專題06平面向量與解三角形

目錄

題型一：平面向量

易錯點01對平面向量的基本概念理解不到位

易錯點02忽略平面向量夾角的范圍與方向性

易錯點03忽略向量共線時的兩種情況

易錯點04錯用平面向量的運算律

題型二：解三角形

易錯點05解三角形時錯判解的個數

易錯點06忽略邊角互化條件

易錯點07忽略三角形中的隱含條件

題型一：平面向量

易錯點01：對平面向量的基本概念理解不到位

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高二下?全國?課后作業）在下列結論中，其中正確的是（）

A.若向量B共線，則向量B所在的直線平行

B.若向量3所在的直線為異面直線，則向量苕，B一定不共面

C.若三個向量b,2兩兩共面，則向量1,b,1共面

D.已知空間的兩個不共線向量I,b,對于空間的一個向量力，存在實數x,乃使得力=法+＞行，則

向量力與向量石，B共面

【答案】D

【分析】根據向量共線共面的判斷，對選項逐一判斷即可.

【詳解】選項A,向量共線，則向量用B所在的直線平行或重合，故A錯誤；

選項B,根據空間向量的意義知，空間任意兩個向量用3都共面，故B錯誤.

選項c,由于三個向量兩兩共面，但是a不一定共面，故c錯誤;

選項D,已知向量｛工同是空間的一個基底，p=xa+yb,則向量扇力共面，D選項正確.

故選：D.

【易錯剖析】

在解題時容易混淆向量平行與直線平行的不同而出錯，另外也容易忽略零向量的特殊性.

【避錯攻略】

1.向量的有關概念

(1)向量：既有大小又有方向的量統稱為向量，向量的大小叫作向量的模.

(2)零向量：長度為0的向量，記作0.

(3)單位向量：模等于1個單位長度的向量.

(4)共線向量：若兩個非零向量a,A的方向相同或相反，則稱這兩個向量為共線向量或平行向量，規定:

零向量與任一向量共線.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算

向量

定義法則(或幾何意義)運算律

運算

(1)交換律：

a~\~b=b~\~a；

加法求兩個向量和的運算

(2)結合律：

三角形法則平行四邊形法則

(a+〃)+c=a+(〃+c)

求。與分的相反向量一6

減法的和的運算叫做。與b的xya一〃=〃+(—b)

三角形法則

差

(1)|筋|=囚同；(2)當＞0時，福

a)=(%〃)〃；

求實數4與向量。的積的的方向與。的方向相同；當ko

數乘a；

運算時，加的方向與〃的方向相反；

A(a+b)=Aa+Ab

當2=0時，2?=0

【解讀】（1）利用三角形法則時，兩向量要首尾相連，利用平行四邊形法則時，兩向量要有相同的起點.

（2）當兩個向量共線時，三角形法則仍然適用，而平行四邊形法則不適用.

3.共線向量定理

向量。（aWO）與b共線的充要條件是：存在唯---個實數人使6=瓶.

【解讀】共線向量定理中規定。加原因：（1）當。=0時，若厚0,則不存在實數人使得/>=篇，但此時

向量。與6共線；（2）當。=0時，若b=0,則對任意實數人都有6=相，與有唯---個實數力矛盾.

因此限定火0的目的是保證實數力的存在性和唯一性.

易錯提醒：（1）注意0與0的區別，0是一個實數，0是一個向量，且網=0;（2）單位向量有無數個，它

們的模相等，但方向不一定相同；（3）零向量和單位向量是兩個特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向

不確定，因此在解題時要注意它們的特殊性；（4）任一組平行向量都可以平移到同一直線上；（5）向量平行

與向量共線是完全相同的一個概念，指兩個向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直線可以平行，也可

以重合；但直線平行不包含直線重合的情況.

舉一反三

1.（2024高三?北京?專題練習）給出下列命題：①任一非零向量都可以平行移動，零向量的長度為零，方

向是任意的；②若心B都是單位向量，則③向量血與直相等.其中正確命題的序號為（）

A.①B.③C.①③D.①②

2.（2024高三?全國?專題練習）下列命題錯誤的是（）

A.若￡與B都是單位向量，則￡=認

B.“同=「”是”的必要不充分條件

ab-

c.若行都為非零向量，則使同+同=°成立的條件是々與刃反向共線.

D.若a=B》=c,則.=。.

3.（23-24高一下?四川?期中）下列命題正確的是（）

A.若&與B都是單位向量，則。

B.方向為南偏西60。的向量與北偏東60。的向量是共線向量

C.若Z與B是平行向量，則

D.若用有向線段表示的向量N應與/N不相等，則點Af與N不重合

易錯題通關

1.（2024高三?北京?專題練習）下列說法正確的是（）

A.長度相等的向量叫做相等向量

B.共線向量是在同一條直線上的向量

C.零向量的長度為零，方向是任意的

D.方〃①就是與所在的直線平行于麗所在的直線

2.（2024高三?全國?專題練習）已知非零向量￡與刃共線，下列說法不正確的是（）

A.a=3或4=-石

B.￡與?平行

C.￡與辦方向相同或相反

D.存在實數幾，使得￡=幾否

3.（23-24高三下?江蘇揚州?階段練習）下列命題中，正確的是（）

A.若，［W，則a=3B.若卜|>W，則a>加

C.若4=3,則D.若a//51//c,則al1c

4.設￡是非零向量，4是非零實數，下列結論中正確的是（）

A.々與入々的方向相反B.￡與萬公的方向相同

c.|-Aa|>|cz|D.|-2fl|>|2|a

5.（2024高三?全國?專題練習）（多選）下列命題中錯誤的有（）

A.平行向量就是共線向量

B.相反向量就是方向相反的向量

C.0與］同向，且卜|>W，則

D.兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件

6.（23-24高二上?安徽阜陽?階段練習）（多選）給出下列命題，其中假命題為（）

A.向量方的長度與向量防的長度相等

B.向量￡與否平行，則￡與辦的方向相同或相反

c.同+問巾與B方向相反

D.若非零向量￡與非零向量否的方向相同或相反，則￡+3與Z，刃之一的方向相同

7.（2024高三?江蘇?專題練習）（多選）下列說法不正確的是（）

A.若aw61w6,a〃彼，則a與3的方向相同或者相反

ab

B.若"，B為非零向量，且同=同，貝!與B共線

C.若a/區，則存在唯一的實數X使得￡=宓

D.若qg是兩個單位向量，且,1-02卜1,貝41+02卜加

8.（多選）下列敘述中正確的是（）

A.若Z成弧,則￡//1

B.若a=3,貝13a>2^

C.已知非零向量￡與刃且￡//5，則￡與否的方向相同或相反

D.對任一非零向量。，尸j'是一個單位向量

9.（多選）下列說法錯誤的是（）

A.方〃麗就是刀所在的直線平行于函所在的直線

B.長度相等的向量叫相等向量

C.零向量的長度等于0

D.2§+G4+5C=6

易錯點02:忽略平面向量夾角的范圍與方向性

,易錯陷阱與避錯攻略

典例（23-24高三上?山東聊城?期末）已知向量Z=（3/+l,2）,各=（1J）,若￡與否所成的角為鈍角，則實數

，的取值范圍：.

【答案】（-8,-1）。（-1,一）

【分析】￡與B所成的角為鈍角即且￡與方不平行，列式求解即可.

【詳解】々與刃所成的角為鈍角即鼠3<0且Z與刃不平行，

1

3%+1+2t<0t<——

即（37+1）1*20'5

3t之十/—2w0

所以才￡（一.一1）D卜1,一（

故答案為：（-e,-l）。［-1,-1

【易錯剖析】

本題容易誤認為7辦<0是Z與3夾角為鈍角的充要條件而出錯，因為當鼠B<0時々與.夾角可能為萬.

【避錯攻略】

1.向量的模

（1）向量的大小叫向量的模.向量1=（%,耳）的模為。=.

⑵若/（西,弘）,8（%,力）,則向量商的模卜5卜ja—/J,

2.向量的夾角

（1）已知兩個非零向量用以如圖），。是平面上的任意一點，作a=a,OB=b,則N4O8=6?（0W6W兀）叫

做向量。與b的夾角.

（2）當夕=0時，〃與〃同向；當。=九時，a與〃反向.

1

（3）設￡=?,“）［=（%,8）是兩個非零向量，它們的夾角為。，貝Jcos，=i^=—Kx,x2+y,y2

|4忖西‘+療M+y；

71

3.垂直：如果。與分的夾角是則稱。與6垂直，記作"_L4

2

易錯提醒：（1）兩個向量只有起點重合時所對應的角才是向量的夾角（2）向量的夾角是指向量方向的夾

角；（3）向量的夾角范圍是［0,乃］,這一點是與直線的夾角范圍是不同的，要注意區分.

叁舉一反三

1.（23-24高三下?湖南湘潭?階段練習）已知向量方=（〃?+1,〃2）,^=（2,-1）,若￡與B所成的角為銳角，則

實數加的取值范圍為.

2.（24-25高三上?北京順義?期中）設點A,B,。不共線，貝V方與就的夾角為銳角”是

方+就|>|萬一就的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（24-25高三上?湖南常德?階段練習）如圖，在邊長為2的正三角形4BC中，。為2C的中點,

4

C.—2D.—

3

,易錯題通關

1.（23-24高三上?北京?開學考試）已知不共線的兩個非零向量％b,貝『力+B與萬所成角為鈍角''是

“|&|<|/|”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（24-25高三上?河南安陽?期中）設非零向量的夾角為。，若同=胴=2,貝廣。為鈍角”是

“卜_司>岳的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（24-25高三上?山西大同?期中）已知向量￡,否,"滿足a+5+c=0,卜|=2,呵=內，且￡與g的夾角為弓，則

cos（b,c]=（）

A271302萬八2>/39「2V39

13131313

4.（24-25高三上?湖南?階段練習）已知ZUBC為單位圓。的內接正三角形，貝U礪.前（）

33

A.—B.—C.1D.—1

22

5.（2024?云南貴州?二模）設向量1=（1,2）,分=（加,1）,且歸+可小-可，則〃?=,1和B所成角為

6.（2024?四川綿陽?模擬預測）平面向量Z與B相互垂直，已知方=（6,-8）,⑸=5,且B與向量（1,0）的夾角

是鈍角，則6=.

7.（24-25高三上?福建福州?期中）已知同=6,高為單位向量，且3在》上的投影向量為一3五G，貝與營

的夾角為.

8.（24-25高三上?福建福州?階段練習）己知）=（1,2）,6=（x,-4）,若萬與B的夾角是鈍角，則實數x的取

值范圍是.

易錯點03：忽略向量共線時的兩種情況

，易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高二上?安徽馬鞍山?階段練習）已知單位向量及與向量石=（1,2）共線，則向量G的坐標

是.

【答案】（@,撞

55

【解析】根據與向量共線的單位向量的計算公式，即可求解.

【詳解】由題意，單位向量值與向量石=（1,2）共線，

貝向量。=土自=±gl,即向量。的坐標是（個,半）或（一手

【易錯剖析】共線向量的定義指出方向相同或相反的非零向量稱為共線向量，并規定零向量與任意向量共

線，本題容易忽略方向相反的情況而造成漏解.

【避錯攻略】

1.向量數乘的定義

規定實數4與向量。的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作：Aa,它的長度與方向規定如

下：①|幾。|=|無||。|；②當4>0時，Xa的方向與"的方向相同；當彳<0時，急z的方向與。的方向相

反.當4=0或a=0時，2a=0.

2.向量共線（平行）定理

向量a（awO）與力共線的充要條件是：存在唯一一個實數4,使〃=4a.

3.平面向量共線的坐標表示

（1）設a=（西，％）"=（%，％），其中bw0,a,b共線的充要條件是存在實數幾，使a=/l從

（2）如果用坐標表示，向量a，b（bwO）共線的充要條件是西%-％%=0.

易錯提醒：處理平面向量的共線問題一般有兩個思路：一是從幾何的角度，二是從坐標的角度，這類問題

的求解過程有兩類特殊情況需要特別注意，一種是向量為零向量的情況；二是要考慮向量方向相同或相反

的情況.

舉一反三

1.（2025高三?全國?專題練習）已知向量aB不共線，^c=Aa+b,d=a+（2A-^b,若E與2反共線，貝U

實數力的值為（）

1-1―1

A.1B.—C.1或—D.—1或—

222

2.（24-25高二上?河南?階段練習）已知直線I的方向向量為1=住,1）,直線4的方向向量為％=（2-左㈤,

若4〃4，貝隈=（）

A.-2B.1C.-2或1D.0或2

3.（24-25高一下?四川瀘州?期中）（多選）與2=（3,-4）共線的單位向量有（）

友易錯題通關

1.（24-25高三上?山東日照?階段練習）已知向量3,3不共線，S.c=Aa+b，才=3+（24+1,，若］與2

同向共線，則實數彳的值為（）

A.1B.7

c1或-;D.一1或：

2.（2024?全國?模擬預測）已知向量Z=（3,-l）,單位向量］與向量石=（2,1）同向共線，則向量己在向量2方向

上的投影向量為（）

375⑹（3A/5垂）\A/23a}

,c.D.

l（rTo-jB-［記「司I/2'/2j

3.（23-24高一下?全國?隨堂練習）下列關于向量的描述正確的是（）

A.若向量B都是單位向量，則0=3

B.若向量￡,刃都是單位向量，則而用向=1

C.任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量

D.平面內起點相同的所有單位向量的終點共線

4.（24-25高一下?江蘇連云港?階段練習）已知向量礪=（2,2）,則與方共線且反向的單位向量為（）

（V2⑺

A.B.

[22J

C.D.（2,2）

5.（24-25高一上?云南?期末）（多選）設￡,g是互相垂直的單位向量，AB=Aa+2b，AC=a+（A-1）b,

下列選項正確的是（）

A.若點。在線段45上，則4=2

2

B.若AB/AC,則2=§

C.當2=1時，與刀共線的單位向量是好Z+拽B

55

1_2-

D.當2=-1時，￡在/C上的投影向量為9-⑥

6.（24-25高一上?上海?課前預習）設q、是兩個不平行的向量，則向量加=-6+左（左eR）與向量

1=平行的充要條件是

7.（24-25高一下?河南?期末）已知向量2=（2,2）,與及共線且方向相反的單位向量B.

8.（23-24高一下?廣東佛山?期中）已知同=&，慟=1,￡與g的夾角為45。.

⑴求Z在刃方向上的投影向量；

⑵求歸+2可的值；

⑶若向量（2【應與（茄-3可平行且方向相同，求實數X.

易錯點04：錯用平面向量的運算律

易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高二上?山東青島?期中）已知"石=石?"，下列關系一定正確的是（）

A.b=0B.Q=°C.（6/—c）_LZ?D.（Q—c）〃/）

【答案】C

【解析】由已知4坊=,所以B?c=O，即—c)=0,所以(Q—C)_L_B,故選C.

【易錯剖析】本題容易混淆了向量數量積與實數的積的概念而出錯，如由房坂二點〉兩邊同除以所

以。二c?

【避錯攻略】

1.向量數量積的性質

設2,B都是非零向量，工是單位向量，。為Z與B(或工)的夾角.貝IJ

(1)a-e-e-a=|a|cos^；

(2)Q_1_B=Q.B=0；

(3)當a與B同向時，=當a與B反向時，a?坂=

(5)|叫第W

2.向量數量積的運算律

(1)a-b=b-a；

(2)(4Q"=/1(Q.坂)=a.(4)(2為實數)；

(3)(a+B)c=a.c+B.c；

(4)常用公式

a-\-by\a-b\=a-b\a+b\=a+2a-b+b{a-b\=a-2a*b+b

易錯提醒：(1)在實數中：若QWO,且Qb=O,則6=0,但在向量的數量積中，若Iwi，且

7B=o,不能推出1=0.

(2)已知實數〃也。修。0),且ab=bc,則a=c,但在向量的數量積中沒有Q/=B.

(3)在實數中有(a-b)-c=a?僅0,但是在向量的數量積中僅看"wZ?僅號，這是因為左邊是

與工共線的向量，而右邊是與￡共線的向量.

舉一反三

1.（24-25高三?河北石家莊期末）已知均為非零向量，則下列結論中正確的有（）

A.若—Q.C=0,則B=c

B.若|a_c|=|7-c|,則2=I

C.若0>向，則（a+B）.（a-3）〉0

D.若21M=|司=2,鼠3=0,且|1+1-2）|=1,則|句的最大值與最小值之和為石

2.（2025全國高三第一次模擬）已知用B忑為非零平面向量，則下列說法正確的有（）

A.a-Lboa-b=0B.a//b<=>32GR^b=Aa

C.若萬工=3工,則N=BD.（a-b）-C=a-（b-C）

3.（2025?全國?高三課時練習）已知平面向量。=0,3）,W=2,>|a-5|=V10,則儂+孫（,-町=（）

A.1B.14C.7l4D.y/10

易錯題通關

I.（2025高三?全國?專題練習）設￡,否為非零向量：X,〃eR,則下列命題為真命題的是（）

A.若“”q=0,則［=3

B.若否=花，則忖+忖=,+目

C.若比+癡=。，貝1|2=〃=0

D.若M>W，則（。+可-（a-?>。

2.（24-25高三上?安徽合肥?階段練習）下列敘述中正確的個數是：（）

①若a，b，工為平面向量,則（晨昨=平封；

②向量&3卜-伍⑹在與￡垂直；

③3=（-3,%），3=（4,3）,若￡與否的夾角是鈍角，則實數機的取值范圍是加<4

b一

④.記回=e,則向量￡在向量刃上的投影向量為伍福前

A.0B.1C.2D.3

3.（24-25高三上?山東濟寧?階段練習）若向量a行滿足W=l,+（5+2^15,則同=（

A.V2B.V3C.2D.3

4.（24-25高三上?山西太原?期中）（多選）已知非零向量￡,反乙則下列結論正確的是（）

A.若q（=c）=6,貝

B.若0+楊，（"-楊，則|￡|=歷|

C.向量可?5）c-（a?c）5與向量°垂直

D.若七=尤,則￡

題型二：解三角形

易錯點05:解三角形時錯判解的個數

叁易錯陷阱與避錯攻略

典例（24-25高三上?山東濟寧?階段練習）在三角形A8C中，。=2,/=￡,b=2拒,則/C=（）

6

兀7171r；,71

A.B.c鴻D.；或彳

632

【答案】c

【分析】由正弦定理求得B,即可求解.

,2_273

【詳解】由號=1彳可得：T=而萬,

sinAsinn一

2

所以sin8=4^,又b>a,

2

所以5=g或斗，

33

7T71

結合內角和定理，所以/c=+或V，

故選：C

【易錯剖析】

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形時，容易忽略對解的個數的討論而出錯.

【避錯攻略】

在“8。中，已知a,6和/時，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

C

ccc

X

圖形-A

AB\：..-BA.......BAB

AB

bsinA<aa>b

關系式a=bsinAa>ba<b

解的個

一解兩解一解一解無解

數

由上表可以得出：已知兩邊一對角:

大角求小角一解（銳）

"兩解一sin/<1（一銳角、一鈍角）

小角求大角一一解一sin/=1（直角）

無解一sin/>1

易錯提醒：兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角時，由于正弦函數在在區間（0/）內不單調，此時三角

形解的情況可能是無解、一解、兩解，此時可通過大邊對大角進行分析，也通過幾何法來判斷三角形解的

個數。

舉一反三

1.（24-25高二上?河南洛陽?期末）在△4BC中,已知4=60°,a-2^3,b=2,則5=()

A.30°或150°B.60°C.30°D.60°或120°

2.（24-25高二上?山西晉城?階段練習）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若

a=5b=2后,C=|,則角3的大小為（）

兀兀71

A.—B.一D.-

62c鴻4

3.（24-25高三下?江蘇揚州?開學考試）在△4BC中，內角A、B、C的對邊分別為。、6、c,根據下列條

件解三角形，其中有兩個解的是（)

A.a=8,b=10,A-45°B.a=60,6=81,8=60°

C.a=7,b=5,A=80°D."14,6=20,/=45°

易錯題通關

1.在A4BC中，2=30。,6=2,c=2①，則角/的大小為（）

A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°

TT

2.（24-25高二上?重慶?開學考試）若滿足=丁,/C=6,2C=上的△/BC恰有一個，則實數上的取值范

4

圍是（）

A.（0,6]B.（0,6]U{6A/2}C.[6,60]D.（6,672）

3.（24-25高三上?江蘇淮安?期中）在外接圓半徑為4的△N8C中，ZABC=30°,若符合上述條件的三角形

有兩個，則邊的長可能為（）

A.2B.3C.4D.5

4.在中，AC=\,ZACB=3,延長A4到點。，使得/。=也，ZADC=^,則48的長為____.

46

5.已知的三個內角A,B,C的對邊分別為Q,b,C,若。=2,-4=y,且sin（5-C）=sin23,

則AABC面積為.

易錯點06：忽略邊角互化條件

，易錯陷阱與避錯攻略

典例在zJ5c中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,C,已知74cos8=6（c-7cos/）.

（1）求6;

TT

（2）。為邊N3上一點，AD=2DB=2BC,ZBDC=~,求AASC的面積.

【答案】⑴6=7

4

【分析】（1）通過正弦定理將74cos5=6（c-7cos/）中的邊化為角，可求出6的值；

（2）由題可知AMC為等邊三角形，|CD|=a,在中運用余弦定理可求出。的值，進而求得“3C

的面積.

【詳解】（1）:7acos5=6（。-7cos4）,由正弦定理得：7siiL4cos5=sin5（c-7cos/）,

7siiL4cos3+7siaBcos4=csin3,即7sin（4+5）=bsinC=7sinC,

貝1=7.

（2）由題可知ABOC為等邊三角形，則|CZ）|=a,AADC=y,

?.?|/。|=2。，在440。中，由余弦定理可得：

|/C「=\AD^+\DC[-2\AD\■\DC\■cosZADC,

2兀

2

即49=（2ci）+/-2?2ci?a,cos—^―,解得Q=V7,

”BC的面積為工xJ7X3A/7xsin'=.

234

【易錯剖析】

本題在對題設條件的應用過程中容易錯用正弦定理進行邊角轉化，將7加053=6（°-785/）化為

7sinAcosB=51116（5畝0-785?1）而出錯.

【避錯攻略】

1.正弦定理

在AIBC中，角/,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為A42C外接圓半徑

工=工=上=2R

sinAsinBsinC

2.正弦定理的變形

①asin3=bsin/；6sinC=csin5；asinC=csin/；

②sin/:sin5:sinC=a:b:c

abca+b+ca+ba+cb+c

（3）-----=-----=------=--------------------=-------------=-------------=-------------

sin/sin5sinCsin24+sin5+sinCsin4+sin5sin/+sinCsin5+sinC

④。=27?sin/,b=2RsinB,c-2RsinC（可實現邊到角的轉化）

cihc

⑤sin/=——,sin5=——,sinC=——（可實現角到邊的轉化）

2R2R2R

3.正弦定理的應用

①邊化角，角化邊oa:b:c=sin/:sin5:sinC

②大邊對大角大角對大邊a>b=4>5=sin/>sin8=cosA<cosB

a+b+ca+b_b+c_a+cabc

③合分比:=2R

sin/+sin5+sinCsin4+sin8sin5+sinCsin4+sinCsin/sinBsinC

易錯提醒：若等式中每一項的邊或者三角的正弦（特指sin4sin8sinC）的個數相同，可以考慮直接改成對

應角的正弦或者對應角的邊，否則就得利用2人進行等量代換.

舉一反三

1.（2025高三?全國?專題練習）已知△NBC的內角C所對的邊分別為凡4c,若

c-a）siiL4=csinC-6siii8,6=3,則NC邊上中線長度的最大值為（）

A3V2c4拒r373n4收

2323

2.（23-24高一下?江蘇鹽城?期中）在八42。中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若

acosB+bcosA=a,則AJ8C一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等邊三角形

3.（23-24高一下?廣西南寧?期末）已知△ABC的內角/,B,。所對的邊分別是a,b,c,點。是48的中

16

點.若a+-=ccos3且/C=l,CD=——，則48=.

22

易錯題通關.

1.（2024?四川成都?模擬預測）已知△N8C的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且產=.5m「，

b+csin24+sinC

則/=（）.

7i7i27r5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

2.（2024?陜西?模擬預測）在△48C中，角Z,BC所對的邊分別為a,6,c,c（sin4-sinC）=（a-6）（sin4+sin3）,

若△NSC的面積為周長為%,則/C邊上的高為（）

4

A."B.走C.GD.2A/3

32

3.（2024?全國?二模）在ZkABC中，內角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,2acosN=bcosC+ccosB,且

a=4sin/,則△/8C周長的最大值為（）

A.4V2B.672C.473D.6A/3

4.（24-25高三上?廣東東莞?階段練習）在A/BC中，若sin?/+sin?8+sin/sin8=sin?C,且NB邊上的中

線長為2,則△NBC面積的最大值為.

5.（2024?山東?模擬預測）△4BC內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若人=2asin8,be=4,則△/BC

的面積為.

6.（2024?陜西西安?模擬預測）在△4BC中，內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且.="，

ncos8=（3c-6）cos/,貝！l/UBC面積的最大值為.

7.（2025高三?全國?專題練習）在△4BC中，內角所對的邊分別為風瓦c,

2b=a（2cosC-cosB）-6cos4.

⑴求A；

(2)若△ABC的面積為46，。為NC的中點，當2。取得最小值時，求8c的長.

易錯點07:忽略三角形中的隱含條件

易錯陷阱與避錯攻略

典例(2025高三?全國?期末)設銳角。5c的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,若C=24,則女生

a

的取值范圍是.

【答案】(272+1,273+2)

【分析】根據已知條件，利用正弦定理邊角互化結合三角恒等變換將目標式化為角A的函數關系，再求A

的取值范圍，根據函數值域即可求得結果.

【詳解】因為C=2N,!^sinC=sin2/=2sin/cos/,cosC=cos2T1=2cos2/I-1,

又sinB=sin(Z+C)=sinAcosC+cosAsinC,

故由正弦定理可得：

2c+bsin5+2sinCsinAcosC+cos24sinC+4sinAcosA.._cosAsinC

-------=------------------=-----------------------；-------------------------=4cosA+cosCH-------；--------

asinAsinAsinA

=4cos/+2cos之J-l+2cos2A

=4cos2Z+4cos4-l，

又zU5C為銳角三角形，故可得AG(09,C=2AG(0,立*=兀-3/￡(09,

解得力￡(/，；)，則，

由于》=4COS2Z+4COSN-1=4(COSZ+；1-2,在cos/G(乎,5)上單調遞增，

當cosZ=￥，＞=1+2后,當354=等,》=2+2百，

4cos2+4cos-1e(2V2+1,273+2),

即行+1,2用2).

a

故答案為：(20+1,26+2).

【易錯剖析】

本題在求解過程中容易忽略條件中三角形是銳角三角形這一限制條件，以致求錯/的取值范圍而出錯.

【避錯攻略】

[△Z5C內角和定理：A+B+C=71

①sinC=sin(Z+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=QcosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,6=ccos4+QCOSC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，-tanC=tan(Z+B)='+tanB=tan4+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

1-tan-tanB