撫州市2024-2025學年度上學期學生學業質量監測

高二數學試題卷

說明：1.本卷共有4大題，19個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分.

一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，僅有一項符合題

目要求.

1.已知直線4：x+2y=O,‘2?+力+1=0,若4U,則a+2b=()

A.0B.1C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用垂直的關系可得斜率之積為-1,即可得解.

【詳解】由直線4：x+2y=O,4：*+勿+1=0，滿足/i，，2可得，

-gx1一力=-1,可得4+26=0,

故選：A.

2.圓心為(4,0)且過點(0,-3)的圓的標準方程為()

A.x2+(J-4)2=25B.Y+(y+4『=25

C.(x-4)2+v2=25D.(X+4)2+V2=25

【答案】C

【解析】

【分析】根據各項給定圓的方程確定圓心，判斷(0,-3)是否在圓上即可.

【詳解】由V+(y—4)2=25的圓心為(0,4),A錯；

由/+(了+4)2=25的圓心為(0,-4),B錯；

由(x—4)?+/=25的圓心為(4,0),顯然點(0,—3)在圓上，C對；

由(x+4『+y2=25的圓心為(―4,0),D錯；

故選：c.

2_

3.設片，乙為橢圓C：土+/=1的兩個焦點，點尸在C上，若兩?麗=0,則戶公卜忙閭=()

【答案】B

【解析】

【分析】根據條件得到a=2,b=l,c=M，設PR=m,PF2=n,再利用橢圓的定義及條件得到m+n=4

且加2+/=QK)2,即可求出結果.

【詳解】因為橢圓C:亍+「=1,所以。=2,6=1,°=百

又因為麗?庵=0,所以可，成，即尸片，尸鳥，

設PF[=ni,PF2=n,則加+“=4①，且加？+/=0百＞②，

由①2—②得到2加〃=4,即加〃=2,所以歸7訃歸月|=2,

故選：B.

4.如圖，三棱錐。一45C中，O4^a＞OB^b＞雙=1，且而=|■方，CN=~CB,則疝■=()

【答案】C

【解析】

【分析】利用空間向量的運算法則求解即可.

【詳解】如圖所示:

MN=MO+OC+CN

=-OM+OC+-CB

2

=-jtZ4+OC+1（O5-OC）

=--OA+-OB+-OC

422

3-1r1-

---ClH--bH--C.

422

故選：C.

5.若（2x—1）-=4+%（X—1）+%（X—1）2+%（X—1）3+°4（X—1）4+%（X—1）5，則下列結論中正確的是

（）

A.a0=-lB.%=-80

1-310

5

C.Ia0I+I?1I+I?2I+I?3I+I?4I+I?51=3D.（4+&+%）（4+。3+。5）=―--

【答案】C

【解析】

【分析】根據給定條件，利用賦值法逐項計算判斷.

【詳解】對于A,取x=l,得/=15=1,A錯誤；

對于B,[2（x-1）+1『展開式中（x—項的系數為C>24=80,B錯誤；

對于C,二項式[2（x-1）+1『展開式中各項系數均為正，取x=2,

得|<7Q|+|%|+|%I+I。3I+I。4I+I。51=。0++。2+。3+。4+。5=3，，C正確；

對于D,取X=2,得%+4]+%+。3+。4+。5=3、，取X=0,得/—%+%—。3+。4—。5=-L

,35-135+1310-1

聯AL解得/+%+%=2,%+%+%=——，因此3>+。2+%）（%+%+?5）=——，D錯誤.

故選：C

6.已知過原點的直線/與圓C:（x—37+（了—4）2=49相交于4臺兩點，則14sl的最小值為（）

A.6B.V39C.4亞D.4V6

【答案】D

【解析】

【分析】判斷原點與圓的位置關系，再由最小有直線co,最后應用幾何法求弦長即可.

【詳解】由（0—3丫+（0—4）2=25<49,即原點在已知圓內部，且圓心。（3,4）,廠=7,

若原點為。，要使|48|最小，只需直線/八CO,而|CO|=,32+使=5,

所以最小朋=2x749-25=4痣.

故選：D

7.在“文化撫州，夢想之舟”半程馬拉松比賽中，某路段設三個服務站，某高校5名同學到甲、乙、丙三個

服務點做志愿者，每名同學只去1個服務點，每個服務點至少1人，則不同的安排方法共有（）

A.25種B.150種C.300種D.50種

【答案】B

【解析】

【分析】利用先分組后分配來解題，分組中要注意均分組消序思想.

【詳解】五名同學分三個小組，

「2「201

若按2人，2人，1人來分有5.11=15種,

A?

若按3人，1人，1人來分有C；=10種,

再把這三個小組排列到三個服務站去共有A；=6種，

所以每個服務點至少有1人的不同安排方法有：（15+10）x6=150種,

故選：B.

22

8.如圖，己知巧，耳是雙曲線C二—二=1的左、右焦點，P,。為雙曲線。上兩點，滿足片尸〃鳥。，且

ao

優@=|月P|=3陽H，則雙曲線C的離心率為（）

V15n而

32

【答案】D

【解析】

【分析】根據雙曲線的定義和性質分析可得f=a，進而可得/公尸'。=/公尸耳=90°,結合勾股定理運算

求解.

【詳解】延長。耳與雙曲線交于點P，

因為斗P〃gP,根據對稱性可知陽尸卜\F2P'\,

設區尸[=|4P]=f,則內尸|=|VQ|=3f,

可得|金尸|—閨0|=2/=2a,即f=a,

所以|p0=4/=4a,則依圖=|Q工|+2a=5a,陽P[=|gP|=3a,

即尸。「+閨=|。片。可知/片尸坦=/片尸巴=90°,

在△0百心中，由勾股定理得|用+閨p「=|片瓦「

即/+（3°）2=4C2,解得0=：=孚.

故選：D.

【點睛】方法點睛：1.雙曲線離心率（離心率范圍）的求法

求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a,b,c的等量關系或不等關系，然后把6

用a,c代換，求e=￡的值；

a

2.焦點三角形的作用

在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來.

二、多項選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有選錯的得0分.

9.已知空間向量浣=（—1,2,4）,3=（2,—4,x）,則下列選項中正確的是（）

A.當加〃時,x=3B.當機//〃時，x=—8

C.當麻+R=舊時，X=—3D.當％=1時,sin(m,77

7

【答案】BD

【解析】

【分析】根據向量垂直、平行的坐標表示列方程求參數判斷A、B；應用向量坐標加法及模長的坐標運算列

方程求參數判斷C；由向量夾角的坐標表示求余弦值，進而確定正弦值判斷D.

【詳解】A：m.Ln則—2—8+4x=0,可得x=錯；

2-4x

B：mIIn，則———=—,可得X=-8，對；

-124

C：|加+〃卜J1+4+(4+X)2=戈，可得％=—3或％=—5,錯;

1

D：x=l,則】=(2,-4,1),故cos(%,〃)—2—8+4~>貝Jsin(掰,〃)=孑*，對.

721x721

故選：BD

10.如圖，在直三棱柱NBC—451G中，NB4c=90°,AB=4C=6,M=2,尸,G分別是棱8C,

C.存在點。，滿足ADJ.EFD.三棱錐￡>-EEG的體積不變

【答案】AD

【解析】

【分析】根據已知易得8MG為平行四邊形，有EF11BG,應用線面平行的判定判定A；由直線與面

2所G相交判斷B；假設ADLEF,即BDL8G,令"D=xe[0,2]并應用勾股定理列方程求解判斷C；

首先證與G//平面E/G,再由棱錐的體積公式判斷D.

【詳解】由題設，易得8。。田1是邊長為2的正方形，豆GFIIB&IIBC,G/=：4G=；8C,

又E是5c的中點，則GE//8E且G尸=5￡,故BEbG為平行四邊形，

所以跖//BG,￡/a面44￡3,26匚面44田田，則所//平面4448,A對；

由上分析知，面ENG即為面BEPG,顯然直線RD與面BEFG相交，B錯；

由EF//BG,若BDLEF,即8DL8G,

令用。=xe[0,2],則5。2=/+4，GZ）2=x2+l-2xcos45°=x2-V2x+b

而5G2=5，則BQ2+BG2=G￡>2,即8+岳=0，顯然無解，C錯；

由G尸〃8G,8]G（z面斯G,G廠u面ERG,則4。"/平面所G,

又。在線段AG上，故。到面EEG距離為定值，且△￡/??的面積為定值,

所以三棱錐。-EEG的體積不變，D對;

故選：AD

11.天文學家卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現：在同一平面內，到兩個定點的距離之積為常數

的點的軌跡是卡西尼卵形線.己知兩定片（-2,0）,7^（2,0）,動點網叫）,打）滿足|尸片|忖聞=4,設p的

軌跡為曲線C,下列說法中正確的有（）

A.P的橫坐標最大值是2B.曲線C既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形

C.存在點P,使得坨，尸gD.△片尸￡面積最大值2

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用軌跡方程的代數關系來證明相關選項，對于A利用縱坐標放縮去求橫坐標范圍，對于B則利

用-不，-%的代入檢驗就可作出判斷，對于C則利用方程組消元看看是否有解，對于D,則利用定義來求

面積，只需要看是否存在直角.

【詳解】由|助卜|年|=4可得：J（X°+2）2+*.J（X。-2『+胃=4,

即[（X；+Jo+4）+4/][卜；+*+4）-4%]=16,

即（%；+需+4）-16XQ=16=>卜；+y；+4）=16+1）=>x；+需+4=4&+1,

則Jo=—x；+4&；+1-4，

對于A,由—x；+4Jx；+1-4N0,得x；+4W4舊+1，

平方展開化簡得：解得-2也

即P的橫坐標最大值是2后，故A錯誤；

對于B,由（一玉,,一及））滿足（x；+y；+4）2-16x；=16，所以曲線。關于原點對稱，

又由（一%,%）），（%,—%）也滿足（X：+元+47-16x；=16，所以曲線C關于坐標軸對稱，故B正確;

對于C,若存在點尸，使得PFJPB，則有后+為2=4,

又由于貝ijy；=—"+4收+1—4聯立,消去蘇可得：

4-X：=-x；+4Jx；+1-4=>Jx；+1=2=>片=3,即有解，所以存在點P,故C正確；

對于D,S△々咤=：|「周|P7^sin6=2sin。，△為隼面積最大值2,由選項C可知，

7T

存在，=女的最大值點尸，故D正確.

2

故選：BCD.

三、填空題：共3小題，每題5分，共15分.

22

12.雙曲線上+上一=1的離心率為2,求加=.

mm+1

3

【答案】--##-0.75

4

【解析】

【分析】根據雙曲線的方程及離心率公式列方程求參數值即可.

【詳解】由題設，易知加<0<加+1,則a=Ym+\,b=J一加，所以c=l,

c13

由一二^^^=2,可得加=——.

aVm+14

3

故答案為：-■-

4

13.設〃為正整數，—々J展開式中僅有第5項的二項式系數最大，則展開式中的常數項為.

【答案】112

【解析】

【詳解】由展開式中僅有第5項的二項式系數最大得〃=8則=C；(-2)'產4"令

8-4r=0,r=2則展開式中的常數項為C；(-2『=112

14.在平面凸四邊形N8CD中，CB=CD=4i，AB=AD,且/切。=60。，ZBCD=90°,將四邊形

n2兀

4BCD沿對角線AD折起，使點/到達點E的位置.若二面角￡-AD-C的大小范圍是,則三棱

33

錐E-BCD的外接球表面積的取值范圍是.

16兀52兀

【答案】~T，~9~

【解析】

【分析】取5。中點Q，連接QE，取△￡5。的外心。廠過點&作/，平面8C。，過點已作。。，平

面EBD交/于點0,進而確定球心的位置及二面角C的平面角為NEQC并確定范圍，利用幾何

關系求球體半徑，即可得球體表面積的范圍.

【詳解】由題意知，△28。和△￡5。是等邊三角形，

取中點。2,連接0￡，取△￡8。的外心則Q是△BCD的外心,

過點。2作/，平面BCD,則三棱錐E-BCD的外接球球心在I上

過點。作0,01平面EBD交/于點。，則點。即為三棱錐E-BCD的外接球球心,

由5￡>_LQC,知，NE。2c為二面角后一助一。的平面角，則/后。2。?

712兀7171

設/02則0V8Vmax<]?

。。\=。，7T-26

Xoo=1x73x-=—,所以0。2=烏烏=1ce

1233cos，43cos6[33

因為Q。，平面CB。，3￡＞u平面C8。，所以。2。，助，

所以三棱錐￡—BCD的外接球半徑上=Q爐+。戈=1+。0；e

1久co

所以三棱錐E-BCD外接球的表面積S=4兀氏2e—^―,—^―.

,,_.「167r52兀

故答案為sl：—

【點睛】關鍵點點睛：根據球心的性質確定位置，并求出二面角￡-HD-C的平面角/EQ。的范圍為關

鍵.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.解答寫

在答題卡上的指定區域內.

2

15.設直線/1:mx+3my-6=0Z2:^4-m^x+my+m-4m=0.

（1）若〃〃2,求/「42之間的距離；

（2）當直線4與兩坐標軸正半軸圍成的三角形的面積最大時，求加的值.

【答案】（1）叵;

10

（2）m-2.

【解析】

【分析】（1）由直線平行的判定列方程求參數，再由平行線的距離公式求距離；

12

（2）根據已知可得0＜加＜4,再由三角形面積公式有S=-萬（掰-2）'+2,即可確定面積最大時加的值.

【小問1詳解】

由〃/右，則加2-3加一（4一加）=0,化簡得4加2一12加=0，可得加=0或加=3,

當加=0時，不成立，

當加=3時，4:x+3y—2=0,，2：x+3y—3=0,

-2--3V10

此時IJ之間的距離為d=:.

Vl2+3210

【小問2詳解】

fm>0

??.直線4與兩坐標軸的正半軸圍成三角形，八，則0〈加<4,

4-m>0

119

.../2與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積為5=5加（4-加）=-5（掰-2）~+2,

...當掰=2時，S有最大.

16.已知。為原點，直線x+2y—3=0與圓C：/+了2+x—6y+掰=0交于P、0兩點.

（1）若|尸。|=2不，求加的值；

（2）若過。點作圓的兩條切線，切點為M、N,求四邊形。NCW面積的最大值.

37

【答案】（1）1（2）—

8

【解析】

【分析】（1）利用垂徑定理來求直線與圓相交的弦長，從而可得方程求解加的值；

（2）利用勾股定理來求切線長，從而可計算面積，然后可用基本不等式來求最值即可.

【小問1詳解】

由圓x?+J?+x—6.y+加=0可得:

圓心為半徑其中加<心

(1、一±+6—3r

而圓心一萬,3到直線x+2v-3=0的距離4_2_止

I'V174

所以盧。|=2個戶—d?=2『714加一=2々，解得切=1,

即加的值為1.

【小問2詳解】

0C\=JQI+32=半由（1）可矢口r二包/2,

由勾股定理可得|（W|=J。。？一/衛-37-4加=標

44

四邊形ONCN由兩個全等的直角三角形組成。所以

,______,__________,__________37

gor」37-4m/（37-4加）I<37Am+--m37

21122q（4J28

37

當且僅當加二——時成立

8

3737

所以當加二—四邊形ONCM有最大面積—.

88

22

17.已知拋物線E：「=2px（）〉0）與雙曲線:-5=1的漸近線在第一象限的交點為。，且。點的橫坐

標為3.

（1）求拋物線￡的方程;

（2）過點（2,1）作一直線交拋物線￡于4臺兩點，求弦48的中點軌跡方程.

【答案】（1）y2=4x；

【解析】

【分析】（1）設點。的坐標為（3,%）,由點在雙曲線的漸近線上確定點坐標，再由點在拋物線上求參數，

即可得方程；

（2）設/（石,%），5（%,8），中點M（x,y）,弘+%=2了，結合斜率兩點式及點差法得到2廣義二=4,

x-2

整理即可得軌跡，注意驗證lx軸的情況.

【小問1詳解】

設點。的坐標為（3,%）,因為點。在第一象限，所以丸〉0,

雙曲線口-/=1的漸近線方程為y=±孚X，

因為點。在雙曲線的漸近線上，所以比=26，所以點。的坐標為（3,26）

又點0（3,26）在拋物線歹2=2.上，所以12=2夕x3,所以0=2,

設/($,%),5(x2,y2),中點M(x,力,yt+y2=2y,

7y-1Vi-y

若直線/的斜率存在，9

x-2x；-x2

由%2=4苞，只=4%，則（必一%）（乂+%）=4（再一%2），

所以2y**=4,即2y-3=4,

（X,-x2）x-2

整理得y2_、=2x_4,化簡得=2x-^,

直線/的斜率不存在，48lx軸，弦48中點為（2,0）也符合,

綜上：軌跡方程為—=2》—

18.如圖，在三棱錐尸—Z8C中，AB1AC,APLBP,CALAP,BC=#，M、N分別為PB、

PA中點.

（1）證明：BPLAC-,

（2）證明：平面CW與平面的交線///平面尸28；

（3）若PA=PB,二面角C—MN—/的正切值為2,求ZC的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析（3）1

【解析】

【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直即可得證；

（2）利用線面平行的判定和性質定理來進行推理證明即可；

（3）先把二面角的正切值轉化為余弦值，再利用空間向量法來求解二面角的余弦值，從而得到方程求解邊

長，也可以利用空間關系來證明線面垂直，并作圖證明二面角的平面角，再求解即可.

【小問1詳解】

因為ZC_L/8,ACLAP,ABIAP=A,/瓦/Pu平面尸

所以NC,平面尸48,又因為PBu平面尸48,所以「

【小問2詳解】

因為N分別是PB,PZ的中點，

所以〃N〃4B,因為48u平面48C，平面48C,

即“N//平面48C,又因為MNu平面MVC,而平面兒加。口平面48。=/,

所以MN〃/,而上W<z平面尸48,平面尸48,

所以///平面04B；

【小問3詳解】

解法一：以/為坐標原點，48,ZC所在直線為xj坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系:

由（2）知，/CJ_平面尸48且/Cu平面48C,故平面N8CJ,平面尸45,

平面的法向量吊=（0,1,0）,

設AB=2a,則如=,5-4/,C（0,，5—44,0卜

N?,。,1),則CN=1,一,5—4°2,1J,=(1,0,0)

%?NM=0

設平面CMN法向量”=（x，F，z）,則——

々?CN=0

設二面角C—MN—/的平面角為8,已知tan6=2,所以（：056=好

5

解得：a=l.（設/C=a也同樣可以）

解法二：延長MV,過C作CHLMN于〃點，連接/笈，過尸作PGL48于G點

■.■MN//AB,AB1AC:.MNVAC

.?.皿_1_面2。笈，MNVAH,

.,./zj/c為c—MN—/所成的二面角e

Ara

設ZC=a,,?,二面角C—MV—4的正切值為2,則——=2得AH=—

AH2

△PAB中P4=PB，PA1PB.\APAB為等腰直角三角形，

PG=a,AB-2Q

在VZ8C中，Ag2+ZC2=5。2,代入得〃+（2。）2=5,

解得：a—1,.1.AC=1.

19.如圖所示，在圓錐內放入兩個球a,Q，它們都與圓錐的側面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這

兩個球都與平面a相切，切點分別為公，修，數學家丹德林利用這個模型證明了平面a與圓錐側面的交線

為橢圓，記為「，々，鳥為橢圓「的兩個焦點.設直線耳腦分別與該圓錐的母線交于48兩點，過點A的母

線分別與球。1，。2相切于兩點，已知|ZC|=2—若，|2必=2+J8.以直線片用為x軸，在平面a內,

以線段公耳的中垂線為V軸，建立平面直角坐標系.

s

(i)求橢圓r的標準方程;

(2)過點(1,0)作斜率不為0的直線/,直線/與橢圓「交于P,。兩點，43分別為橢圓左右頂點，記NP

的斜率為左，時的斜率為加求出3

(3)已知8為橢圓r的右頂點，直線/與橢圓r相交于M,N兩苴(M,N兩點異于B&),豆BMLBN,

求的面積最大值?

2

【答案】⑴—+J=1；

4

(2)-；

3

⑶竺

25

【解析】

【分析】(1)根據題設有|/月|+|/月|=|/。+|/刈=2°=4、,口―MC=2G=2c求橢圓參數，即可

得橢圓方程;

3

(2)設Q(x2,y2),/的方程為x=(y+l,聯立橢圓及韋達定理可得%%=](%+%)，再

k.Ji(ty-1)

由斜率的兩點式有廣=一:/2;整理化簡即可得結果;

k2%依+3)

(3)設直線/為x=@+加(加豐2),聯立橢圓方程應用韋達定理及向量垂直的坐標表示可得關于參數后，加

的方程，即可求參數加=：,進而確定直線/過定點，最后三角形面積公式得關于左的表達式，即可求最大

值.

【小問1詳解】

22

設橢圓「的標準方程為二+4=1(。〉0,6〉0)，