專題15等腰三角形與直角三角形（含勾股定理）（24題）

一、單選題

1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在ABC中，D是AC的中點，CEAB，BD與CE交于點O，且

BECD．下列說法錯誤的是（）

A．BD的垂直平分線一定與AB相交于點E

B．BDC3ABD

C．當E為AB中點時，ABC是等邊三角形

S△BOC3

D．當E為AB中點時，

S△AEC4

2．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽

的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現將

這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（）

A．24B．36C．40D．44

3．（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深

幾何？”這是我國數學史上的“葭生池中”問題．即AC5，DC1，BDBA，則BC（）

A．8B．10C．12D．13

4．（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在ABC中，ACB90，點P從點A出發沿A→C→B以1cm/s

2

的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，ABP的面積ycm隨時間x（s）變化的函數圖象，則該三

角形的斜邊AB的長為（）

A．5B．7C．32D．23

1

5．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過點B作BCAB，使BCAB，

2

連接AC；②以點C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點D；③以點A為圓心，以AD長為半徑畫弧，

交AB于點E．若AEmAB，則m的值為（）

5152

A．B．C．51D．52

22

1

6．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，Rt△ABC中，ABC90，分別以頂點A，C為圓心，大于AC的

2

長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M和點N，作直線MN分別與BC，AC交于點E和點F；以點A為圓

1

心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點H和點G，再分別以點H，點G為圓心，大于HG的長為

2

半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，若射線AP恰好經過點E，則下列四個結論：

1

①C30；②AP垂直平分線段BF；③CE2BE；④SS．

△BEF6△ABC

其中，正確結論的個數有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

7．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，

其中射線OP為AOB的平分線的有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

二、填空題

8．（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，ADAB，ADa，AB10．以點A為

圓心，以AB長為半徑作圖，與BC相交于點E，連接AE．以點E為圓心，適當長為半徑作弧，分別與EA，

1

EC相交于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧在AEC的內部相

2

交于點P，作射線EP，與AD相交于點F，則FD的長為（用含a的代數式表示）．

9．（2024·吉林·中考真題）圖①中有一首古算詩，根據詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，

其示意圖如圖②，其中ABAB，ABBC于點C，BC0.5尺，BC2尺．設AC的長度為x尺，可

列方程為．

10．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一

個正方形．執行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到

的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復上述步驟若干次后得到的

圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所．有．正方

形的面積和為．

11．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為正方形，VADE為等邊三角形，EFAB于點F，

若AD4，則EF．

12．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB4，AD2．以點A為圓心，AD長為半

徑作弧交AB于點E，再以AB為直徑作半圓，與DE交于點F，則圖中陰影部分的面積為．

13．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在ABC和VADE中，ABAC，BACDAE40，將VADE

繞點A順時針旋轉一定角度，當ADBC時，BAE的度數是．

14．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，AC6，BC4，D是邊AC的中

點，E是邊BC上一點，連接BD、DE．將CDE沿DE翻折，點C落在BD上的點F處，則CE．

15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點A的坐標為0,4，點B,C

均在x軸上．將ABC繞頂點A逆時針旋轉30得到△ABC，則點C的坐標為．

16．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是AB邊的中點，將正方形紙片沿EC折

疊，點B落在點P處，延長CP交AD于點Q，連結AP并延長交CD于點F．給出以下結論：①△AEP為

3

等腰三角形；②F為CD的中點；③AP:PF2:3；④cosDCQ．其中正確結論是．（填序號）

4

三、解答題

17．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點，AC、DE相交于點G，ABDF，

ACDE，BCEF．

(1)求證：GEC是等腰三角形；

(2)連接AD，則AD與l的位置關系是________．

18．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，AB25，AC2，分別以點A，

1

B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N，作直線MN分別交AB，BC于點D，E，

2

連接CD，AE．

(1)求CD的長；

(2)求ACE的周長．

19．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，點C在線段AD上，ABAD，BD，BCDE．

(1)求證：△ABC≌△ADE；

(2)若BAC60，求ACE的度數．

20．（2024·青海·中考真題）（1）解一元二次方程：x24x30；

（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長．

21．（2024·甘肅蘭州·中考真題）觀察發現：勞動人民在生產生活中創造了很多取材簡單又便于操作的方法，

正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如

下：

①本條的兩端分別記為點M，N，先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置

記為點B，連接AB；

②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉一定的角度，端點M的落點記為點C（點A，B，

C不在同一條直線上）；

③連接CB并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在CB延長線上的

落點記為點D；

④用另一根足夠長的木條畫線，連接AD，AC，則畫出的DAC是直角．

操作體驗：（1）根據“觀察發現”中的信息重現劉師傅的畫法，如圖2，BABC，請畫出以點A為頂點的

直角，記作DAC；

推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數學原理，請你補全括號里的證明依據：

證明：ABBCBD，

ABC與△ABD是等腰三角形．

BCABAC,BDABAD．（依據1______）

BCABDABACBADDAC．

DACBCABDA180，（依據2______）

2DAC180，

DAC90．

依據1：______；依據2：______；

拓展探究：（3）小亮進一步研究發現，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學習的尺規作圖的方法

可以減少誤差．如圖3，點O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規在圖3中作出一個以O為頂點的直角，

記作POQ，使得直角邊OP（或OQ）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）

22．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點D、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點，且BDCE，

BE與AD交于點F．求證：