等腰三角形的性質定理及其證明

甘肅省隴南市武都區兩水中學唐小平等腰三角形你知道什么是等腰三角形嗎?腰腰底邊底角底角頂角

學習目標

會證明等腰三角形的性質定理。掌握等腰三角形的性質定理及推論1、推論2。會用等腰三角形的性質定理及推論進行證明或計算。體會幾何證明的必要性，逐步滲透證明的基本方法：分析法和綜合法。培養學生的聯想能力，使學生體會到數學就在身邊，增強學生應用數學的意識。大膽猜測

等腰三角形除了兩腰相等以外，你還能發現什么?動手試一試

請同學們拿出準備好的等腰三角形紙片，你能用想到的方法驗證一下嗎？演示折疊操作ABC已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，求證：∠B=∠C。

求證：等腰三角形的兩個底角相等。

一起探究中線平分線高線定理ABC證明：作AD⊥BC，垂足為D。D

在Rt△ADB和Rt△ADC中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴

∠B＝

∠C。

返回ABC證明：作△ABC的中線AD，D∴BD=CD。在△ABD和△ACD中，AB＝AC，

AD＝AD，

BD=CD，∴

△ABD≌

△ACD，，∴

∠B＝∠C。。返回證明:ABC∴∠1＝∠2。D12在△ABD和△ACD中，作頂角的平分線AD.AB＝AC，

∠1＝∠2，

AD＝AD，

∴

△ABD≌

△ACD，

∴

∠B＝

∠C。

返回

等腰三角形的兩個底角相等

在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝

∠C。

（簡寫為“等邊對等角”）等腰三角形的性質定理：ABC幾何語言：ABCD作頂角的平分線AD，

△ABD≌△ACD，證到了

除了得到∠B=∠C外，

還可以得到：

BD=CD，

即AD是BC邊上的中線；

即AD是BC邊上的高。

∠ADB=∠ADC=90°，

想一想歸納：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊。也就是說，推論1：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱“三線合一”）。“三線合一”的操作

填空（根據等腰三角形性質定理及推論1） (1)∵

AB=AC,∴∠____=∠____;(2)∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠_____=∠______, _____=_____;(3)∵AB=AC,AD是中線，∴_____⊥_____, ∠_____=∠_______;(4)∵AB=AC,AD是角平分線，∴_____⊥_____, _____=_____.BADCADBDCDADBC

BADCAD

ADBC

BDCDBC推論2：

等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

議一議:當等腰三角形變為等邊三角形時，又有何結論？ABC60°60°60°已知：如圖,在△ABC中,點D,E在邊BC上,AB=AC,BD=CE。求證：AD=AE。ABCDE證明：∵AB=AC，

∴∠B＝∠C。在△ABD和△ACE中，

AB＝AC，

AD＝AD，

∠B＝∠C，∴

△ABD≌

△ACE，

∴AD=AE。例題解析：你還有其他方法嗎？小試鋒芒：1、填空：在等腰三角形中，（1）已知頂角為40°，則其余兩個角分別為（）。（2）已知一個底角為40°，則其余兩個角分別為（）。（3）已知一個角為40°，則其余兩個角分別為（）。（4）已知一個角為100°，則其余兩個角分別為（）。70°，70°40°，100°70°，70°或40°，100°40°，40°2、已知：△ABC是等邊三角形，D是BC的中點，求∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度數。ADBC

小試鋒芒：再顯身手：ADBCP3、如圖，在正方形ABCD中，△PAD是等邊三角形，則∠PBC的度數是（）。A15°B20°C25°D30°60°30°75°其實并不難（中考題賞析）：ABCDEF4、如圖所示，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F.請你從下列三個條件中選出兩個作為已知條件，另一個作為結論，推出一個正確命題（只需寫出一種情況）。已知：DE⊥AB，垂足為E

，DF⊥AB，垂足為F，

==；求證：=證明：（3）DE=DF。（1）AB=AC；（2）BD=CD；（1.2）（2.3）（1.3）小結其實并不難（中考題賞析）ABCDEF已知：DE⊥AB，垂足為E

，DF⊥AB，垂足為F，

==；求證：=證明：ABACBDCDDEDF返回

∵AB=AC，

在△BED和△CFD中，BD＝CD，

∴

△BED≌

△CFD。∴DE=DF。∴∠B＝∠C。∵DE⊥AB，DF⊥AB，∴∠BED＝∠CFD=90°。∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，其實并不難（中考題賞析）ABCDEF=求證：=證明：返回DEDF已知：DE⊥AB，垂足為E

，DF⊥AB，垂足為F，

=；ABACBDCD

∵AB=AC，

∴

△BDE≌

△CDF，∴BD=CD。∴∠B＝∠C。∵DE⊥AB，DF⊥AB，∴∠BED＝∠CFD=90°。在△BED和△CFD中，∠B＝∠C，∠BED＝∠CFD，DE＝DF，

其實并不難（中考題賞析）ABCDEF已知：DE⊥AB，垂足為E

，DF⊥AB，垂足為F，

==；求證：=證明：返回ABACBDCDDEDF預習并完成此題師生共同小結：

1、等腰三角形的性質定理及兩個推論。

2、用文字語言敘述的命題的證明步驟:（1）根據命題內容畫圖；（2）寫出已知、求證；（3）推理證明結論。

3、等腰三角形中常作的輔助線:

頂角的平分線、底邊上的高或底邊上的中線。可證明：兩角相等，兩線段相等，兩直線互相垂直。