重難點專題14利用傳統(tǒng)方法解決二面角問題

【題型歸納目錄】

題型一：定義法

題型二：三垂線法

題型三：垂面法

題型四：射影面積法

題型五：補棱法

【方法技巧與總結】

二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如

圖在二面角。-/-力的棱上任取一點O,以。為垂足，分別在半平面。和戶內作垂直于棱的射線和OB,

則射線Q4和OB所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當于

求兩條異面直線的夾角即可）.

法二：三垂線法

在面a或面刀內找一合適的點A,作AO_L分于O,過A作AB_Lc于3,則30為斜線在面￡內的

射影，為二面角a-c-"的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點做面的垂線；即過點A,作A0_L/于O；

②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過A作ABLc于3,連接30；

③計算：NA5O為二面角a-c-尸的平面角，在也中解三角形.

圖1圖2圖3

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面

S射_S△A'B'C'

積公式（cos<9=如圖2）求出二面角的大小;

S斜S?ABC

法四：補棱法

當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補

棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題.當二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面積法

解題.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二

面角的平面角.

【典型例題】

題型一：定義法

【典例1-1】（2024.高一.浙江金華?期中）如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB^AC,。為BC的中點，PO1

平面A5C,垂足。落在線段AD上.

⑴證明：AP1BC；

⑵已知BC=8,AO=3,OD=2,且直線尸3與平面PAD所成角的正弦值為石.

①求此三棱錐P-ABC的體積；

②求二面角3-AP-C的大小.

【典例1-2】（2024.高二.全國?專題練習）四邊形ABCD是正方形，PAL平面ABC。，且上4=求:

p

(1)二面角A-PD-C的平面角的度數(shù);

(2)二面角B-R4-O的平面角的度數(shù);

(3)二面角B-24-C的平面角的度數(shù).

【變式1-1](2024?高三?甘肅?階段練習)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ADHBC,

ZBCD=90°,PA=PB,PC=PD.

P

(1)證明：8與平面PAD不垂直；

(2)證明：平面PAB_L平面ABCD；

(3)如果8=")+3。，二面角尸—3C-A等于60。，求二面角尸―CD—A的大小.

題型二：三垂線法

【典例2-1】(2024.高二.浙江金華.期末)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，AB=2,ZBAD=60°,

對角線人。,8。交于點。,尸。，平面458,平面。是過直線AB的一個平面，與棱PC,交于點瓦尸，且

PE=-PC.

4

p

(2)若平面口交尸。于點T,求黑的值;

⑶若二面角￡-AB-C的大小為45。，求尸O的長.

【典例2-2】(2024?高二?上海普陀?期末)如圖，在三棱錐O-ABC中，平面ACDL平面ABC,

AD1.AC,ABJ.BC,E、尸分別為棱3C、8的中點.

(1)求證：直線所〃平面ABD;

(2)若直線8與平面ABC所成的角為45。，直線8與平面所成角為30。，求二面角3-AD-C的大

小.

【變式2-1](2024?高三.全國?專題練習)如圖，正方體ABCD-ABGA的棱長為1.在棱AB上是否存在

一點使得二面角A-叫-C等于12。。？若存在，求出需的值；若不存在，說明理由.

題型三：垂面法

【典例3-1](2024.高二?四川成都?階段練習)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為矩形，平面

PAD，底面ABCD,為正三角形，E是的中點，AD=2,AB=4.

⑴求點C到平面PDE的距離.

(2)求二面角D-PE-C的余弦值.

【典例3-2】（2024?高一?江蘇蘇州?階段練習）在三棱臺ABC-A再G中，

AB±AC,AB=2AlBl=2,AC=272,CQ=2,ZA,AC=ZA,CA,且平面ACAG_L平面ABC.

(1)求證：平面ABC,平面ABG;

(2)求二面角A-AC-8的正弦值.

題型四：射影面積法

【典例4-1】(2024?四川宜賓.一模)如圖所示，AABC是正三角形，平面ABC,AE//CD,

AE=AB=2,CD=1,且尸為8E的中點.

(1)求證：叱〃平面ABC；

(2)求平面與平面ABC所成二面角的正弦值.

【典例4-2】(2024?高二?廣東廣州?期中)如圖，已知AB是圓柱下底面圓的直徑，點C是下底面圓周上異

(1)求證：A8_L平面BCOE；

(2)若AB=6,BC=3,圓柱的母線長為26，求平面ADE與平面A3C所成的銳二面角的余弦值.

【變式4-1］如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，平面

ABCD,PA=AB=a,求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小.

題型五：補棱法

【典例5-1】（2024?山東淄博.高一統(tǒng)考期末）如圖，已知正方體ABCD-AgC.的棱長為2,M、N分別

為棱2瓦、3C的中點.

（1）證明：直線DN〃平面AMR；

⑵設平面AMR與平面A3CD的交線為/,求點M到直線/的距離及二面角A-/-。的余弦值.

【典例5-2】（2024.湖南常德?高一臨澧縣第一中學校考期末）《九章算術》是中國古代的一部數(shù)學專著，是

《算經十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有

效的應用數(shù)學，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完整的體系.《九章算術》中將由四個直角三角形組成

的四面體稱為“鱉麝”，己知在三棱錐尸-ABC中，PAL平面ABC.

p

(l)從三棱錐尸-ABC中選擇合適的兩條棱填空：1,則三棱錐尸-ABC為“鱉賺;

(2)如圖，已知垂足為￡),AELPC,垂足為E,ZABC=90°.

(i)證明：平面ADE_L平面PAC；

(ii)設平面ADE與平面ABC交線為/,若PA=2石，AC=2,求二面角E-/-C的大小.

【變式5-1](2024.黑龍江牡丹江?高一牡丹江一中校考期末)如圖，A3是圓。的直徑，點C是圓。上異

于A,8的點，直線PC,平面ABC,E,尸分別是R4,PC的中點.

(1)記平面BEF與平面ABC的交線為/,試判斷直線/與平面PAC的位置關系，并加以證明;

(2)設PC=2AB=4,求二面角E-/-C大小的取值范圍.

【過關測試】

1.(2024.高一.遼寧丹東?期末)如圖(1)所示，ZABC=ZACD=90°,AB=BC=?/G4D=3O。，如

圖(2)所示，把AABC沿AC折起，使平面ABC4平面ACD,E為AO的中點，連接3￡),BE,EC.

圖⑴圖⑵

(1)求證：平面ABD_L平面BCD；

(2)求二面角E-BC—O的正弦值.

2.(2024.高一.福建三明?期末)如圖,在四棱錐P—ASCD中，PAJL平面ABC，AD//BC,ADLCD,

5.AD=CD=2,BC=4,PA=^2.

⑴求證：AB1PC；

⑵在線段PO上是否存在一點M‘使得與平面ABCD所成角的正切值為等‘若存在‘求二面角

V-AC-D的大小，若不存在，請說明理由.

3.(2024?高一?貴州安順?期末)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，24,平面

ABCD,/是邊AD上一點，且滿足A5cM是正方形，AB=l,PA=2.

p

(1)求證：平面PBM_L平面PAC；

(2)已知：ATO=2(0<^<2),二面角尸-CD-A的平面角為。.是否存在4,使得tan。=血？若存在,

求出2；若不存在，說明理由.

4.(2024?高一?河南商丘?期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCO是菱形.

(1)若點￡■是PD的中點，證明：PF〃平面ACE；

(2)若上4=PD=AD,ABAD=120°,且平面平面ABCD,求二面角尸-AC-O的正弦值.

5.(2024?高一.云南玉溪?期末)如圖，三棱錐尸-MC的底面“IfiC是等腰直角三角形，其中

AB=AC=PA=PB=2,平面平面A8C,點E,N分別是AB,8c的中點.

(1)證明：EN1平面B4B；

⑵求二面角C-PB-A的余弦值.

6.（2024?高一?安徽蕪湖?期末）如圖，在三棱臺ABC-D防中，ZACB=90\BF±AD,BC=2,

BE=EF=FC=1.

(1)求證：平面3CEE_L平面ABC；

JT

(2)若直線AE與平面BCFE所成角為§,求平面DEC和平面ABC所成角的正切值.

7.(2024.高一.江西萍鄉(xiāng)?期末)在如圖所示的空間幾何體中，兩等邊三角形AACD與AABC互相垂直,

AC=BE=2,DE〃平面48C,且點E在平面ABC內的射影落在/48C的平分線上.

⑴求證：/汨/平面48；

(2)求二面角。-AC—E的正切值.

8.(2024.高一.重慶江津.期末)如圖，已知四棱錐尸一ABC。的底面ABCD是邊長為2的正方形,

PA=PB=3,E,尸分別是A瓦的中點.

(1)求證：平面PCD_L平面PEF；

(2)當直線R4與平面PC。所成角的正弦值最大時，求此時二面角P-AB-C的余弦值.

9.(2024?高一?浙江湖州?階段練習)已知平面四邊形ABC。，AB=AD^2,Z&4D=60°,ZBCD30°,

現(xiàn)將△AB。沿80邊折起，使得平面平面BCD,此時AD，8,點尸為線段A￡＞的中點.

C

(1)求證：平面ACD；

(2)若M為8的中點，求與平面3PC所成角的正弦值；

(3)在(2)的條件下，求二面角尸-NM-O的平面角的余弦值.

10.(2024.高一.河南開封.期末)如圖1,四邊形48(第是邊長為2的正方形，將AACD沿AC折疊，使點

。到達點E的位置(如圖2),且EB=&.

圖1圖2

(1)求證：AClEfi；

(2)求二面角E-AC-8的大小.

11.(2024?高一?貴州銅仁?期末)四棱錐尸-ASCD中，底面ABCD為矩形，AB=1,AD=BPA=2,

PD=1.

BC

(1)平面BBC與平面上的交線為/,證明：1//AD-,

⑵PB=m,求二面角A—依―D的余弦值.

12.(2024?高一?福建福州?期末)如圖1所示，在矩形ABCD中AB=4,8