平面向量的概念【四大題型】

【題型歸納目錄】

題型一：向量的基本概念

題型二：向量的表示方法

題型三：利用向量相等或共線進行證明

題型四：向量知識在實際問題中的簡單應用

【思維導圖】

平面向■的概念

楂?零向■'單位向北

平行向■

相等向■

相等向■與共線向量

共線向n

【知識點梳理】

知識點一：向量的概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

2、數量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質量等），稱為數量.

知識點詮釋：

（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移.

（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素.

（3）向量與數量的區別：數量與數量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小.

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題型一：向量的基本概念

［例1］下列關于向量的說法正確的是（）

A.物理學中的摩擦力、重力都是向量B.平面直角坐標系上的X軸、了軸都是向量

C.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量D.身高是一個向量

【變式1-1】下列各量中是向量的為（）

A.海拔B.壓強C.重力D.溫度

【變式1-2】下列物理量：①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的

有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式1-3】下列量中是向量的為（)

A.頻率B.拉力C.體積D.距離

知識點二：向量的表示法

1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.

2、向量的表示方法：

（1）字母表示法：如a1,c,…等.

（2）幾何表示法：以N為始點，8為終點作有向線段方（注意始點一定要寫在終點的前面）.如果用

一條有向線段篇表示向量，通常我們就說向量益.

知識點詮釋：

（1）用字母表示向量便于向量運算；

（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性.應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向

量就是有向線段.由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關,

即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量.

題型二：向量的表示方法

【例2】已知飛機從/地按北偏東30。的方向飛行2000km到達8地，再從8地按南偏東30。的方向飛行2000km

到達C地，再從C地按西南方向飛行1000亞km到達。地.

（1）作出向量右，~BC，CD-~DA：

（2）問。地在/地的什么方向？。地距/地多遠？

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【變式2-1］在方格紙(每個小方格的邊長為1)中，畫出下列向量.

(l)|o3|=2,點A在點0的正東方向；

(2)|礪|=2收，點8在點。的北偏東45。方向;

(3)求出網的值.

【變式2-2］如圖，某人從點/出發，向西走了200m后到達3點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某

方向行走了2006m到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達。點，發現。點在3點的正北方.

北八

廠丁一廠一「―「4一廠］

I____J_____1_____I____I_________I_____J

：：：3

IIIIIII

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i----1-----T-----1------i------------1

1A

—|-----1----1-------1-----1---1----1_A本

一5-4;-3-2-1012爾

I-----L----4-----1-----1-----------I---4

；一1

I_____J____1_____I_____I___________I___J

-2

⑴作出羽、BC>CD(圖中1個單位長度表示100m)；

(2)求方的模.

【變式2-3］在平面直角坐標系xQy中，已知0=5,次與x軸的正方向所成的角為30。，與y軸的正方

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向所成的角為120。，試作出04.

知識點三：向量的有關概念

1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來表示向量的有向線段的長度）.

知識點詮釋：

（1）向量a的模|a|>0.

（2）向量不能比較大小，但|力是實數，可以比較大小.

2、零向量：長度為零的向量叫零向量.記作6,它的方向是任意的.

3、單位向量：長度等于1個單位的向量.

知識點詮釋：

（1）在畫單位向量時，長度1可以根據需要任意設定；

（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同.

（3）相等向量：長度相等且方向相同的向量.

知識點詮釋：

在平面內，相等的向量有無數多個，它們的方向相同且長度相等.

知識點四：向量的共線或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）.

規定：6與任一向量共線.

知識點詮釋：

1、零向量的方向是任意的，注意6與o的含義與書寫區別.

2、平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區別于在

同一直線上的線段的位置關系.

3、共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量.

題型三：利用向量相等或共線進行證明

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【例3】如圖所示，在平行四邊形438中，E,9分別是C。，48的中點.

⑴寫出與向量定共線的向量;

(2)求證：~BE=~FD-

【變式3-1］如圖，四邊形N2CD是平行四邊形，四邊形N3DE是矩形.

⑴找出與血相等的向量;

⑵找出與方共線的向量.

【變式3-2】設。是正六邊形/3CDEF的中心，寫出滿足條件的向量.

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FE

⑴與刀相等的向量;

(2)與礪相等的向量;

⑶與反的模相等且平行的向量(除反外).

【變式3-3］在平行四邊形/BCD中，E、尸分別是CD、N8的中點，如圖所示.

(1)寫出與向量尸C平行的向量;

(2)求證：BE=FD.

題型四：向量知識在實際問題中的簡單應用

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【例4】如圖，某船從點。出發沿北偏東30。的方向行駛至點/處，求該船航行向量方的長度（單位：n

mile）.

【變式4-1】已知飛機從A地按北偏東30。方向飛行2000批到達8地，再從B地按南偏東30。方向飛行

2000幻〃到達C地，再從C地按西南方向飛行1000打燈〃到達。地.畫圖表示向量在，就，而，并指出向量

N萬的模和方向.

【變式4-2】飛機從/地按北偏西15。的方向飛行1400km到達8地，再從2地按南偏東75。的方向飛行1400km

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到達C地，那么C地在/地什么方向上？C地距/地多遠?

【變式4-3】一名模型賽車手遙控一輛賽車，稱先前進1m,然后原地逆時針轉動a角為一次操作.

(1)當a=45。時，至少需要幾次操作，賽車才可以回到出發點？按照適當的比例作圖加以說明.

(2)如果0。<&<180。，且按此操作，賽車能夠回到出發點，那么a應該滿足什么條件？

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【強化訓練】

1.已知48,c,。是平面內四個不同的點，貝IJ“方//皮”是“四邊形/BCD為平行四邊形”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知四邊形/BCD,下列說法正確的是（）

A.若在=反，則四邊形N3CD為平行四邊形

B.若|就|=|而則四邊形4BCD為矩形

C.若15〃前,且|就|=|而則四邊形/BCD為矩形

D.若|萬|=|函且五5〃前，則四邊形ABC。為梯形

3.如圖，等腰梯形/BCD中，對角線/C與8。交于點尸，點￡、尸分別在兩腰40、3c上，EF過點、P,

4.下列命題中，正確的是（）

A.若q//5，bile>則a//c

B.若a=3,h=c，貝！Ja=c

C.若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等

D.若￡//否，則d與5方向相同或相反

5.如圖，在矩形/BCD中，AB=2AD,M,N分別為與CD的中點，則在以4,B,C,D,M,N為起

點和終點的所有向量中，相等向量的對數為（）

D.------------X-----------.C

A.9B.11

C.18D.24

6.下列說法:

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①若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同，終點也相同;

―>—>

②若向量向，滿足且幾與ch同向，則石>cb；

③若兩個非零向量幾與滿足嬴+,則a，ci>為相反向量；

④幾=cb的充要條件是/與c重合，3與。重合?

其中錯誤的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

7.（多選題）下列說法錯誤的是（）

A.兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同

B.若非零向量與與而是共線向量，則42,c,。四點共線

c.若非零向量4與B共線，則a=B

D.^a=b，則同明

8.（多選題）如圖，在菱形488中，若/D48=120。，則以下說法中正確的是（）

B.而的模恰為方模的百倍

C.與簫的模相等的向量有9個（不含萬）

D,與石相等的向量只有一個（不含刀）

9.（多選題）如圖，在菱形4BC。中，N24D=120。，則以下說法正確的是（）

A.與方相等的向量只有1個（不含萬）

B.與刀的模相等的向量有9個（不含方）

C.麗的模恰為方3的模的百倍

D.每與53不相等

10.下列說法正確的是.（填序號）

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①若萬〃B,則萬=B；

②若同=忖，則@=B；

③若1=貝與B共線；

④若貝鼠一定不與B共線.

11.在下列判斷中，真命題的是.

①長度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；