2025屆河北省名師俱樂部高三下期中聯考數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合的真子集的個數為()A．7 B．8 C．31 D．322．已知P是雙曲線漸近線上一點，，是雙曲線的左、右焦點，，記，PO，的斜率為，k，，若，-2k，成等差數列，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知命題若，則，則下列說法正確的是（）A．命題是真命題B．命題的逆命題是真命題C．命題的否命題是“若，則”D．命題的逆否命題是“若，則”4．記為數列的前項和數列對任意的滿足.若，則當取最小值時，等于（）A．6 B．7 C．8 D．95．若，則的虛部是A．3 B． C． D．6．設函數若關于的方程有四個實數解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達，則甲第一個到、丙第三個到的概率是（）A． B． C． D．8．已知復數，則對應的點在復平面內位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9．已知是的共軛復數,則（）A． B． C． D．10．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點為F，過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．+111．已知正四面體的內切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．2712．已知實數滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則______.14．在棱長為6的正方體中，是的中點，點是面，所在平面內的動點，且滿足，則三棱錐的體積的最大值是__________.15．如圖，直線是曲線在處的切線，則________.16．已知復數對應的點位于第二象限，則實數的范圍為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xoy中，曲線C的方程為.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）寫出曲線C的極坐標方程，并求出直線l與曲線C的交點M，N的極坐標；（2）設P是橢圓上的動點，求面積的最大值.18．（12分）某公司為了鼓勵運動提高所有用戶的身體素質，特推出一款運動計步數的軟件，所有用戶都可以通過每天累計的步數瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數和性別是否有關”，統計了2019年1月份所有用戶的日平均步數，規定日平均步數不少于8000的為“運動達人”，步數在8000以下的為“非運動達人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個用戶，得到如下列聯表：運動達人非運動達人總計男3560女26總計100（1）（i）將列聯表補充完整；（ii）據此列聯表判斷，能否有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”？（2）將頻率視作概率，從該公司的所有人“運動達人”中任意抽取3個用戶，求抽取的用戶中女用戶人數的分布列及期望.附：19．（12分）已知函數.（1）當時，判斷在上的單調性并加以證明；（2）若，，求的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的離心率為，直線過橢圓的右焦點,過的直線交橢圓于兩點(均異于左、右頂點).（1）求橢圓的方程；（2）已知直線,為橢圓的右頂點.若直線交于點，直線交于點，試判斷是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.21．（12分）等差數列中，．（1）求的通項公式；（2）設，記為數列前項的和，若，求．22．（10分）已知函數.（1）若函數，求的極值；（2）證明：.（參考數據：）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

計算，再計算真子集個數得到答案.【詳解】，故真子集個數為：.故選：.【點睛】本題考查了集合的真子集個數，意在考查學生的計算能力.2．B【解析】

求得雙曲線的一條漸近線方程，設出的坐標，由題意求得，運用直線的斜率公式可得，，，再由等差數列中項性質和離心率公式，計算可得所求值．【詳解】設雙曲線的一條漸近線方程為，且，由，可得以為圓心，為半徑的圓與漸近線交于，可得，可取，則，設，，則，，，由，，成等差數列，可得，化為，即，可得，故選：．【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程和離心率，考查方程思想和運算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．3．B【解析】

解不等式，可判斷A選項的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項的正誤；利用原命題與否命題、逆否命題的關系可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】解不等式，解得，則命題為假命題，A選項錯誤；命題的逆命題是“若，則”，該命題為真命題，B選項正確；命題的否命題是“若，則”，C選項錯誤；命題的逆否命題是“若，則”，D選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查四種命題的關系，考查推理能力，屬于基礎題.4．A【解析】

先令，找出的關系，再令，得到的關系，從而可求出，然后令，可得，得出數列為等差數列，得，可求出取最小值.【詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以是等差數列，，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當時，取最小值.故選：A【點睛】此題考查的是由數列的遞推式求數列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.5．B【解析】

因為，所以的虛部是.故選B．6．B【解析】

畫出函數圖像，根據圖像知：，，，計算得到答案.【詳解】，畫出函數圖像，如圖所示：根據圖像知：，，故，且.故.故選：.【點睛】本題考查了函數零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力，畫出圖像是解題的關鍵.7．D【解析】

先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選：D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.8．A【解析】

利用復數除法運算化簡，由此求得對應點所在象限.【詳解】依題意，對應點為，在第一象限.故選A.【點睛】本小題主要考查復數除法運算，考查復數對應點的坐標所在象限，屬于基礎題.9．A【解析】

先利用復數的除法運算法則求出的值，再利用共軛復數的定義求出a+bi，從而確定a，b的值，求出a+b．【詳解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故選：A．【點睛】本題主要考查了復數代數形式的乘除運算，考查了共軛復數的概念，是基礎題．10．B【解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯立，可求出點，則，整理計算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查學生的計算能力，是中檔題.11．D【解析】

設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內切球的半徑，在中，根據勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，則，，，設內切球的半徑為，內切球的球心為，則，解得：；設外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D【點睛】本題主要考查了多面體的內切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎題.12．A【解析】

所求的分母特征，利用變形構造，再等價變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因為滿足，則，當且僅當時取等號，故選：．【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形;(2)代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

直接利用關系式求出函數的被積函數的原函數，進一步求出的值．【詳解】解：若，則，即，所以．故答案為：．【點睛】本題考查的知識要點：定積分的應用，被積函數的原函數的求法，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題．14．【解析】

根據與相似，，過作于，利用體積公式求解OP最值，根據勾股定理得出，，利用函數單調性判斷求解即可.【詳解】∵在棱長為6的正方體中，是的中點，點是面所在平面內的動點，且滿足，又，∴與相似∴，即，過作于，設，，∴，化簡得：，，根據函數單調性判斷，時，取得最大值36，，在正方體中平面.三棱錐體積的最大值為【點睛】本題考查三角形相似，幾何體體積以及函數單調性的綜合應用，難度一般.15．.【解析】

求出切線的斜率，即可求出結論.【詳解】由圖可知直線過點，可求出直線的斜率，由導數的幾何意義可知，.故答案為:.【點睛】本題考查導數與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎題.16．【解析】

由復數對應的點，在第二象限，得，且，從而求出實數的范圍．【詳解】解：∵復數對應的點位于第二象限，∴，且，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查復數與復平面內對應點之間的關系，解不等式，且是解題的關鍵，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），，；（2）.【解析】

（1）利用公式即可求得曲線的極坐標方程；聯立直線和曲線的極坐標方程，即可求得交點坐標；（2）設出點坐標的參數形式，將問題轉化為求三角函數最值的問題即可求得.【詳解】（1）曲線的極坐標方程：聯立，得，又因為都滿足兩方程，故兩曲線的交點為，.（2）易知，直線.設點，則點到直線的距離（其中）.面積的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的相互轉化，涉及利用橢圓的參數方程求面積的最值問題，屬綜合中檔題.18．（1）（i）填表見解析（ii）沒有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”（2）詳見解析【解析】

（1）(i)由已給數據可完成列聯表，(ii)計算出后可得；（2）由列聯表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，的取值為，，由二項分布概率公式計算出各概率得分布列，由期望公式計算期望．【詳解】解（1）（i）運動達人非運動達人總計男352560女142640總計4951100（ii）由列聯表得所以沒有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”（2）由列聯表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，.易知所以的分布列為0123．【點睛】本題考查列聯表，考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列和期望．屬于中檔題．本題難點在于認識到．19．（1）在為增函數；證明見解析（2）【解析】

（1）令，求出，可推得，故在為增函數；（2）令，則，由此利用分類討論思想和導數性質求出實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，.記，則，當時，，.所以，所以在單調遞增，所以.因為，所以，所以在為增函數.（2）由題意，得，記，則，令，則，當時，，，所以，所以在為增函數，即在單調遞增，所以.①當，，恒成立，所以為增函數，即在單調遞增，又，所以，所以在為增函數，所以所以滿足題意.②當，，令，，因為，所以，故在單調遞增，故，即.故，又在單調遞增，由零點存在性定理知，存在唯一實數，，當時，，單調遞減，即單調遞減，所以，此時在為減函數，所以，不合題意，應舍去.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導數的綜合應用，利用導數研究函數的單調性、最值和零點及不等式恒成立等問題，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、函數與方程思想，考查了學生的邏輯推理和運算求解能力，屬于難題.20．（1）（2）定值為0.【解析】

（1）根據直線方程求焦點坐標，即得c，再根據離心率得，（2）先設直線方程以及各點坐標，化簡，再聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代入化簡得結果.【詳解】（1）因為直線過橢圓的右焦點,所以，因為離心率為，所以，（2），設直線，則因此由得，所以，因此即【點睛】本題考查橢圓方程以及直線與橢圓位置關系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21．（1）（2）【解析】

（1）由基本量法求出公差后可得通項公式；（2）由等差數列前項和公式求得，可求得．【詳解】解：（1）設的公差為，由題設得因為，所以解得，故．（2）由（1）得．所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以，由得，解得．【點睛】本題考查求等差數列的通項公式和等比數列的前項和公式，解題方法是基本量法．22．（1）見解析；（1）見證明【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（1）問題轉化為證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根據xlnx≤x（x﹣1），問題轉化為只需證明當x＞0時，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），根據函數的單調性證明即可．【詳解】（1），，當，，當，，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.（1）要證f（x）+1＜ex