PAGEPAGE1考點(diǎn)41空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．（山東省日照市2025屆高三5月校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)理）已知是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，給出四個(gè)命題：①若，，，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】①若，，，如圖，則與不肯定垂直，故①為假命題；②若，依據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，則；故②為真命題；③若，則，故③為真命題；④若，如圖，則與可能相交，故④為假命題．故選：B．2．（四川省宜賓市2025屆高三第三次診斷性考試數(shù)學(xué)理）設(shè)是空間兩條直線，則“不平行”是“是異面直線”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由是異面直線?不平行．反之若直線不平行，也可能相交．所以“不平行”是“是異面直線”的必要不充分條件．故選：B．3．（安徽省合肥市2025屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形中，，沿將翻折，得到三棱錐，則當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，平面平面，邊長(zhǎng)為1的菱形中，取中點(diǎn)，連接，則平面，平面，以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)異面直線與所成角為即異面直線與所成角的余弦值為故選D．4．（山東省泰安市教科研中心2025屆高三考前密卷數(shù)學(xué)理）如圖所示，邊長(zhǎng)為a的空間四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，則異面直線AD與BC所成角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】由題意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD＝，∴∠BAD＝90°，取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延長(zhǎng)CO至點(diǎn)E，使CO＝OE，連結(jié)ED，EA，EB，則四邊形BCDE為正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其補(bǔ)角）即為異面直線AD與BC所成角，由題意得AE＝a，ED＝a，∴△AED為正三角形，∴∠ADE＝60°，∴異面直線AD與BC所成角的大小為60°．故選：C．5．（安徽省1號(hào)卷A10聯(lián)盟2025屆高考最終一卷數(shù)學(xué)理）已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，且，則D．若，且，則【答案】D【解析】若，，則或與異面或與相交，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，，則與可能相交，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；若直線不相交，則平面不肯定平行，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，或，又，故選項(xiàng)正確.本題正確選項(xiàng)：6．（江西省吉安市2025屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)理）如圖，長(zhǎng)為，寬為的矩形紙片中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線翻轉(zhuǎn)（平面），若為線段的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．平面B．異面直線與所成角是定值C．三棱錐體積的最大值是D．肯定存在某個(gè)位置，使【答案】D【解析】由題意，對(duì)于，延長(zhǎng)，交于，連接，由為的中點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，可得，平面，平面，則平面，∴正確；對(duì)于，，過(guò)作，平面，則是異面直線與所成的角或所成角的補(bǔ)角，且，在中，，，則，則為定值，即為定值，∴正確；對(duì)于，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由直角三角形斜邊的中線長(zhǎng)為斜邊的一半，可得平面⊥平面時(shí)，三棱錐的體積最大，最大體積為，∴正確；對(duì)于，連接，可得，若，即有平面，即有，由在平面中的射影為，可得與垂直，但與不垂直，則不存在某個(gè)位置，使，∴錯(cuò)誤；故選：D．7．（新疆烏魯木齊市2025屆高三其次次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)理）如圖，是棱長(zhǎng)為1的正方體的平面綻開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，以下結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)到的距離為B．三棱錐的體積是C．與平面所成的角是D．與所成的角是【答案】D【解析】解：依據(jù)正方體的平面綻開(kāi)圖，畫出它的立體圖形如圖所示，對(duì)于A，連接ND，與EF交于O點(diǎn)，連接AO，則AO的長(zhǎng)即點(diǎn)到的距離，AO，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，三棱錐的體積是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，F(xiàn)點(diǎn)到平面CDN的距離為，∴與平面所成的角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與所成的角即MC與所成的角，明顯是60°，故D正確，故選：D8．（新疆烏魯木齊市2025屆高三其次次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)理）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，則【答案】D【解析】若，，則有可能在面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；若，，有可能在面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；若一平面內(nèi)兩相交直線分別與另一平面平行，則兩平面平行，故C錯(cuò)誤．若，，，則由直線與平面平行的性質(zhì)知，故D正確．故選D.9．（湖北省武漢市2024年高考數(shù)學(xué)理）已知兩個(gè)平面相互垂直，下列命題①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線②一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的多數(shù)條直線③一個(gè)平面內(nèi)隨意一條直線必垂直于另一個(gè)平面④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面其中正確命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意，對(duì)于①，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的不垂直于交線的直線不垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，設(shè)平面α∩平面β=m，n?α，l?β，∵平面α⊥平面β，∴當(dāng)l⊥m時(shí)，必有l(wèi)⊥α，而n?α，∴l(xiāng)⊥n，而在平面β內(nèi)與l平行的直線有多數(shù)條，這些直線均與n垂直，故一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的多數(shù)條直線，即②正確；對(duì)于③，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線不垂直于另一個(gè)平面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，過(guò)一個(gè)平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面，這是面面垂直的性質(zhì)定理，故④正確；故選：B．10．（遼寧省遼陽(yáng)市2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)理）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，則異面直線EF與AA1所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取A1B1中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，EG⊥FG，因?yàn)镋G∥AA1，所以異面直線EF與AA1所成角為∠FEG或其補(bǔ)角，在△EFG中，F(xiàn)G＝5，EG＝7，所以tan∠FEG，故選：A．11．（廣東省湛江市2024年一般高考測(cè)試二理）已知是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，給出下列命題：①若，則；②若，且，則；③若，則；④，則.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)①若，則或m,n異面，故錯(cuò)誤；對(duì)②，由線面平行的判定定理知：若，且，則，正確對(duì)③，若，則則，正確對(duì)④，設(shè)在面內(nèi)任取點(diǎn)O,作OAOB由，得OAOB故OAOB則又，正確綜上真命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)故選：C．12．（甘肅省蘭州市2025屆高三實(shí)戰(zhàn)模擬考試二診數(shù)學(xué)（理）在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體所以，所以即為異面直線與所成角。因?yàn)槠矫妫裕礊橹苯侨切斡深}意得，在中，，，所以，故選C。13．（安徽省江淮十校2025屆高三第三次聯(lián)考）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在正方體的體對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，異面直線與所成角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，，，故，對(duì)于函數(shù)，有：，，故，又，故.故選.14．（四川省華文大教化聯(lián)盟2025屆高三其次次質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)理）如圖，在長(zhǎng)方體，且異面直線所成角的余弦值為，則該長(zhǎng)方體外接球體積為A． B．C． D．【答案】B【解析】∵異面直線所成角的余弦值為，且，∴，在中，設(shè).∵，∴，∴，∴則長(zhǎng)方體外接球直徑為，半徑為故選：B．15．（陜西省延安市2025屆高考模擬試題一理）已知，表示兩條不同的直線，表示平面.下列說(shuō)法正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】B【解析】A．若m∥α，n∥α，則m，n相交或平行或異面，故A錯(cuò)；B．若m⊥α，，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，故B正確；C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯(cuò)；D．若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n⊥α，故D錯(cuò)．故選：B．16．（河北省唐山市2025屆高三其次次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知直線，和平面，，有如下三個(gè)命題：①若存在平面，使，，則；②若，是兩條異面直線，，，，，則；③若，，，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】對(duì)①，若存在平面，使，，則或與相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，假設(shè)與不平行,則與相交,設(shè)交線為n,∵，,∩=n,∴同理，,與，異面沖突，故假設(shè)不成立，所以正確對(duì)③，若，，則,又，則，故③正確．17．（廣西南寧市2025屆高三畢業(yè)班第一次適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)理）如圖所示，長(zhǎng)方體的棱和的中點(diǎn)分別為，，，，，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作，垂足為，連接，因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角（或補(bǔ)角），且，因?yàn)椋?故選：B18．（寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期其次次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知是所在平面外一點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，若，則異面直線與所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)題意，畫出圖形如下圖所示連接AC，取中點(diǎn)Q，連接QM、QN則，則在中，由余弦定理可得所以所以選A．19．（2025屆湖南省高三長(zhǎng)郡中學(xué)、衡陽(yáng)八中等十三校重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)理）已知邊長(zhǎng)為2的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，球的體積為，則與平面所成的角的余弦值為_(kāi)_________．【答案】【解析】過(guò)作平面，垂足為，則為正方形的中心。正方形的邊長(zhǎng)為,，,球的半徑.與平面所成的角的余弦值為.20．（甘肅省2024年高三其次次高考診斷考試?yán)恚┲比庵?中，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_______.【答案】【解析】連接交于E，則E為為中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)F,連接EF,故EF，則或其補(bǔ)角為所求，又EF=,在三角形中，cos故答案為．21．（四川省華文大教化聯(lián)盟2025屆高三其次次質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)理）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓O的兩條直徑分別為AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①AD∥平面SBC；②；③若E是底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，則△SAE的最大面積等于△SAB的面積；④與平面SCD所成的角為45°．其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________．【答案】①②④【解析】由AB和CD是圓O得直徑及AB⊥CD，得四邊形ABCD為正方形，則AD∥BC，從而AD∥平面SBC，則①正確；又因?yàn)槠矫鍿AD，且平面，所以，則②正確；因?yàn)椋?dāng)∠ASB為鈍角時(shí)，；當(dāng)∠ASB為銳角或直角時(shí)，，則③不正確；由，得與平面SCD所成的角等于AD與平面SCD所成的角，即為∠ADO，又因?yàn)椤螦DO=45°，故④正確.故答案為：①②④．22．（重慶市南開(kāi)中學(xué)2025屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)理）在正三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖，連接,則所以異面直線與所成的角就是直線和所成銳角或直角.由題得,在△中，由余弦定理得.所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：．23．（河南省天一大聯(lián)考2025屆高三階段性測(cè)試（五)數(shù)學(xué)（理）在三棱錐中，，，，，則異面直線與所成角的正切值為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖所示，作底面于點(diǎn)，連接，，，與相交于點(diǎn).由，，易知是中點(diǎn)，，所以.設(shè)，，則，,.由兩式可解得，.從而四邊形為正方形.異面直線與所成角即，.故答案為：.24．（甘肅省2025屆高三第一次高考診斷考試?yán)恚┲比庵校酌鏋檎切危堑闹悬c(diǎn)，異面直線與所成角的余弦值是，則三棱柱的表面積等于_____．【答案】【解析】設(shè)是的中點(diǎn)，畫出圖像如下圖所示，由于，故是異面直線與所成角.設(shè)三棱柱的高為，則，,由于異面直線與所成角的余弦值是，在三角形中，由余弦定理得，解得.故三棱柱的表面積為.25．（河南省八市重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)盟2025屆高三5月領(lǐng)軍考試?yán)恚┤鐖D所示，在棱臺(tái)中，平面，，（1）求證：；（2）求二面角的大小【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）連結(jié)，設(shè)，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危虼耍谥苯翘菪沃校虼耍裕虼耍?）因?yàn)槠矫妫越⑷鐖D空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)向量為平面的法向量，則有，即，令，取平面的一個(gè)法向量.設(shè)向量為平面的法向量，則有，即令，取平面的一個(gè)法向量，,設(shè)二面角的平面角為，則因此二面角的大小為.26．（河南省天一大聯(lián)考2025