電力系統最優潮流的數學模型計算案例綜述最優潮流是指在給定電力系統結構參數及負荷數據的情況下，在滿足約束條件的前提下通過調整各種控制設備參數來實現目標函數最小化的尋優過程。最優潮流數學模型最優潮流的目標函數目標函數可用來表示系統的經濟成本、安全性或者其他的目標。常用的最優潮流目標函數為以下兩種：(1)發電機出力成本：(3-1)上式(3-1)中，為系統內所有發電機的集合，為第臺發電機的耗量特性，為第臺發電機的有功出力。在電力系統的調度中常見到的最優潮流通常以發電機出力成本最低為目標。(2)有功網損：(3-2)上式(3-2)中，表示所有支路的集合。無功優化潮流通常以網絡損耗最小為目標函數[14]。最優潮流變量類型最優潮流模型中，變量主要分為兩大類：一類是控制變量，另一類是狀態變量。控制變量即為可以被控制的自變量，包括：(1)所有發電機及無功補償裝置的無功出力、節點電壓幅值；(2)除平衡節點外的其余各發電機組的有功出力；(3)移相器抽頭位置等。狀態變量通常包括各節點電壓和各支路功率[15]。最優潮流約束條件最優潮流的約束條件包括等式約束和不等式約束：等式約束電力系統最優潮流中的等式約束為基本潮流平衡方程，可用下式表示：(3-3)不等式約束最優潮流計算的不等式約束包括：各有功電源出力上下限約束；各發電機即無功補償裝置出力上下限約束；各節點電壓幅值上下限約束；各支路通過的最大功率約束；線路兩端節點電壓相角約束等。可以將上述不等式約束條件表示為：(3-4)根據目標函數、等式約束及不等式約束構造電力系統最優潮流計算數學模型如式(3-5)所示：(3-5)基于發電機出力成本最低的最優潮流模型基于發電機出力成本最低的目標函數本文采用全系統火電機組燃料費用最小為目標函數，設有所有發電機和負荷都連接在同一節點的系統如圖3-1所示：圖3-1單電力系統模型將上圖3-1單電力系統模型的發電機出力成本表示為式(3-6)所示：(3-6)上式(3-6)中是第個發電廠的有功出力，為發電廠的出力成本。式(3-6)函數圖像如下圖3-2所示：圖3-2燃料成本曲線圖3-2便是燃料成本曲線圖，該圖中任一點切線的斜率稱為燃料成本微增率，即：(3-7)燃料成本微增率可以用來測量輸出一定增量的功率需要增加多少成本。等微增率法則即運行的發電機組按微增率相等的原則來分配負荷，這樣可使系統總的燃料消耗或費用為最小[17]。該系統的負荷需求等于所有發電機的有功出力。每個發電廠的成本函數是已知的，則該經濟分配問題就是使得如下式(3-8)所示的所有發電機的出力成本最低。(3-8)上式(3-8)中為火力發電廠的燃料總費用；是第個發電廠的有功出力，是發電廠的總數。計及網絡損耗的等式約束計及網絡損耗時，電力系統在運行過程中的有功功率的總和應該與系統的總負荷和網絡損耗相平衡，則此時的等式約束條件應為：(3-9)網絡損耗是發電機最優潮流計算中一及其重要的因素，本文借助庫恩損耗公式得：(3-10)上式中稱為系數（損耗系數）。可以用系數法求解，B系數法求解原理如下所示：假設注入節點的復功率為(3-11)所有節點的功率總和即整個系統的損耗為(3-12)式中，、為系統的有功和無功損耗；是節點電壓的列向量；是注入節點電流的列向量。節點電流和節點電壓之間的關系式為：(3-13)節點電壓矩陣為：(3-14)節點導納矩陣的逆矩陣為節點阻抗矩陣。如果系統中有并聯元件與地節點相連，則節點導納矩陣是非奇異的。將上式(3-14)代入(3-12)(3-15)由于節點阻抗矩陣是對稱的，即總的系統損耗為(3-16)分離實部與虛部，可得：(3-17)(3-18)由于，所有有功功率損耗可轉變為：(3-19)此時定義總的負荷電流以得出根據發電機有功出力得到的系統損耗公式：(3-20)上式(3-20)中，是負荷節點數；是總負荷電流。現假定各個節點電流是總負荷電流的部分，如：(3-21)此時假設節點1為平衡節點，將(3-14)展開得到(3-22)將節點電流用發電機電流和負荷電流替代，得(3-23)再將(3-21)代入(3-23)得(3-24)上式中，(3-25)將定義為從節點1流出的電流，再將其他負荷電流置0，得：(3-26)再將上式(3-26)代入(3-24)，并求解，得：(3-27)求得后再將(3-26)代入(3-20)得(3-28)此時設(3-29)得到(3-30)再將上式展開為矩陣形式，得(3-31)簡寫為：(3-32)再代入(3-19)得(3-33)將作為節點的復功率，此時發電機電流為：(3-34)將加到上式(3-34)，并展開為矩陣：(3-35)簡寫為:(3-36)上式中(3-37)將(3-36)代入(3-33)得(3-38)上式的矩陣為一個復數矩陣，可以通過取實部得出有功功率損耗(3-39)其中(3-40)上述矩陣的元素都是復數，可以用它的實部來計算有功損耗。也是一個厄密共軛矩陣，即為對稱矩陣且，因此其實數部分為(3-41)上述矩陣寫為分塊矩陣為：(3-42)將上述矩陣(3-42)代入(3-39)得：(3-43)由上述可得，求系數可分為以下四步：求出整個系統的節點電壓幅值和相角；用(1)中結果求負荷電流、總負荷電流以及；求出阻抗矩陣、、和；通過(3-42)計算系數。之后便可求得。需要注意的是，當發電機有功出力為單位時，網損系數必須做以下換算：(3-44)式中，的單位為MVA[18]。考慮發電機出力限制的不等式約束在實際情況中，發電機的輸出功率既不能超過它的最大出力限制，也不能低于它的最小出力限制。因此發電機出力需要滿足式(3-45)的不等式約束以保證其正常工作。(3-45)式(3-45)中，是第個發電廠的有功出力，與分別是第臺發電機的最小、最大出力限制。基于簡化梯度法的最優潮流計算簡化梯度法用拉格朗日乘子處理等式約束，利用庫恩-吐克爾條件處理不等式約束，建立拉格朗日函數，并求出拉格朗日函數在迭代點最快的下降方向，以該方向尋找最優解使拉格朗日函數值達到最優。拉格朗日乘數法原理設函數在A處有極值k，且k在A點的鄰域內連續。則在A點處有，另外還存在一常值函數。此時兩個函數在A點處的全微分為：(3-46)(3-47)由于該線性方程組的系數成比例，有(3-48)即(3-49)將上式分別乘以與再相加，然后積分，得：(3-50)此時，求原函數極值的問題就轉化為求該函數極值的問題[19]。上述描述是等式約束下的計算，但是在實際中，等式約束并不多見，更多的問題是不超過多少時間，不超過多少人力，不超過多少成本等不等式約束問題。這時就需要庫恩-吐克爾條件對拉格朗日乘數法作補充使其能夠在不等式約束條件下解決問題。庫恩-吐克爾條件庫恩-吐克爾條件即對拉格朗日乘數法的泛化。在該條件，最優點必須滿足下面的條件：(1)約束條件滿足以及；即最優解是一可行解。(2)；即最優解,必須是和的線性組合(為梯度算子),和都是拉格朗日乘子，每一個都必須大于或等于零。(3)且不等式約束條件滿足。庫恩-吐克爾條件就是函數的梯度方向由等式約束條件的梯度方向線性組合加上不等式約束條件等號成立時的梯度的線性組合[20]。最優潮流計算本文以發電機出力成本最低為目標函數，以考慮網損的潮流方程為等式約束，以發電機出力限制為不等式約束，通過滿足庫恩-吐克爾條件的拉格朗日乘數法構造拉格朗日函數如下式(3-49)所示：(3-49)上式中利用庫恩-吐克爾條件對構造拉格朗日函數進行了補充，得到：(3-50)當任一發電機有功出力超出范圍時，將其等于發電機有功出力的上限值，此時這個發電機出力就是常數，其余未超出發電機有功出力范圍的發電機還是要滿足等燃料成本微增率法則。此時考慮網損后，不等式約束可以理解為時，而在時。即滿足不等式約束，，上式中相應的項被消除，只有當發電機出力超出時才會有效。最小值可由其導數為零時得到，計算式如下：(3-51)(3-52)(3-53)(3-54)上式(3-53)(3-54)表明不能超出限定值，當在其限定之內時，此時庫恩吐克爾方程變為和拉格朗日方程一樣的方程，由(3-51)得：(3-55)由于，所以，所以最優分配條件為：(3-56)上式中，是網損微增率。一般情況下，(3-56)也可以寫成如下形式(3-57)其中，是發電廠懲罰因子，計算公式為：(3-58)上式(3-57)表明獲得最低成本的條件是發電廠增量成本與懲罰因子的積相等。由(3-10)得損耗微增公式：(3-59)再將燃料成本微增公式(3-7)和損耗微增公式(3-59)代入(3-56)得：(3-60)展開得：(3-61)簡化為：(3-62)為求得的估計值，首先要求上式(3-61)的聯立線性方程組，并利用梯度法進行迭代后將式(3-59)寫為次迭代式為：(3-63)將上式的代入等式約束條件(3-9)得：(3-64)再將上式作泰勒級數展開，得：(3-65)其中(3-66)此時：(3-67)迭代過程持續到在給定精度為止。如果此時線路損耗方程近似為：(3-68)其中，，,則(3-63)的聯立方程的解為：(3-69)上式為新的調和方程；而(3-66)可簡化為(3-70)由上述的公式(3-63)、(3-65)以及(3-67)可以求得基于庫恩條件下的拉格朗日乘數法對最優潮流問題的、、、以及。如果和滿足精度要求且在不等式(3-45)的限制內，則可以得到發電廠消耗成本的最優分配[21]。基于Matlab的電力系統最優潮流計算26節點潮流計算圖4-126節點的電力系統26節點的電力系統如圖4-1所示，節點1為平衡節點，其電壓，該系統各節點的負載有功功率和無功功率見附錄Ⅰ表126節點負載數據所示；發電機的電壓幅值、有功功率以及有功無功限制見附錄Ⅰ表2發電機數據所示；并聯電容器的注入無功功率見附錄Ⅰ表3并聯電容器的注入無功功率所示；系統線路和變壓器的電阻、電抗以及1/2容納數據見附錄Ⅰ表4線路與變壓器數據所示；變壓器的分接頭數據見附錄Ⅰ表5變壓器分接頭數據所示。潮流計算程序設計圖4-2(a)牛頓法潮流計算程序流程圖圖4-2(b)高斯法潮流計算程序流程圖根據圖4-2(a)牛頓法潮流計算程序流程圖和圖4-2(b)高斯法潮流計算程序流程圖所示，為了在Matlab環境下用高斯-塞德爾法和牛頓-拉夫遜法進行潮流計算，必須先輸入變量規定值以及數據文件來完成數據準備：變量規定值：基準功率basemva=100；功率允許誤差accuracy=0.01；加速因子accel=1.6；最大迭代次數

maxiter=80；數據文件:節點數據文件

Busdata：節點信息輸入的數據為

Busdata矩陣。該矩陣第1列為節點編號，第2列為節點類型，第3列為節點電壓幅值，第4列為相角，第5列為負荷的有功功率，第6列為負荷的無功功率，第7列為發電機的有功功率、第8列為發電機的無功功率，第9列和第10列分別為發電機的最小無功出力和最大無功出力，第11列為并聯電容器注入無功功率。第2列的節點類型編碼如下：1：該節點為平衡節點。0：負荷節點，并設定節點電壓初始估計值。2：電壓控制節點[21]。線路數據文件Linedata：Linedata第1列、第2列為節點對；第3列為線路電阻；第4列為電抗；第為以標幺值表示的線路電納值的一半；最后一列為變壓器分接頭設定值，輸入1為線路，且線路輸入為無輸入順序，對變壓器來說，左側的節點號設為分接頭端[22]。由附錄Ⅰ表1~5可整理得到該26節點電力系統的Busdata和Linedata。Busdata如附錄Ⅰ表6所示，Linedata如附錄Ⅰ表7所示。接著開始潮流計算，需要以下函數來進行每一步的工作：Lfnewton：采用牛頓-拉夫遜法進行潮流計算的函數。Lfgauss采用高斯-塞德爾法進行潮流計算的函數。Lfybus：該函數需要

用Linedata中的數據將阻抗變為導納并得到節點導納矩陣。Busout：該函數用來在屏幕上顯示潮流計算結果。Lineflow：該函數輸出線路流入線路終端的有功和功的功率流、線損以及節點功率，還包含整個系統的有功和無功損耗[23]。潮流計算結果分析本小節分別采用牛頓-拉夫遜法和高斯-塞德爾法對26節點電力系統進行潮流計算，將這兩種算法的計算結果、迭代次數以及迭代時間進行分析對比。圖4-3牛頓-拉夫遜法潮流計算結果圖4-4牛頓-拉夫遜法迭代時間牛頓-拉夫遜法潮流計算結果和迭代時間如上圖4-3牛頓-拉夫遜法潮流計算結果、圖4-4牛頓-拉夫遜法迭代時間所示：圖4-3是牛頓-拉夫遜法潮流計算的輸出結果，從圖4-3可以得到牛頓-拉夫遜法潮流計算共迭代6次，最大功率偏移為P.U.，負荷總有功功率為1263.000MW，總無功功率為637.000Mvar，發電機總有功功率為1278.534MW，總無功功率為618.791Mvar，并聯電容器注入的總無功功率為25.000Mvar。圖4-4是牛頓-拉夫遜法迭代時間，牛頓-拉夫遜法迭代了0.059s，潮流計算總時間為0.071s。圖4-5高斯-塞德爾法潮流計算結果圖4-6高斯-塞德爾法迭代時間高斯-塞德爾法潮流計算結果和迭代時間如上圖4-5高斯-塞德爾法潮流計算結果、圖4-6高斯-塞德爾法迭代時間所示：圖4-5是高斯-塞德爾法潮流計算的輸出結果，從圖4-5可以得到高斯-塞德爾法潮流計算共迭代37次，最大功率偏移為P.U.，負荷總有功功率為1263.000MW，總無功功率為637.000Mvar，發電機總有功功率為1278.536MW，總無功功率為618.731Mvar，并聯電容器注入的總無功功率為25.000Mvar。圖4-6是高斯-塞德爾法迭代時間，高斯-塞德爾法迭代了0.088s，潮流計算總時間為0.103s。26節點電力系統牛頓法和高斯法潮流計算的輸出結果對比如表4-1所示：表4-126節點電力系統牛頓法和高斯法潮流計算的輸出結果對比潮流計算方法最大功率偏移P.U.迭代次數迭代時間負荷發電機并聯電容器注入總無功功率Mvar總有功功率MW總無功功率Mvar總有功功率MW總無功功率Mvar牛頓法60.059s1263.000637.0001278.534618.79125.000高斯法370.088s1263.000637.0001278.536618.73125.000通過表4-126節點電力系統牛頓法和高斯法潮流計算的輸出結果可知，通過比較表中的數據，發現高斯法需要37次迭代計算得到結果，而牛頓法只需要6次；牛頓法所用時間比高斯法所用時間短0.29s；兩種方法潮流計算結果基本一致；最大功率偏移由潮流計算方法決定。所以牛頓法可以比高斯法更快速、準確地得出潮流計算結果。最優潮流程序設計最優潮流程序流程圖如圖4-7所示：圖4-7最優潮流計算程序流程圖根據圖4-7最優潮流計算程序流程圖所示，為了在Matlab環境下用簡化梯度法進行最優潮流計算，必須在潮流計算程序的基礎上加入以下函數：Bloss：該函數利用B系數法求出B系數并提供數據給Dispatch函數。Dispatch：該函數輸出、最優分配發電量和總成本。該函數中需要輸入的變量為：Pdt：總負荷功率，數據由潮流計算程序自動給出。Cost：用來確定成本函數系數。Mwlimits：發電機有功功率限制矩陣。：為網損系數矩陣。Gencost：該函數是獲得總火力發電廠發電成本[24]。26節點系統最優潮流計算26節點電力系統成本函數如下式(4-1)所示：(4-1)由附錄Ⅰ表2發電機數據整理得26節點的發電機有功出力限制如下式(4-2)所示：(4-2)利用上式(4-1)可得出成本數據Cost矩陣，再根據上式(4-2)可得出Mwlimits矩陣。Cost矩陣和Mwlimits矩陣如附錄Ⅱ所示。以式(3-49)所示的函數為發電機出力成本最低的目標函數。通過4.1節設計的最優潮流程序，取基準功率basemva=100；功率允許誤差accuracy=0.01；加速因子accel=1.6；最大迭代次數maxiter=80，Matlab程序如附錄Ⅲ所示。經過Matlab仿真，未考慮發電量最優分配的潮流計算結果如下圖4-8所示，考慮發電量最優分配的潮流計算結果圖4-9所示：圖4-8未考慮發電量最優分配的潮流計算結果圖4-8是未考慮發電量最優分配的潮流計算結果，如圖所示，未考慮發電機量最優分配的計算結果為：系統總損耗為15.53MW，發電總成本為1