2024-2025學年度高一學年上學期期中考試試卷

數學試題

滿分150分，考試時間120分鐘

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,設全集0={123,4,5},集合滿足用"={2,4},則（）

A.IcMB.4cAfC.5eMD.

【答案】C

【解析】

【分析】由補集運算得出集合再由元素與集合的關系判斷.

【詳解】因為全集。={1,2,3,4,5},={2,4},所以/={1,3,5},

根據元素與集合的關系可知，ABD錯誤，C正確.

故選：C.

2.命題。：Vx>2,I〉。，則命題夕的否定形式是（）

22

A.Vx>2,x-l<0B.Vx<2,x-l>0

C.3x>2,x2-l<0D.3x<2,x2-l<0

【答案】C

【解析】

【分析】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得到結論.

2

【詳解】命題0：Vx>2,x-l>0.為全稱量詞命題，

則該命題的否定為：3x>2,x2-l<0.

故選：C.

3.下列命題中正確的是（）

A若a>6,則」〈工B.若a>6,則/〉〃

?ab

b+mb

C.若a>6>0,m〉0,則-----<—D.若一1<Q<4,2<b<3,則一4<a—b<2

a+ma

【答案】D

【分析】根據不等性質分別判斷各選項.

【詳解】A選項：當。〉0>6時，—>0>—,A選項錯誤；

ab

B選項：當。=1,6=-2時，a>b成立,/B選項錯誤;

b+mbab+am-ab-bm(a-b)m>o,所以竺竺〉2,c選項

C選項：a>b>0加>0,------------

a+maa(a+m\a+ma

錯誤;

D選項：2<b<3,則—3<—b<—2，又—1<Q<4,所以—4<a—b<2,D選項正確；

故選：D.

4.已知=是幕函數，則“。是正偶數”是"/(x)的值域為［0,+⑹”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用幕函數的性質結合充分、必要條件的定義判定即可.

【詳解】當。是正偶數時，顯然/(x)=xa?o,即其值域為［0,+8).

當/(x)=?時，/(X)的值域為［0,+8),但a不是正偶數.

故是正偶數”是“/(》)的值域為［0,+8)”的充分不必要條件.

故選：A

5.已知g(x)=/(x+2)—3是定義在R上的奇函數，若/(1)=4,則/(3)=()

A.-10B.-4C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據給定條件，利用奇函數的性質求出函數/(x)的性質，進而求出/(3).

【詳解】由g(x)=/(x+2)—3是定義在R上的奇函數，^[/(-x+2)-3]+[/(x+2)-3]=0,

即/(—x+2)+/(x+2)=6,令x=l,則/(1)+/(3)=6,而/(1)=4,

所以/(3)=2.

故選：c

122,

6.若兩個正實數x，V滿足一+2>=1,若至少存在一組x，V使得x+一〈-加一-6加成立，則實數加的取值

xy

范圍是（）

A.{m\-4<m<-2}B.{m\-4<m<-2}C,{-3}D.0

【答案】C

【解析】

-2]22

【分析】根據題意得，即求x+—<-m2-6m,利用基本不等式，可解得x+—29,進而得到

L4V

9<—nr—6m>進而可求解.

2「212,

【詳解】至少存在一組x，y使得X+一（一"2一6加成立，即x+—<-m-6m,

>L歹」皿

又由兩個正實數xj滿足』+2y=l,可得

x+—=（x+—）（—+2y）=1+2盯+2+425+2石=9,

JJx-xy

[1「1

2y=-2

當且僅當2個=一，即個3時，等號成立，，x+—=9,

孫[x=3LUin

故有9W—加2—6加，解得（加+3）2<0,故加=—3,所以實數加的取值范圍是{—3}

故選：C.

7.已知函數/（x）為定義在R上的奇函數，且在[0,1）為減函數，在[1,+8）為增函數，/（2）=0,則不等

式切（-x”0的解集為（）

A.（―8,—2]U[0,2]B.[―2,0]D[2,+”）

C.—2]u{0}u[2,+oo）D,[—2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】先根據奇函數性質確認函數零點，再根據已知單調性可以求出函數在各個區間符號，由不等式性

質可得解.

【詳解】因為/(X)為定義在R上的奇函數，所以/(—x)=—/(x),且/(0)=0

又因/(2)=0,所以/(—2)=0,

又因/(x)在[1,+8)為增函數,在xe[l,2]上/(x)<0,

在xe[2,+co)上/(x)>0,

又因/(x)在[0,1)為減函數，所以xe[0,l)上/(x)?0,

綜上，當xe[0,2]時，/(x)<0,當xe[2,+co)時/(x"0,

當xe[—2,0]時，則一xe[0,2],所以/(—x)=-/⑴<0,則/(x"0,

當xe(—oo,—2]時，則—xe[2,+oo),所以/(—x)=—之0,則

不等式xf(-%)>0可化簡變形為xf(x)<0,

綜上所述可知當xe[-2,2]時，xf(x)<Q.

故選：D

8.若函數/⑴在定義域可上的值域為[/(a)J(b)],則稱/(x)為“。函數”.已知函數

/、[5x,0<x<2

/(x)=2/「'是"Q函數”，則實數加的取值范圍是()

')x2-4x+m,2<x<4

A.[4,10]B,[4,14]C.[10,14]D.[10,+oo)

【答案】C

【解析】

/、[5x,0<x<2

【分析】根據“。函數”的定義確定/(x)=2，c“的值域為[0,刈，結合每段上的函數的取

[x-Ax+m,2<x<4

值范圍列出相應不等式，即可求得答案.

/、[5x,0<x<2

【詳解】由題意可知/(x)={2“'”的定義域為[0,4],

'7x-4x+m,2<x<4

,、f5x.O<x<2/、/、

又因為函數/(x)=2_是“。函數”，故其值域為[/(0),/(4)]；

而/(0)=0,/(4)=加，則值域為[0,加];

當0WxW2時，/(x)=5xe[0,10],

當2<xV4時，/(x)=x2-4x+m,此時函數在(2,4]上單調遞增，則/(x)￡(加一4,加],

5x,0<x<20<m-4<10

故由函數/(%)=<是“Q函數”可得《

2

x-4x+m,2<x<4m>10

解得10K加<14,即實數加的取值范圍是[10,14],

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

13

A.若/(x)的定義域為-2,2],則〃2x-1)的定義域為-]，5

B./(%)=—和g(%)=丫表示同一個函數

17

函數y=2x+JE的值域為—00,——

8

2

D.函數/(x)滿足/(x)-2/(-x)=2xT,則/(x)=gx+l

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據抽象函數的定義域的求解判斷A；利用同一函數得定義判斷B；利用換元法，結合二次函數的

性質求得其值域，判斷C；利用方程組法判斷D.

【詳解】解：對于A,因為/(x)的定義域為12,2],

13

對于函數/(2x—1),則—2<2x—1<2,解得—QWXW],

「]3-

即/(2x—1)的定義域為一萬，5,故A正確；

對于B,/(x)定義域為{x|"0},g(x)定義域為R,不是同一函數，故B不正確;

對于C,令/=J1-x,貝!lx=l—/，/>0,

所以y=2(1—〃)+/=—2/+/+2=—2,—w]+~~?/之0,

1(1Y1717

所以當/=一時，函數y=—21-▲+上取得最大值，最大值為一，

4-I4；88

所以函數>=2X+JE的值域為故C正確;

對于D,=

.?./(-x)-2/(x)=-2x-l,化簡得2/(-x)-4/(x)=-4x-2,

兩式相加得-3/(x)=-2x-3,解得〃x)=1X+l,故D正確.

故選：ACD.

10.已知關于x的不等式簽?20的解集為(—叫—2]。(1,+“)，則()

A.c=1

B.點(凡為在第二象限

C.2aH—的最小值為2

b

D.關于x的不等式ax2+ax-b>Q的解集為%-2]U[1,+?)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據題意，由原不等式的解集可得c=l,-2a+6=0,即可判斷ABD,然后再由基本不等式即

可判斷C.

【詳解】原不等式等價于因為其解集為(-叫-2]"1,+8),所以a>0且

x-cw0

c=l,—2a+6=0,故A正確；

因為。>0/=2a>0,則點(見“在第一象限，故B錯誤；

,---------<1

11/12a二—1

由6=2。>0可得，2a+—=2a+——N2」2a——=2,當且僅當《2。時，即。=不時，等號成立,

b2aV2a。〉02

所以2ad—的最小值為2,故C正確；

b

由6=2。>0可得，不等式a/+ax-620即為ox?+ox—2a之0，化簡可得

x2+x-2>0^(x+2)(x-l)>0,則其解集為(―叫―2]U[l,+8),故D正確；

故選：ACD

11.已知函數/(x),g(x)的圖象分別如圖1,2所示，方程/(g(x))=l,g(/(x))=—Lg(g(x))=-1

的實根個數分別為凡“c,則()

Aa+b=cB.6+c=2aC.a"=cD.b+c=a

【答案】AB

【解析】

【分析】根據圖象，確定。，b,c的值，代入驗證即可.

【詳解】由圖，方程/(g(x))=l,-1<g(x)<0,此時對應4個解，故a=4；

方程g(/(x))=—1,得/(x)=—1或者/(x)=l,此時有2個解，故6=2；

方程g(g(x))=-；，g(x)取到4個值，如圖所示：

即-2<g(x)<—1或-l<g(x)<0或0<g(x)<l或l<g(x)<2,則對應的x的解，有6個，故c=6.

根據選項，可得A,B成立.

故選：AB.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數/(x)=^^=+(x—l)°的定義域為.

V3x-2

【答案】

【解析】

【分析】根據分式、根式以及零次方的意義列式求解即可.

3x—2>02

【詳解】令《，八，解得x〉一或XW1,

x-1^03

所以函數/(X)的定義域為［g,l］u(l,+R).

故答案為：.

13.“4x+夕<0”是“f—X—2〉0”的充分不必要條件，則實數P的取值范圍是—.

【答案】［4,+oo)

【解析】

【分析】求解一元二次不等式和一元一次不等式，根據充分不必要性，列出不等式，則問題得解.

【詳解】由4x+p<0,解得x<—￡；

4

由X?—x—2>0,即(x—2)(x+l)〉0,解得%>2或x<—1；

又“4x+P<0”是“——'一2〉o”的充分不必要條件，

故可得—“V—1,解得夕24.

4

故答案為：［4,+00).

【點睛】本題考查由命題之間的充分性和必要性求參數范圍，屬基礎題.

14.定義：對于非空集合A,若元素xeZ,貝U必有(加-x)e/,則稱集合A為“掰和集合”.已知集合

8={1,2,3,4,5,6,7},則集合臺所有子集中，是“8和集合”的集合有個.

【答案】15

【解析】

【分析】

由新定義可得集合3的子集中，1,7、2,6、3,5、4一定成組出現，再由子集的概念即可得解.

【詳解】由題意，集合8的子集中，1,7、2,6、3,5、4一定成組出現，

當集合B的子集中只有1個元素時，即為{4},共1個；

當集合B的子集中有2個元素時，即為{1,7},{2,6},{3,5},共3個；

當集合8的子集中有3個元素時，即為{1,4,7},{2,4,6},{3,4,5},共3個；

當集合B的子集中有4個元素時,即為{1,7,2,6},{1,7,3,5}{2,6,3,5},共3個;

當集合8的子集中有5個元素時,即為{1,7,4,2,6},{1,7,4,3,5},{2,6,4,3,5},共3個;

當集合B的子集中有6個元素時,即為8={1,2,3,5,6,7},共1個.

當集合2的子集中有7個元素時，即為8={1,2,3,4,5,6,7},共1個.

則集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有15個.

故答案為：15.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知A—|x2—x—6<o|,B-|—3<xV3}.

（1）求集合A；

（2）求玲（zn8）,（Qz）nB.

【答案】（1）/={x|—2<x<3}

（2）4（/八5）={%］》<一2或》23},他/）八5={》|一3<工（一2或》=3}

【解析】

【分析】（1）解出一元二次不等式得到集合A即可；

（2）由集合的交集與補集的運算求解即可.

【小問1詳解】

因為Z={x|/—%一6<0},所以解不等式,一工一6<0可得：

-2<x<3,故集合N={x|-2<x<3}

【小問2詳解】

由(1)可知：/={x|-2<x<3},又3={x|-3cx<3},

所以/「3={x|-2<x<3},所以4(4cB)={x|x〈一2或xN3}.

4/={x|xW-2或x?3},&/)c5={x|-3<x<-2或x=3}.

16.已知命題：使等式4/一工—加=0成立”是真命題.

（1）求實數掰的取值集合M；

（2）設不等式（x-a）（x+a-2）<0的解集為N,若xeN是xeM的必要條件，求。的取值范圍.

【答案】（1）M=<m~—<m<5>

16

（2）或

【解析】

【分析】（1）根據題意，將方程有解問題轉化為機在/（X）值域內，求得二次函數的值域，即可得到結果;

（2）根據題意，將問題轉化為MqN,然后分。〉1,。=1與。<1討論，即可求解.

【小問1詳解】

由題意，方程加=4——X在（—1,1）上有解,

2x—；

令/(x)=4x2-x=I-^,（-1<X<1）,只需加在/（X）的值域內,

當X=一時，f(x).—---當x=—1時，/(%)=5,

8'7min16

所以/(x)值域為」,51，

16)

?二m的取值集合為M=<m~—<m<5>；

16

【小問2詳解】

由題意，MjN，顯然N不為空集.

①當Q〉2—Q,即時，N=(2—Q,Q),

.1

2—a<---

16

a>5,.-.^>5；

a>\

②當a=2-a,即。=1時，N=0,不合題意舍去;

③當Q<2—Q,即a<l時，N=(Q,2—Q).

2-a>5

1

<a<--,/.a<-3；

16

a<1

綜上可得a25或a?-3.

17.某奶茶店今年年初花費16萬元購買了一臺制作冰淇淋的設備，經估算，該設備每年可為該奶茶店提供

12萬元的總收入.已知使用x年（x為正整數）所需的各種維護費用總計為f+2x萬元（今年為第一年）.

（1）試問：該奶茶店第幾年開始盈利（總收入超過總支出）？

（2）該奶茶店在若干年后要賣出該冰淇淋設備，有以下兩種方案：

①當盈利總額達到最大值時，以1萬元的價格賣出該設備；

②當年均盈利達到最大值時，以2萬元的價格賣出該設備.

試問哪一種方案較為劃算？請說明理由.

【答案】（1）從第三年開始盈利.

（2）兩種方案盈利總數一樣，但方案②時間短，較為劃算.

【解析】

【分析】（1）列出純收入的函數表達式，解純收入大于0的不等式即可.

（2）分別計算兩種方案的盈利和時間，比較后得結論.

【小問1詳解】

由題意可知，總收入扣除支出后的純收入y=12x—（x?+2x+16）=—x"+10x—16,

-x2+10x-16>0>解得2cx<8,

由xeN*，所以從第三年開始盈利.

【小問2詳解】

方案①：

純收入y=-犬+10x-16=-（x-5『+9,則5年后盈利總額達到最大值9萬元,

以1萬元的價格賣出該設備，共盈利10萬元；

方案②：

正出格工〃—f+lOx—1616

年均盈利z=------------二-x+10----，

XX

由xeN*，x+->2.Ol=8,當且僅當即x=4時等號成立,

X\Xx

z=-x+10--<-8+10=2,

x

當4年后年均盈利達到最大值2萬元時，以2萬元的價格賣出該設備，

共盈利4x2+2=10萬元.

兩種方案盈利總數一樣，但方案②時間短，較為劃算.

18.已知函數/3=盧^經過（T-2）,W兩點?

（1）求函數/（x）的解析式；

（2）判斷函數/（x）在（0,1）上的單調性并用定義進行證明；

（3）若/（x）〈加對任意恒成立，求實數加的取值范圍.

【答案】（1）/（%）=%+-

（2）/（X）在（0,1）上單調遞減，證明見解析

17'

（3）m>——>

4J

【解析】

【分析】（1）將點的坐標代入列方程組求解即可；

（2）利用單調性的定義證明即可；

（3）將問題轉化為7"?/（X）max，然后利用單調性求解最值即可得解.

【小問1詳解】

???/（T）=-2,/⑶4

~b+a

o=0

5解得「,

45o=l

1,2

—b+a

2

,?/(x)=x+-.

X

【小問2詳解】

/（x）在（0,1）上單調遞減，證明如下:

任取西尼e（。」），且再<X2,

X

則/(xj—/(X。)=1-----々H-----=(%1-X9)—

(X"(X2J(卬

x1,x2e(o,l),且再＜X2,

/.Xj-x2<0,0<xxx2<1,

XjX2-1<0,

；./(再)-/(彳2)>。即/(再)>/(》2),

所以函數/(X)在(0,1)上單調遞減.

【小問3詳解】

由/(x)〈加對任意xe[；,；]恒成立得m>/(x)max,

由(2)知/(x)在(0,1)上單調遞減，

函數/(x)在上的最大值為,

17

/.m>—,

4

[17、

所求實數加的取值范圍為〈加