專題07函數(shù)與導數(shù)核心考點深度剖析與壓軸題解答策略

目錄

01考情透視?目標導航.............................................................2

02知識導圖?思維引航.............................................................3

03知識梳理?方法技巧............................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

05核心精講?題型突破...........................................................27

題型一：含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性討論27

題型二：導數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題31

題型三：雙變量問題39

題型四：證明不等式46

題型五：極最值問題53

題型六：零點問題60

題型七：不等式恒成立問題68

題型八：極值點偏移問題與拐點偏移問題74

題型九：利用導數(shù)解決一類整數(shù)問題83

題型十：導數(shù)中的同構問題90

題型十一：洛必達法則98

題型十二：導數(shù)與三角函數(shù)結合問題104

重難點突破：函數(shù)與導數(shù)背景下的新定義壓軸解答題111

1/121

w

本節(jié)內(nèi)容在高考中常作為壓軸題出現(xiàn)，涉及函數(shù)零點個數(shù)'不等式證明及存在性等問題，綜合性強且

難度較大。解決這類導數(shù)綜合問題，需要綜合運用分類討論、構造函數(shù)、等價轉化'設而不求等多種思維

方法，并結合不等式、方程等相關知識。這類問題不僅思維難度大，而且運算量也相當可觀。可以說，考

生一旦攻克了本節(jié)內(nèi)容，就將具備出色的邏輯推理'數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析和直觀想象等核心素養(yǎng)。

考點要求目標要求考題統(tǒng)計考情分析

2024年天津卷第20題，16分函數(shù)與導數(shù)在高中數(shù)學

2023年I卷第19題，12分中占據(jù)重要地位，不僅是重點

掌握技巧，靈活

不等式2023年甲卷第21題，12分

應用求解考查內(nèi)容，也是高等數(shù)學的基

2023年天津卷第20題，16分

礎。通過對近十年高考數(shù)學試

2022年H卷第22題，12分

題的分析，可以總結出五大核

2024年II卷第16題，15分

明確概念，掌握心考點：一是含參函數(shù)的單調(diào)

極最值2023年乙卷第21題，12分

求解方法性'極值與最值問題；二是函

2023年II卷第22題，12分

數(shù)的零點求解問題；三是不等

2024年I卷第18題，17分

式恒成立與存在性的探討；四

2024年甲卷第21題，12分

理解概念，熟練是函數(shù)不等式的證明技巧；五

恒成立與有解2022年北京卷第20題，12分

轉化求解是導數(shù)中涉及三角函數(shù)的問

2021年天津卷第20題，16分

2020年I卷第21題，12分題。其中，函數(shù)不等式證明中

的極值點偏移、隱零點問題、

2022年甲卷第21題，12分含三角函數(shù)形式的問題以及

理解原理，熟練

零點問題2022年I卷第22題，12分不等式的放縮技巧，是當前高

求解應用

2022年乙卷第20題，12分考函數(shù)與導數(shù)壓軸題的熱門

考點。

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匐2

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〃“牛nXt”口、?■”?1A里Z?右,?—拈/V

1、對稱變換

主要用來解決與兩個極值點之和、積相關的不等式的證明問題.其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值

點為與)，即利用導函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點X0.

(2)構造函數(shù)，即根據(jù)極值點構造對稱函數(shù)尸(%)=/(%)—/(2%—%),若證苔馬〉￥，則令

F(x)=/(x)-/(2^x).

X

(3)判斷單調(diào)性，即利用導數(shù)討論尸(x)的單調(diào)性.

(4)比較大小，即判斷函數(shù)尸(尤)在某段區(qū)間上的正負，并得出“X)與/(2/一》)的大小關系.

(5)轉化，即利用函數(shù)“X)的單調(diào)性，將“X)與/^^一%)的大小關系轉化為K與2%一%之間的

關系，進而得到所證或所求.

【注意】若要證明了(然幺］的符號問題，還需進一步討論五戶與xo的大小，得出土戶所在的

I2J22

單調(diào)區(qū)間，從而得出該處導數(shù)值的正負.

構造差函數(shù)是解決極值點偏移的一種有效方法，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應用貫穿

于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關，但如果我們能挖掘其內(nèi)

在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單

調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構造一個

適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能

獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效

2、應用對數(shù)平均不等式瓜式＜丁土二土產(chǎn)證明極值點偏移：

InXj-Inx22

①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；

②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到?*一：；

③利用對數(shù)平均不等式來證明相應的問題.

3、比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明

題中的不等式即可.

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葡4

百翱招折?增:住鋪i涮

1.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)已知函數(shù)[(x)=(l-ax)ln(l+x)-尤.

(1)當.=-2時，求/'(x)的極值；

(2)當xNO時，/(%)>0,求。的取值范圍.

【解析】(1)當a=-2時，/(x)=(l+2x)ln(l+x)-x,

故八x)=21n(l+x)+^^-l=21n(l+x)--—+1,

l+xi+x

因為yuZlna+x),;^-「一+1在(-1,+8)上為增函數(shù)，

i+x

故/'(x)在(-L+")上為增函數(shù)，而/'(0)=0,

故當一l<x<0時，f'{x)<0,當x>0時，/'(x)>0,

故;'(x)在x=0處取極小值且極小值為/(0)=0,無極大值.

(2)/〈X)=-aln(l+x)+-——-1=-a\n[\+,x>0,

1+X1+X

、n_/\/\(Q+1)X

Rs(x)=-6ZIn(1+x)-———,x>0,

(Q+1)Q(X+1)+Q+1ax-^2a-A

則s'(x)

x+l(l+x)(1+x)(1+x)

當aV-；時，s'(x)>0,故s(“在(0,+“)上為增函數(shù)，

故s(x)>s(o)=o,BPy,(x)>0,

所以/(X)在［o,+8)上為增函數(shù),故f(x"〃O)=O.

當-!<°<0時，當0〈尤時，s'(x)<0,

2a

故s(x)在上為減函數(shù)，故在”［上s(x)<s(o),

即在(0,-子4［上f(x)<0即/(x)為減函數(shù)，

故在［。,一=T上/(x)</(0)=0,不合題意，舍.

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當a20,此時s'(x)<0在(0,+8)上恒成立，

同理可得在(0,+8)上/(尤)<〃0)=0恒成立，不合題意，舍;

綜上，aW-5.

2.(2024年天津高考數(shù)學真題)已知函數(shù)7'(x)=xlnx.

⑴求曲線了=/(x)在點(1)(1))處的切線方程；

出若/(月泊［-6)對任意尤6(0,+8)成立，求實數(shù)。的值；

⑶若如Ze(O,l),求證：|/(X1)-/(x2)|<^-x2|l.

【解析】(1)由于/(x)=xlnx,故廠(x)=lnx+l.

所以;'⑴=0,/'⑴=1，所以所求的切線經(jīng)過(1刀)，且斜率為1,故其方程為y=x-L

(2)設〃(。=/一1一Inf,則=從而當0</<1時〃”)<0,當f>l時〃。)>0.

所以訪⑴在(0』上遞減，在［1,+⑹上遞增，這就說明BPf-l>lnf,且等號成立當且僅當"1.

設=,則

當xe(O,+s)時，S的取值范圍是(°，+。)，所以命題等價于對任意，40，+⑹，都有gU)、O.

y/x

一方面，若對任意，e(0,+°o),者B有g(/)20,則對/e(0,+oo)有

0?g(')=Q(%—1)—2In/--1)+2In—<Q(%—1)+21—1j-atH------a—2,

取，=2,得0?a—1,故。21〉0.

再取Up,MO<a-^+2^|-a-2=2/2^

-a-2=~^y/~a，所以a=2.

另一方面，若a=2,則對任意te(O,+⑹都有g⑺=26l)-21nf=24/)N0,滿足條件.

綜合以上兩個方面，知。的值是2.

(3)先證明一個結論：對0<。<6,有+—<lnb+l.

b-a

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I1n—b

b\nb-a]naalnb-a]na,,

證明：前面已經(jīng)證明不等式故-----------=------------+lnZ?='3—+lnb<1+lnb,

b-ab-aJ

a

.a

-In—

b\nb-a\x\ab\nb-b]na

且+ln。=----+ln。>+lna=1+lnQ,

b-ab-a1--1--

bb

1blnb-akia<ln6+1,即InQ+1<""~<lnZ7+1.

所以]nq+]<-----------

b-ab-a

由/'(x)=lnx+l,可知當0<x<L時/'(x)<0,當時/'(x)>0.

ee

所以/（x）在（of1上遞減，在：,+"］上遞增.

e

不妨設再《馬，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結論.

情況一：當，4須4%＜1時，有|/（網(wǎng)）一/（工2）|=/（工2）-）（占）＜。11工2+1）（工2-毛）＜馬一玉〈出廠工，結論

成立；

情況二：當0＜占4/4：時，有|/（網(wǎng)）一/（工2）|=/（%）一）（工2）=%111%一%111馬.

對任意的ce0,-,設0(x)=xlnx-c\wc—y1c—x,貝！J(P(x)=lnx+ld/.

2yjc-x

由于。（尤）單調(diào)遞增，且有

(、

c111

=ln--<ln=—1—+1+=0

<P'1+;廠+1+丁+1+iJ—

i+-i+-J2c

(2e岳)V2c.詬2.]cN2c

2eec~~

]

x>c-12

且當4,2-1j,尤＞^j■時，由21n——l可知

2y/c—xc

]c11ln--lj>0

"(x)=lnx+ld---,>In—+1+

V)27^722\lc—x2y/c-x

所以“（X）在（0,c）上存在零點X。，再結合“（X）單調(diào)遞增，即知O＜x＜Xo時夕’（力＜0,m＜x＜c時夕'（x）＞0.

故9（x）在（0,%］上遞減，在［%,。］上遞增.

①當/KxWc時，有e(x)?9(c)=0；

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=Li,Ing」.

②當0<x<故我們可以取gw

e

從而當0<x<1。時，由［c-x>q&，可得

i-q

0(x)=xlnx-clnc-s/c-x<-cInc-\Jc-x<-cInc-qy[c=Vc&In——q<0.

再根據(jù)9(x)在(O,%］上遞減，即知對。<尤<%都有夕(x)<0；

綜合①②可知對任意0cx4c,都有夕(無)40,艮［J0(x)=jdnx-clnc-Jc-xV0.

根據(jù)ce(0,：和OcxWc的任意性，取c=x?,x=xt,就得到尤Jn國-x21nx2-Jx?-占40.

所以|/'(再)一/'(馬)|=/(%)-/(工2)=天山西一3111X2<y］x2-xl.

情況三：當0<占4：4％<1時，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得/卜產(chǎn);W&f,

M)-Jx2T4&-X］.

而根據(jù)/(尤)的單調(diào)性，知|/(再)一〃%)區(qū)［&)一或|〃網(wǎng))一14n-.

故一定有|/(%)-/(%)仔”2-再成立.

綜上，結論成立.

3.(2024年新課標全國H卷數(shù)學真題)已知函數(shù)/(x)=e*-ax-/.

⑴當“=1時，求曲線y=/(x)在點(1J(D)處的切線方程；

(2)若/(x)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

【解析】(1)當。=1時，貝!1/(無)=e*-x-1,f'(x)=e'-1,

可得〃l)=e-2,f'(l)=e-l,

即切點坐標為(l,e-2),切線斜率左=e-l,

所以切線方程為廣(e-2)=(e-l"-l),即(e-l)x7-l=0.

(2)解法一：因為/Xx)的定義域為R,且/'(x)=e'

若。40,則/'(x)20對任意xeR恒成立，

可知“X)在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；

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若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-8,Ina)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+e)內(nèi)單調(diào)遞增，

則“X)有極小值/(lna)=a-alna-a3,無極大值，

由題意可得：/(lna)=a-alna-/<0,即aZ+Ma—]〉。，

構建g(a)=/+lna-1,a>0,貝I]g[a)=2a>0,

可知g(a)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且g⑴=0,

不等式J+lna-1>0等價于g(a)>g⑴,解得。>1,

所以a的取值范圍為(1,+8)；

解法二：因為/Xx)的定義域為R,且八x)=e「a,

若/(x)有極小值，則八x)=e-a有零點，

令f\x)=e'~a=0,可得e*=a，

可知y=e，與y="有交點，則a>0,

若a>0,令/''(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-8,Ina)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

則“X)有極小值/(lna)="-alna-a3,無極大值，符合題意，

由題意可得：f(lna)=a-alna-a3<0,即M+lna-l〉。，

構建g(a)=/+lna-1,a>0,

因為則y=//=Ina-1在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

可知g(a)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且g(l)=0,

不等式/+lna-l>0等價于g(a)>g⑴，解得。>1,

所以。的取值范圍為(1,+00).

4.(2024年新課標全國I卷數(shù)學真題)已知函數(shù)〃無)=ln」+G+，(x-l)3

2-x

(1)若b=0,Mr(x)>0,求。的最小值；

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

⑶若/(x)>-2當且僅當1<X<2,求6的取值范圍.

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【解析】(1)6=0時，/(x)=ln-^—+,其中%￡(0,2),

2-x

][2

則/'(x)=一+：^+a=(+a,xe(O,2),

XLXXI/JCI

因為X(2_X)42-；+J=1,當且僅當x=l時等號成立，

故/'(x)min=2+4,而/'(')>0成立，故〃+220即〃2—2,

所以。的最小值為-2.,

Ya

(2)/(x)=ln-——+ax+b(x-t)的定義域為(0,2),

設尸(加,〃)為y=f(x)圖象上任意一點，

尸(加,〃)關于(1,0)的對稱點為。(2-加,2"〃),

因為P(〃z,〃)在y=f(x)圖象上,故〃=Inm+am+b(m-l]3,

2-m

2_MJqMJ-1

而/(2—m)=ln-------}-a(2—m]+b(2-m-1]=-In--------1-am+b(m-\\+2a,

m2-m

=—n+2a,

所以0(2-?n,2a-〃)也在y=/(x)圖象上,

由P的任意性可得y=/(久)圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為(1,。).

(3)因為/(力>-2當且僅當l<x<2,故x=l為/(x)=-2的一個解,

所以/⑴=一2即.=_2,

先考慮1cx<2時,2恒成立.

此時/(可>一2即為In上+2(1-x)+/x-l)3>0在(1,2)上恒成立,

設f=x-le(0,l),貝"In山-2/+#>0在(0,1)上恒成立，

L-t

設g")=\n^--2t+bt\te(0,1),

則g'(，)=*-2+3療+

當620,-3#+2+362-36+2+36=2>0,

故g'?)>0恒成立，故g(。在(0,1)上為增函數(shù),

故g?)>g(。)=0即/(x)>-2在(1,2)上恒成立.

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2

當一時，-36/+2+3,22+3b20,

故g'?)NO恒成立，故g(。在(0,1)上為增函數(shù)，

故g?)>g(o)=0即/(X)>-2在(1,2)上恒成立.

當方則當0</<.+2<1時,g'0<o

3\3b

故在上g⑺為減函數(shù)，故g⑺<g(°)=°，不合題意，舍；

綜上，外力>-2在(1,2)上恒成立時2-孑

2

而當時，

而時，由上述過程可得g⑺在(0,1)遞增，故g?)>0的解為(0,1),

即/(可>一2的解為(1,2).

2

綜上，b>——.

5.(2023年北京高考數(shù)學真題)設函數(shù)f{x)=x-^Qax+b，曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程為y=f+1.

⑴求6的值；

(2)設函數(shù)g(x)=/'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶求“X)的極值點個數(shù).

【解析】⑴因為/■(x)=xf3ef,x€R,所以/'3=1-作2+-卜2,

因為/(可在(1，/⑴)處的切線方程為了=f+1，

所以〃i)=-1+1=0,r(i)=-i,

所以〃=-1,6=1.

(2)由(1)得8(%)=/'(工)=1一(3/一“3卜-山［￡1＜),

貝ijg'(x)=-x^x2-6x+6^e-x+1,

令％2一6%+6=0,解得％=3±6，不妨設玉=3-G，x2=3+＞/3,則0＜再＜%2,

易知er”〉0恒成立，

所以令g'(x)＜0，解得0＜、＜再或x＞、2；令g'(x)＞。，解得x＜0或玉；

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所以g（x）在（0,西），@2，+00）上單調(diào)遞減，在（-8,0）,（國/2）上單調(diào)遞增，

即g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,3-6）和（3+6,+可，單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,0）和（3-百,3+百）.

（3）由（1）得/（x）=x-/eTM（xeR）,/'（x）=1-（3/-dk-小，

由（2）知/'（X）在（0,占），卜2，+°°）上單調(diào)遞減，在（-8,0）,（王,無2）上單調(diào)遞增，

當尤＜0時，r（-l）=l-4e2＜0,r（0）=l＞0,BP/，（-l）r（°）＜0

所以/'（x）在（-的,0）上存在唯一零點，不妨設為退，則-

此時，當時，/'（x）＜0,則f（x）單調(diào)遞減；當無3〈尤＜0時，r（x）＞0,則/（x）單調(diào)遞增；

所以/（x）在（-8,0）上有一個極小值點；

當xe（（Uj時，/在（0,占）上單調(diào)遞減，

則/（國）=/'（3-6）＜/（1）=1-2＜0,故/''（（））/'（玉）＜0,

所以/'（X）在（0,不）上存在唯一零點，不妨設為匕，則0＜匕＜玉，

此時，當0＜x＜z時，r（x）＞0,則/'（x）單調(diào)遞增；當匕＜》＜七時，/'（“＜0,則/'（x）單調(diào)遞減；

所以/"）在（0,網(wǎng)）上有一個極大值點；

當xe（占,工2）時，/'（無）在（國,工2）上單調(diào)遞增，

則/'（%）=/'（3+6）＞r（3）=1＞0,故/（石）/（％）＜0,

所以/'（X）在（再生）上存在唯一零點，不妨設為％,則再＜三＜%,

此時，當X1＜X＜%時，r（x）＜0,則/（X）單調(diào)遞減；當退＜丁＜工2時，r（x）＜0,則/（X）單調(diào)遞增;

所以/（X）在（X15x2）上有一個極小值點；

當X〉％=3+/＞3時，3x2-x3=x2（3-x）＜0,

所以/'（x）=l-（3f-巧尸+、0,則/（x）單調(diào)遞增，

所以/（x）在（9,內(nèi)）上無極值點；

綜上：/（x）在（-叱0）和（西，尤2）上各有一個極小值點，在（。,再）上有一個極大值點，共有3個極值點.

6.（2023年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）已知函數(shù)/（x）=t+\ln（l+x）.

（1）當。=-1時，求曲線y=fO）在點（1J。））處的切線方程.

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⑵若函數(shù)/(X)在(0,+8)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

【解析】(1)當。=-1時，〃x)=--1jln(x+l)(x>-1),

貝1J/'(x)=-4xln(x+l)

據(jù)止匕可得1(1)=0,/'(1)=_歷2,

所以函數(shù)在處的切線方程為了-0=-ln2(無一1),即(ln2)尤+y-ln2=0.

卜/卜+1)

(2)由函數(shù)的解析式可得了'(x)=

滿足題意時/'(x"0在區(qū)間(0,+司上恒成立.

令1--y|ln(x+l)+|—+^|—-—>0,貝［J-(x+l)ln(x+l)+(x+ax2)2o,

^g(x)=ax2+x-(x+l)ln(x+1),原問題等價于g(x”0在區(qū)間(0,+e)上恒成立，

則S(x)=2辦一ln(x+l),

當aWO時，由于2axW0/n(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞減,

此時g(x)<g(O)=O,不合題意；

令h(x)=gr(x)=2ax-ln(尤+1),貝!］1(尤)=2a---,

當awL2a21時，由于一匚<1,所以〃(無)>0,〃(無)在區(qū)間(0,+司上單調(diào)遞增，

2x+1

即g'(x)在區(qū)間(0,+“)上單調(diào)遞增，

所以g'(x)>g'(o)=o，g(x)在區(qū)間(0,+司上單調(diào)遞增，g(x)>g(o)=o,滿足題意.

當0<a<工時，由"(x)=2a-=0可得x=-!——1,

2x+12a

當時，”(尤)<0,力(口在區(qū)間，］-1)上單調(diào)遞減，即g'(x)單調(diào)遞減，

注意到g'(O)=O,故當尤<0,［-1］時，g,(x)<g-(O)=O,g(x)單調(diào)遞減，

由于g(O)=O,故當時，g(x)<g(O)=O,不合題意.

13/121

綜上可知：實數(shù).得取值范圍是k

7.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(文)真題)已知函數(shù)/卜)="-三華,

cosxI2J

⑴當“=1時，討論/'(X)的單調(diào)性；

⑵若〃x)+siwc<0,求。的取值范圍.

【解析】(1)因為"1,所以〃x)=x-當士”(0,小，

cosxv2J

\,cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinx,cos2x+2sin2x

則f(x)=1---------------―-----L——=1--------------

cosXcosX

cos3X-cos2X-2(1-cos2x)cos3x+COS2X-2

-----------------------------------------,

cos3Xcos3X

^t=COSX,由于所以，=COSX￡(0,1),

所以cos3%+cos2x—2=P+/2—2=/—"+2』—2=/?—i)+2?+l)?—1)=?2+2/+2)“—1),

因為r+2,+2=?+1)+l〉0,—1<0,cos3x=t3>0,

32

所以r^)=cosx+cosx-2<0在上恒成立，

cosx'2J

所以/(X)在(0段]上單調(diào)遞減.

(2)法一：

構建g(x)=/(%)+sinx-ax——二警+sinx[0<x<—j,

cosx12)

EI，/、1+sin2x/八兀1

貝！Jg(x)=a----------FCOSX0<x<—,

cosxI2J

若g(x)=/(x)+sinx<0,且8(0)=/(0)+$吊0=0,

則g'(O)=Q—1+1=〃《0,解得a?0,

當Q=0時，因為sinx-sin：=sinx[l---—],

cosxVcosx/

14/121

又x所以0<sinx<l,0<cosx<l,則—>1,

V2Jcosx

所以7(x)+sinx=sinx-----廠<0,滿足題意;

cosX

71

當4<0時，由于0<%<5，顯然辦<0,

所以/(x)+sinx=ax-----+sinx<sinx----z—<0,滿足題意;

cosXcosX

綜上所述：若/(x)+sinx<o,等價于〃40,

所以Q的取值范圍為(-叫0].

法二：

2

sinx,2,sinx(cosx-1si?n3x

因為sinx-sinxcosx-sinx

cos2xcos2xcos2xcos2x

因為所以0<sinx<l,0<cosx<l,

故sinx-羋二<0在(0,父上恒成立,

cosxI2)

所以當a=0時，/■(x)+sinx=sin尤一以*<0,滿足題意;

cosX

jr

當Q<O時，由于o<%<5，顯然亦<o,

sinx..smx八田廠,口工.

所以/(x)+sinx=4x-———+smx<smx-----<0,滿足題思；

cosXcosX

w、.si,nxsi,n3x

當Q>0時,m因為jr((xj+sinx=ax--------I-sinx=ax-------

COSXCOSX

si-n3x3sin2xcos2x+2sin4x

令g(x)=ax--0-<--x--<一，則g<x)=a—

3

cosx2COSX

3mm4

注意到g‘⑼="s1s°=a>0f

若V0<x嘮，g，(x)>0,則g(x)在[0,/J上單調(diào)遞增,

注意到g(o)=o,所以g(x)>g(o)=o,即/(尤)+sin尤>0,不滿足題意;

，

若三0</<、，g(x0)<0,則g'(O)g'(Xo)<O,

所以在(0e0,-^1,使得g'(xJ=0,

上最靠近x=0處必存在零點再e

15/121

此時g'(x)在(0,再)上有g'(x)>o,所以g(x)在(0,再)上單調(diào)遞增,

則在(0,再)上有g(x)>g(O)=O,即/(x)+sinx>0,不滿足題意;

綜上：4Z<0.

8.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)已知函數(shù)〃x)=ax-'續(xù),x

cosxv27

⑴當。=8時，討論〃x)的單調(diào)性；

⑵若〃x)<sin2x恒成立，求。的取值范圍.

rAn'i/,\x/、cosxcos3x+3sinxcos2xsinx

［解析］(1)/{x)=a-----------------------------------------

COSX

cos2x+3sin2x3-2cos2x

令cos2x=￡,則/e(。，1)

3—2tat?+2t—3

則/'(%)=g?)=a

(21)(4+3)

當Q=8j'(x)=g?)=

當￡即15)J(x)<。.

當即x€(0,",/(x)>0.

所以/(x)在(0,：J上單調(diào)遞增，在「弓)上單調(diào)遞減

(2)設g(x)=/(x)-sin2%

23

g(x)=/(x)-2cos2x=g(0-2(2co^㈠—2(2/—l)=a+2—------^設

tt

23

以。=a+2---------

/、，26-4「-21+62(I)(2/+2/+3),0

<PW=-4--+—=

tr^3

所以0(f)<0(l)="3.

1。若ae(-00,3],g'(x)=(??(r)<a-3<0

16/121

即g(x)在[o/J上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(0)=0.

所以當。e(-?,3],/(無)<sin2x，符合題意.

2。若Q￡(3,+OO)

當/—>0,2—導=_3+g-—co，所以夕(Q—一°0.

夕⑴=q-3>0.

,

所以弘e(0,1),使得夕日)=0,即叫e[0,,使得g(xo)=O.

當/e仇,1),麗)>0,即當尤e(0,尤。),g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

所以當xe(O,Xo),g(x)>g(O)=O，不合題意.

綜上，。的取值范圍為(一*3].

9.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(理)真題)已知函數(shù)〃x)=t+a]ln(l+x).

(1)當a=-l時，求曲線y=〃x)在點處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線了=/(￡|關于直線x=b對稱，若存在，求a,6的值，若不存在，說明理由.

⑶若/'(x)在(0,+功存在極值，求°的取值范圍.

【解析】(1)當a=T時，/(x)=Q-l^|ln(x+l),

貝!J/'(x)=—^xln(x+1)+f1]x-----,

XVXJXI1

據(jù)止匕可得/'(1)=0,/'(l)=-ln2,

函數(shù)在(1J0))處的切線方程為N-0=-ln2(x-l),

即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)令g(x)=/U=(x+a)ln(T+lJ,

函數(shù)的定義域滿足，+1=匕>0,即函數(shù)的定義域為(-8,-1)。(0,+應，

XX

定義域關于直線對稱，由題意可得6=-1,

22

17/121

由對稱性可知加)

g[-g+=g-mm〉T

取刃=；可得g6=g(一2),

即(a+1)In2=(a-2)Ing,則a+l=2-a,解得“=g,

經(jīng)檢驗a=g,6=_；滿足題意，故a=；,6=—;.

即存在a=t，6=-2滿足題意.

22

(3)由函數(shù)的解析式可得/()=(-二]111(%+1)+(L+〃

由;'(x)在區(qū)間(0,+。)存在極值點，則/'(同在區(qū)間(0,+動上存在變號零點;

則-(1+1)111(%+1)+卜+"2)=0,

令g(x)=Q12+x-(X+1)111(X+1),

/(X)在區(qū)間(0,+")存在極值點，等價于g(x)在區(qū)間(0,+功上存在變號零點，

g，(x)=2〃x-ln(x+l),/(@=2a——彳

當a?0時，g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+動上單調(diào)遞減，

此時g(x)〈g(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+。)上無零點，不合題意；

當心1，2azi時，由于」7V1,所以g"(x)>0,g'(x)在區(qū)間(0,+功上單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(O)=O，g(x)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增,g(x)>g(O)=O,

所以g(x)在區(qū)間(0,+司上無零點，不符合題意；

當0<.<!時，由g"(x)=2a---=0可得尤=-^--1,

20''x+12a

當時，g"(x)<0,g[x)單調(diào)遞減，

當時，g"(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增,

故g'(x)的最小值為g'd-l]=l-2a+ln2“,

18/121

令加(x)=l—x+lnx(O<x<l),貝ij加'(x)=x+l〉0,

函數(shù)加(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，m(x)<m(l)=O,

據(jù)此可得1-%+lnx<0恒成立，

則g'(^--l]=l-2a+ln2a<0,

由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當Xf+8時，

g'(x)=2ax-ln(x+l)—>+oo,

且注意到g'(0)=0,

根據(jù)零點存在性定理可知:g'(x)在區(qū)間(0,+<?)上存在唯一零點X。.

當xe(0,x°)時，g,(x)<0,g(x)單調(diào)減,

當xe(%,+oo)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x())<g(O)=O.

-^-n(x]=lnx-y/x,貝=----\=-~~~—>

x2Vx2x

則函數(shù)"3=111》-爪在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4,+00)上單調(diào)遞減,

所以〃(x)V〃(4)=ln4-2<0,所以In尤<?,

所以+"2+1]-1"：