動(dòng)點(diǎn)在二次函數(shù)圖象中的分類討論

【專題說明】

關(guān)于二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的解答方法

⑴求二次函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

(2)求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)ax2+bx+c=0中a,b,c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a,b,c的符號(hào)判斷圖象的位置，

要數(shù)形結(jié)合；

(4)二次函數(shù)的圖象關(guān)于

對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性

求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

(5)與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三■項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a/))本身就是所含字母x的二次函數(shù)；

【精典例題】

13

1、如圖1,已知拋物線>=.2一那一破”〉。)與》軸交于A,B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在2點(diǎn)的左邊)，與〉軸交于點(diǎn)C.

(1)若AABC為直角三角形，求n的值；

(2)在(1)的條件下，.點(diǎn)尸在拋物線上，點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，若以為邊，以點(diǎn)3,C,尸，。為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求尸點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖2,過點(diǎn)4作直線BC的平行線交拋物線于另一點(diǎn)。，交y軸于點(diǎn)E,若AE：EO=1：4.求〃的

Bx

圖1圖2

2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=(x—a)(x—3)(0<a<3)的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的

左側(cè))，與〉軸交于點(diǎn)。，過其頂點(diǎn)C作直線軸，垂足為點(diǎn)尸，連結(jié)AD,BC.

(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

⑵若AAOD與ABPC相似，求a的值；

(3)點(diǎn)D,O,C,2能否在同一個(gè)圓上？若能，求出a的值；若不能，請(qǐng)說明理由.

3、在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)尸以2+|x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(O,2)和點(diǎn)。(4,—2),

點(diǎn)E是直線y=

—最+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)如圖1,若點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連結(jié)MC,OE,ME,求四邊形COEM

面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)如圖2,經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的圓交y軸于點(diǎn)F求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

4、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線丁=無一1與拋物線;y=—N+bx+c交于A,B兩點(diǎn)，其中A(〃z,0),

3(4,〃)，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于另一點(diǎn)D

(1)求的〃的值及該拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸為線段上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A,。重合).分別以AP,。尸為斜邊，在直線的同

側(cè)作等腰直角三角形APM和等腰直角三角形。PM連結(jié)MN,試確定AMPN面積最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖3,連結(jié)BO,CD,在線段CO上是否存在點(diǎn)Q,使得以A,D,。為頂點(diǎn)的三角形與△AB。相

似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

一一22

5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線三―4與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)3左側(cè))，與y軸交

(1)求點(diǎn)A,B,。的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，在線段A5上以每秒2個(gè)單位長度的速度向3點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā),

在線段2c上以每秒1個(gè)單位長度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為fs,求運(yùn)動(dòng)時(shí)間/為多少秒時(shí)，APB。的面積S最大，并求出其最大面積；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)△尸8。的面積最大時(shí)，在下方的拋物線上是否存在點(diǎn)使的面積是

△PB。的面積的1.6倍？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6、拋物線L：y=—N+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(0,1),與它的對(duì)稱軸直線x=1交于點(diǎn)8.

(1)直接寫出拋物線L的表達(dá)式；

(2)如圖1,過定點(diǎn)的直線%+4(左＜0)與拋物線L交于點(diǎn)M,N.若4BMN的面積等于1,求上的值；

(3)如圖2,將拋物線L向上平移皿加＞0)個(gè)單位長度得到拋物線Li，拋物線心與y軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C

作y軸的垂線交拋物線Li于另一點(diǎn)D,F為拋物線心的對(duì)稱軸與無軸的交點(diǎn)，尸為線段0C上一點(diǎn).若APCD

與APOP相似，并且符合條件的點(diǎn)尸恰有2個(gè)，求相的值及相應(yīng)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

1.解：(1)若AABC為直角三角形，則由RSAOCSRQCOB可得

13

由拋物線＞=那2一那一＞o),可得OC=〃，OAOB=2n,

2=2九，解得〃1=2,九2=0(舍去).n—2；

(2)由⑴可知拋物線的對(duì)稱軸為3拋物1線表達(dá)式為產(chǎn)吳一永3一2,

令y=0,得％i=—1,%2—4,.*.A(—1,0),3(4,0),

設(shè)點(diǎn)2(根，^m2—1m—2^.

①如答圖①，當(dāng)直線尸。〃3C時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。的左側(cè)，

△30。平移到AQV尸的位置時(shí)，四邊形尸Q3C為平行四邊形,

35

此時(shí)NQ=03,即1一根=4,m=一亍

1339

產(chǎn)2一產(chǎn)一2=/，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。的右側(cè)時(shí)，

311

同理可得加一］=4,解得加=了.

②當(dāng)直線PQ與直線3c相交時(shí)，如答圖②，

此時(shí)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)B到對(duì)稱軸的距離，

即根=4一］=|，品2—-加一2=一看此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為住一￡）?

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一|,引，作，引，（|,—■

答圖③

(3)如答圖③，過點(diǎn)。作。F，x軸，垂足為E

則A0:OF=AE:ED=l：4,

設(shè)4(a,0),B(,b,0),則AO=—a,OF=~4a,

'：AD//BC,

：.ZDAO=ZOBC,

,：ZAFD=/BOC=90°,△BOCs^AFD,

.OCBO_n______b

??而=病即而=_4LM

rjn

由題意得ab=—2n,???工=-3,

b2

DF=~5a^=一5〃.(一今=52,

???點(diǎn)A,0在拋物線上，

ri3八

呼—9呼一九=0,

?11“23，/、52

I2X16?2—2X(-4〃)一孔=呼2,

P=427

解得J27?,?幾的值為年.

[〃=至，

2.解：3),當(dāng)y=0時(shí)，xi=a,%2=3,

???A(m0),3(3,0).

當(dāng)x=0時(shí)，y=3〃，.*.￡>(0,3a)；

(2)如答圖①，連結(jié)AZ),BC,

,_口3—a3—a,3+〃

由OA.=cijOD=3a,BP=，OP=+a=~,

答圖①

將無=皆代入二次函數(shù)，得＞=(3-〃)2

4

(3-。)2

4

①當(dāng)△OQ4s△CPB時(shí)，

右0AOD尸a______3〃

有麗二定'即==(3—4)2,

24

解得〃=0（舍去）或一3（舍去）.

②當(dāng)△OOAS^BPC時(shí)，

-OAOD____a_______3a7

PC=~BPf即(3—〃)2==，解得a=y

-2

7

綜上，當(dāng)△A。。與43尸。相似時(shí)，

答圖②

（3）能.如答圖②，連結(jié)3。，設(shè)BO的中點(diǎn)為M.

,：D,O,8三點(diǎn)共圓，且圓心為“，I’,

假設(shè)點(diǎn)C也在此圓上，則應(yīng)有MC=M3,

解得〃1=小，〃2=一小（舍去），〃3=—3（舍去），〃4=3（舍去）,

???當(dāng)4的值為小時(shí)，D,O,C,B四點(diǎn)共圓.

3.解：（I；?二次函數(shù)產(chǎn)加十沁’的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0,2）和點(diǎn)。（4,—2）,

c=2,f2

a=~^

5解得'3

16〃+gx4+c=-2,

。=2,

25

二次函數(shù)表達(dá)式為y=-^x2+^x+2,

與y=—gx+2聯(lián)立，解得％i=0（舍去），尤2=3,此時(shí)y=l,故風(fēng)3,1）；

=

(2)3四邊形coEM=SzkCO￡：+SzkCME，S^COE2,CO-\^E\9VC(0,2),E(3,1),:?SACOE=3,S^CME=/CE,h(h

為點(diǎn)M到CE的距離），

???M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，，當(dāng)平行于CE的直線與拋物線相切于點(diǎn)M時(shí)，"最大，從而面積最大,

設(shè)的表達(dá)式為y=~^x+b,

25

與尸一科+gx+2聯(lián)立,

1?5

得一§%+。=一y+下+2

7

/=36+8(6—3。)=0,解得

此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為（|，3）,

如答圖①，過/作/N〃y軸，交CE于點(diǎn)N,

133

在y=-1%+2中，令x=］，得y=］，

33、

292)9

19

MN

S^CME=2''\^C~XE\=~^,

(3)在y=-■|/+|'x+2中，令y=0,得％1=組］但，(2=§

-J73-55+^73

-OA=^—

1。“——

答圖②

如答圖②，連結(jié)B尸，AC,

'：ZACO=ZABF,ZAOC=/FOB,

：.△AOCs/OB,

5一5

.OAOC42,3

,-OF=OB,即RnOF=不標(biāo)'斛n侍zn°尸=5'

4

4.解：(1)把點(diǎn)A(m,0),點(diǎn)3(4,幾)代入％—>=1,得根=1,〃=3,

???A(1,0),3(4,3),

代入y=—d+bx+c,得

[~l+b+c=0,b=6,

1—16+40+c=3,解得

c=~5,

.?.y=-x2+6x-5；

(2)???AAPM和?DPN為等腰直角三角形，

：.ZAPM=/DPN=45。,

：.NMPN=90。,

???△”PN為直角三角形.

令一元2+6%—5=0,解得％1=1,%2—5,

???。(5,0),AO=4.

、歷\[2

設(shè)AP=根，則。尸=4一九，PM=Mm,PN=^(4—m),

/.S^MPN=*M/N=TX半加?半(4—m)

=—^m2+m=—^(m—2)2+1,

當(dāng)初=2,即AP=2時(shí)，SAMPN最大，此時(shí)0P=3,；.尸(3,0)；

(3)存在，點(diǎn)。坐標(biāo)為(2,—3)或6，—

由A(l,0),3(4,3),C(0,-5),0(5,0),得AB=3p,AD=4,直線CD的函數(shù)表達(dá)式為了=尤一5,

ZBAD=ZCDO^45°,分兩種情況討論：

ADDA

①當(dāng)△A￡)Qs/\￡)A3時(shí)，—,

如答圖，過。點(diǎn)作X軸的垂線，垂足為E,則。￡=￡。=坐。。=3,

VD(5,0),：.Q(2,-3)；

②當(dāng)時(shí)，盥=翳，

:?華=東'解得早’

同上得Q坐標(biāo)為-1).

綜上，存在點(diǎn)。坐標(biāo)為(2,—3)或q,—D，

5.解：(1)令y=0,得■|x—4=0,解得xi=-2,尤2=3；

令x=0,得丁=一4,

故A(—2,0),3(3,0),C(0,-4)；

答圖①

(2)如答圖①，過點(diǎn)。作QDLA2于點(diǎn)D,則AP=2f,BQ=t,B0=3,AB=5,O.C=4,BC=^/32+42

=5,PB=5~2t.

'：DQ//OC,

:.△BDQS^BOC,

.DQBQ即型=_L

''OC=~BC14—f

4

解得DQ=-^t.

11444rN5

2

*'?SApB2=5PB-￡)2=5X-rx(5—2r)=-^t+2t=—^—7)十五，

當(dāng)/=,時(shí)，S*BQ取最大值為t；

(3)存在，M的坐標(biāo)為(1,—4)或(2,-1).

設(shè)，機(jī)，|m2—1m—4^,直線3c的表達(dá)式為丁=履一4,

4

則3^—4=0,解得k=y

4

?,?直線BC的表達(dá)式為產(chǎn)下一4,

如答圖②，過M作交3。于點(diǎn)N,則巾，

4(22、2

/.腦V=p-4—(田彥一口一4l=—2m2+2m,

SAMBC=SACMN+SABMN=m^N,OB=一m之+3加,

VABMC的面積是△尸5Q的面積的1.6倍，

/.—m2+3m=1.6x^,整理得加2一3加+2=0,解得如=1,根2=2.

AM(1,—4)或(2,

6.解：⑴由題意知＜2x(-1)解得

U1,I

，拋物線L的表達(dá)式為y=-x2+2x+1；

(2)?.b=fcc—左+4=6％—1)+4,

當(dāng)x=l時(shí)，y=4,

?,?該直線過定點(diǎn)G(l,4),如答圖，

?；y=—/+2x+1=—(x-1)2+2,

???點(diǎn)3(1,2),:?BG=2,

,?*SABMN=19即S^BNG—S△BMG='^G，GN—1)一~^BG\XM—1)=1,

??XN