=au2b(a,b￡G),.證明(G,

o)構(gòu)成一個群.

2.223設(shè)G是群,HWG。令NG(H)={x|x

CG,xH=Hx}.CG(H)={x|x￡G,h￡

H,hx=xh}?證明:(1)NG(H)WG(2)

CG(H)ANG(H)

2.224設(shè)G與是兩個群，f:G~,K=

Kerf,W，令H={x|x￡G,f(x)￡

),證明：HWG且H/K絲.

2.225設(shè)和是一個群的兩個元且，

又設(shè)的階，的階，并且，證明：的

階。

2.226設(shè)為實(shí)數(shù)集，，令，將的所

有這樣的變換構(gòu)成一個集合，試證明：對于變

換普通的乘法,作成一個群。

2.227設(shè)6==｛有理數(shù)域上所有n階可逆矩

陣｝,H=｛AlAGG,|A|=1｝證明：H是G的不變

子群.

2.228整環(huán)Z中的單位有o

2.229環(huán)Z6的全部零因子是o

2.230若是一個有單位元的交換環(huán)，是

的一個理想，那么是一個域當(dāng)且僅當(dāng)是一一

2.231整數(shù)環(huán)Z的理想有個.

2.232整數(shù)環(huán)Z的商域是.

2.233除環(huán)的理想共有個。

2.234剩余類環(huán)Zs的零因子個數(shù)等于

2.235在整數(shù)環(huán)Z中，由｛2,3｝生成的理

想是.

2.236剩余類環(huán)Z7的可逆元有個.

2.237設(shè)Z11是整數(shù)模11的剩余類環(huán)，則

Z11的特征是.

2.238剩余類環(huán)Zn是域on是

2.239設(shè)Z7={0,1,2,3,4,5,6}是整數(shù)

模7的剩余類環(huán)，在Z7[x]中,

(5x-4)(3x+2)=.

2.240在整數(shù)環(huán)中

2.241剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S={[0],[2],

[4]},則S的單位元是.

2.242中的所有可逆元是：

2.243模8的剩余類環(huán)Z8的子環(huán)有

個.

2.244除環(huán)的理想共有個.

2.245剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S={[0],[2],

[4]},則S的單位元是.

2.246在，i+3,Ji2,e-3中,是

有理數(shù)域Q上的代數(shù)元.

2.247后+6在Q上的極小多項(xiàng)式是

2.248一個有單位元的無零因子

稱為整環(huán)。

2.249設(shè)有限域的階為81,則的特征

2.250一個無零因子環(huán)的特征指的是

2.251含/(〃為素?cái)?shù))個元的域尸的特征是

2.252設(shè)Z8是模8的剩余類環(huán)，則Z8中的

零因子是

2.253剩余類環(huán)Z15的可逆元有個.

2.254設(shè)Z[x]是整系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)，則Z[x]

的主理想(x2)=.

2.255設(shè)Q是有理數(shù)域，則Q=.

2.256在有理數(shù)域Q上的極小多項(xiàng)式是

2.257若是有單位元的環(huán)的由生成的

主理想，那么中的元素可以表達(dá)為O

2.258若是一個有單位元的交換環(huán)，是

的一個理想，那么是一個域當(dāng)且僅當(dāng)是

2.259若域的一個擴(kuò)域叫做的一個代

數(shù)擴(kuò)域，如果O

2.260模12的剩余類環(huán)Z12的可逆元是

2.261實(shí)數(shù)域R上的n階矩陣環(huán)％(R)的理

想是O

2.262設(shè)R=3Z={3k|k￡Z},1=(3),那么R/I

2.263若在多項(xiàng)式環(huán)Z［x］中，a￡Z,如果（a,

x）是Z［x］的一個主理想，那么a=o

2.264設(shè)

Ql/2］=\a+by/2\a,beQ\則.

2.265商環(huán)/%+，）的特征是o

2.266商環(huán)?%外）的特征是

2.267在整數(shù)環(huán)Z中，包含(12)的極大理

想是____________

2.268在整數(shù)環(huán)Z中,包含（30）的素理想

是.

2.269在模30的剩余類環(huán)Z30中，包含

（［15］）的極大理想是.

2.270在整數(shù)環(huán)Z中,1=（3）,尸⑸，貝！IIJ

的生成元是O

2.271Z6的所有商環(huán)是.

2.272模12的剩余類環(huán)Z12的零因子是

2.273在模m的剩余類環(huán)Z中，Z,={[x]|[x]

￡Zm,[x]W[o]｝若Z對Zm乘法構(gòu)成一個群,

貝!Im■

2.274在整數(shù)環(huán)Z中,a￡Z,a|2004,(a)

是Z的素理想，則ao

2.275模8的剩余類環(huán)/+,?)中關(guān)于乘法的所

有可逆元的個數(shù)為O

2.276設(shè)⑹與(q)是環(huán)(Z,+)的主理想,

其中P,q是不同的質(zhì)數(shù)，則

(p)(Q)=o

2.277模12的剩余類環(huán)(Z,+,)中關(guān)于乘法運(yùn)

算的所有的可逆元是O

2.278設(shè)N是環(huán)R的非空子集,則N是R的右

理想的充要條件是

2.279環(huán)億。,+,)關(guān)于乘法的所有可逆元為

2.280若R是交換環(huán)，acR則主理想

(a)=o.

2.281設(shè)Z6是模6的剩余類環(huán)，在Z61x］中,

（［2］X2-［4］）（［3］X-［1］）=o

2.282若模n的剩余類或是一個無零因子環(huán),

則n___________________

2.283若R=2Z是所有偶數(shù)對普通數(shù)的加法和

乘法構(gòu)成的環(huán)，則R的商域?yàn)?/p>

2.284設(shè)Z,是模4的剩余類環(huán),則Zjx］中的

多項(xiàng)式X?在Z4上有個根。

2.285設(shè)R為整環(huán)，a,b,eR,b|a,則(b)

__________(a).

2.286環(huán)（Z,+）是域，當(dāng)且僅當(dāng)n為

數(shù)。

2.287設(shè)R是交換環(huán)，則主理想（a）二

2.288在整數(shù)環(huán)中，所有包含30的極大理想

為。

2.289

2.290證明：模m的剩余類環(huán)Zm的每一個理

想都是主理想。

2.291設(shè)，（1）驗(yàn)證R是矩陣環(huán)Z2

X2的一個子環(huán)。（2）證明I是R的一個理想。

2.292證明:模m的剩余類環(huán)Zm的每個子環(huán)

都是理想.

2.293

2.294證明數(shù)域F={a+b|a,bWQ}的自

同構(gòu)群是一個2階循環(huán)群.

2.295在多項(xiàng)式環(huán)多x]中,證明：(1)(3,x)

={3a0+alx+**e+anxn|ai￡Z}.(2)Z[x]/⑶

X)含3個元素.

2.296在整數(shù)環(huán)Z中，a,b$Z,證明(a,b)是

Z的極大理想的充要條件是a,b的最大公因數(shù)

是一個素?cái)?shù)。

2.297設(shè).(1)驗(yàn)證R對矩陣的加法

和乘法構(gòu)成環(huán)。(2)證明I是R的一個理想。

2.298在整數(shù)環(huán)Z中，p,q是不同的素?cái)?shù),

證明(p)c(q)=(pq),(p,q)=Z。

2.299若Q是有理數(shù)域，證明(x)是Q[x]的極

大理想。

2.300設(shè)證明(R,+,()是整環(huán)(+,(是數(shù)的

加法與乘法).

2.301設(shè)A是實(shí)數(shù)域R上一切三階方陣關(guān)于

方陣的加法、乘法作成的環(huán)。證明

aloo

N=ook，bi，qGR是A的一個左理想。

cioo

2.302證明一個主理想環(huán)I的每一非零極大

理想都是一個素元所生成的。

2.303證明（3,x）是Z[x]的一個極大理想。

2.304證明環(huán)R的兩個理想的交集仍是R的

一個理想。

2.305設(shè)I是一個主理想環(huán),a,bd,d是a

是與b的一個:大公因子，證明（a,b)=(d)o

2.306在整數(shù)環(huán)Z中，證明Z/（p）是域=p為

質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）。

2.307在多項(xiàng)式環(huán)Z[X]中，證明（5,X）不是主

理想。

2.308設(shè)R是一有單位元的交換環(huán)，且R只

有平凡理想，證明R是域。

2.309設(shè)Z是整數(shù)環(huán)，x是Z上的未定元，證

明Z[x]的生成理想。

2.310⑶x）={}，并且剩余類環(huán)={[0],

[1],[2]}o

2.311證明（5,x）不是Z[x]的主理想。

2.312證明整數(shù)環(huán)Z到自身的所有同態(tài)映射

為零同態(tài)和恒等同態(tài)。

2.313設(shè)是有理數(shù)域上的二階方陣環(huán)，證

明只有零理想和單位理想，但不是一個除

環(huán)。

2.314設(shè)R為環(huán)，如果每個元素都滿足

a2=a,證明R為交換環(huán)。

2.315環(huán)R中元素a稱作幕零的，是指存在

正整數(shù)叫使得am=O,證明：當(dāng)R為交換環(huán)時，

兩個塞零元素之和，兩個幕零元素之積都為塞

零元素。

2.316設(shè)R和都是含單位元的環(huán)，，f

是R到的滿同態(tài)，證明：(1)fUR);；(2)

如果a是R的單位，則f(a)是的單位。

2.317設(shè)證明：A是關(guān)于矩陣的加法和乘法

構(gòu)成一個無單位元的環(huán)。

2.318證明：一個具有素?cái)?shù)個元素的環(huán)是交

換環(huán)。

2.319設(shè)R是一個有單位元1R的無零因子環(huán),

證明：如果ab=lR則ba=lR

2.320設(shè)R是交換環(huán)，X是R的非空子集，令

證明：Ann(X)是R的理想。

2.321設(shè)R是環(huán)，I,J是R的兩個理想，令

,證明：［I:J］是R的理想。

2.322設(shè)Z證明：是域。

2.323設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，I是R的真

理想，證明：如果R的每個不在I中的元素都可

逆，則I是R的唯一的極大理想。

2.324在Z[x]中，證明（7,x）不是Z[x]的一

個主理想。

2.325設(shè)I和J是環(huán)R的理想，且滿足1+尸R,

in尸｛0｝證明：。

2.326設(shè)f：為環(huán)的同態(tài)。如果R是除環(huán)，求

證f是零同態(tài)或f是單同態(tài)（零同態(tài)是指g:,

）o

2.327設(shè)是環(huán)的滿同態(tài)。K=Kerf,P是R的

素理想，且的素理想。

2.328設(shè)f:是環(huán)的滿同態(tài)，Q是S的素理

想，證明：是R的素理想。

2.329設(shè)D為整環(huán)，m和n為互素的正整數(shù),a,

bD如果am=bm,an=bn求證a=bo

2.330證明：Z[x]不是主理想整環(huán)。

2.331設(shè)R為交換環(huán)，R2=R,則R的每個極

大理想都是素理想。

2.332設(shè)R[x]是實(shí)數(shù)域R上的一元多項(xiàng)式環(huán),

取x2+lR[x]證明：,C為復(fù)數(shù)域。

2.333設(shè)S是環(huán)R的子環(huán)，I是R的理想，且

IS,證明：（1）的子環(huán)。（2）若S是R的

理想，則的理想。

2.334設(shè)f是環(huán)R到環(huán)的滿同態(tài)，A為R的

理想，證明：。

2.335設(shè)f是群G到群的滿同態(tài)，N是G的

正規(guī)子群，證明：。

2.336設(shè)R是歐氏環(huán)，I是R的一個素理想,

證明：I是R的一個極大理想。

2.337設(shè)f是環(huán)R的滿自同態(tài),R只有有限個

理想，證明f是R的一個自同構(gòu)。

2.338證明集合QM1={a+M+d網(wǎng)*b,deQ}關(guān)

于通常數(shù)的加法與乘法構(gòu)成域.

2.339證明：由所有形如（累）’5R的矩陣

組成的集合。關(guān)于矩陣的加法與乘法構(gòu)成一個

無單位元的環(huán)，試確定這個環(huán)的所有零因子.

2.340證明：一個具有素?cái)?shù)個元素的環(huán)是交

換環(huán).

2.341設(shè)是環(huán).是的單位元.證明：對

任意的，.

2.342設(shè)是環(huán).證明：對任意的，有⑴

；（2）,

2.343設(shè)是有單位元的環(huán)()，且是

無零因子環(huán)..證明：如果，則.

2.344設(shè)克為加群，定義氏的乘法為

而=0.a.beR證明(兄+.)為環(huán)，并求出區(qū)的所有

子環(huán)與理想.

2.345設(shè)集合證明2為

%(R)的子環(huán).

2.346設(shè)是交換環(huán)，是的非空子集.令

o證明：是的理想.

2.347設(shè)是無零因子環(huán)，是的子環(huán).證明:

當(dāng)有單位元時，的單位元就是的單位元.

2.348設(shè)為的子環(huán)，是的理想，且

.證明：(1)是的子環(huán)；(2)如是的理

想，則是的理想.

2.349設(shè)：為環(huán)同態(tài).證明⑴如果

是的理想，則是的理想.(2)如果是

的理想，且滿，則是的理想.

2.350設(shè)和為的理想，且滿足，.

證明：.

2.351設(shè)：為環(huán)的滿同態(tài)，和分別是

和的理想.證明：如果，且，則有環(huán)同構(gòu)

2.352證明：z[Q]是歐幾里德環(huán).

2.353設(shè)是個正整數(shù).證明是一個域.

2.354設(shè)是素特征的域.證明：對中

任意元和，有

2.355設(shè)是階的有限域