2025年中考數學總復習《圖形的性質》同步測試題-附答案

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一、單選題

1.如圖，AB為。O的直徑，點C在。O上,若NOCA=50。，AB=4,貝！JBC的長為()

R10打

B.豆兀C.=兀

2.下列各組線段中,能構成直角三角形的是()

A.2,3,4B.3,4,6C.7,24,25D.4,6,7

3.如圖，。。是△ABC的外接圓，連接OA,OB,ZOBA=50°,則NC的度數為（)

B.40°C.50°D.80°

4.如圖，點A,B,C在。O上，若NACB=40。，則NAOB的度數為)

A.40°B.45°C.50°D.80°

5.已知。。的半徑為5cm,點P在。。外，則OP的長（)

A.大于5cmB.不大于5cmC.小于5cmD.不小于5cm

6.過。O內一點M的最長弦為10cm,最短弦長為8cm,則OM的長為)

A.9cmB.6cmC.3cmD.

7.如圖，若AB是。O的直徑，CD是。O的弦，NABD=58。，則NC的度數為（）

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D

A.116°B.58°C.42°D.32°

8.如圖，為估計池塘兩岸邊A,8兩點間的距離，在池塘的一側選取點G分別取AC,的中

點，E,測得。石=15m,則A,3兩點間的距離是（）

C.30mD.60m

9.秋千拉繩長3米，靜止時踩板離地面0.5米，一小朋友蕩該秋千時，秋千最高處踩板離地面

2米（左右對稱），則該秋千所蕩過的圓弧長為（）

A.兀米B.2兀米C.git米D.號11米

10.把邊長為3的正方形ABCD繞點A順時針旋轉45。得到正方形AB，CDT邊BC與DC，交于

點O,則四邊形ABOD，的周長是（）

A.6V2B.6D.3+3V2

二、多選題

11.如圖，AB是圓O的直徑，點G是圓上任意一點，點C是的的中點，CDJ.AB,垂足為點E,

連接GA,GB,GC,GD,BC,GB與CD交于點F,則下列表述正確的是（）

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G

A.乙ABC=^AGDB.ABCE-LABG

C.GF=DFD.BC||GD

12.如圖，ABC。是正方形，E是CD的中點，尸是BC邊上的一動點，下列條件中，能得到AABP與

A?器=笈B.P是BC的中點C.乙BAP=LEPCD.AB：BP=3：2

三'填空題

13.如圖，點A,B,C在。。上，NACB的度數是20。，AB的長為兀，則。。的半徑是.

14.如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地AB=2.5米，當人體進人感應器

的感應范圍內時，感應門就會自動打開.一個身高L6米的學生CD正對門，緩慢走到離門L2

米的地方時（BC=1.2米），感應門自動打開，貝UAD=米

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15.在平面直角坐標系中，已知點4(1,一2),點B(2,1)，點P在一次函數y=^x+b的

圖象上，若滿足Z.PAB=45°的點P只有1個，則b的取值范圍是.

四'計算題

16.如圖，在△ABC中，AB=AC,ADLBC于點D.

D

F

(1)若NC=42。，求NBAD的度數；

(2)若點E在邊AB上，EF〃AC交AD的延長線于點F.

求證：AE=FE.

17.如圖，AB、CD是。O的直徑，弦CE〃AB,AC的度數為70。.求NEOC的度數.

五、解答題

18.如圖，△ABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4,點O在CB的延長線上，且OB=4,以O為圓

心，2為半徑的半圓交CB的延長線于點D,E.點T在半圓上，連接TB并延長，交AC于點P.

(1)若PT與半圓相切，求/BPC的度數；

(2)當ATOB的面積最大時，求PC的長；

(3)直接寫出點T到DE的距離為多少時，恰有AP=3.

六'作圖題

19.如圖，按要求作圖:

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p

oB

①過點P作直線CD平行于AB；

②過點P作PEJ_AB,垂足為O.

七、綜合題

20.已知：AB為O。直徑，點C為O。上一點，弦CDLAB,垂足為H,點、E為AD

上一點，連接CE、DE、DB,乙CDE=2乙CDB.

(1)如圖1,求證：CE=CD；

(2)如圖2,過點4作4MleE,垂足為M,連接BE交CD于G,連接MH,求

證：MH||EB；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接4E,若ED=|,CM=學，求AABE的面積.

21.如圖，正方形ABCD中，點E為AB上一動點(不與A、B重合).將△EBC沿CE翻折至

△EFC,延長EF交邊AD于點G

(1)連結AF,若AF〃CE.證明：點E為AB的中點；

(2)證明：GF=GD；

(3)若AD=5,設EB=x,GD=y,求y與x的函數關系式.

八'實踐探究題

22.【閱讀發現】(1)如圖1,在正方形ABCD的外側，作等邊三角形ABE和等邊三角形ADF,連

接ED,FC,交于點M,貝IJ圖中2MCEm/DFC,可知ED=FC,求得"MC=.

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(2)若乙4DE=20°,求的度教.

參考答案

1.【答案】B

【解析】【解答】VZOCA=50°,OA=OC,

ZA=50°,

AZBOC=100°,

TAB=4,

ABO=2,

：.BC的長為:_1_0_0__7_1__X_2=_1_0_JT

1809

故答案為：B.

【分析】先根據圓周角定理得到NBOC=100。，再用弧公式進行計算即可得到所求結論.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：A、22+32=13,42=16,13n6,故不能構成直角二角形，不符合題意;

B、32+42=25,62=36,25力36,故不能構成直角三角形，不符合題意；

C、72+242=625=252,故能構成直角三角形，符合題意；

D、42+62=52,72=49,52為9,故不能構成直角三角形，不符合題意.

故答案為：C.

【分析】若一個三角形的三邊滿足a2+b?=c2,則該三角形為直角三角形，據此判斷.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：：OA=OB,ZOBA=50°,

.\ZOAB=ZOBA=50°,

ZAOB=180°-50°x2=80°,

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ZC=IZAOB=40°o

故答案為：Bo

【分析】根據等邊對等角及三角形的內角和得出NAOB=80。，進而根據同弧所對的圓周角等于圓

心角的一半得出NC=|ZAOB=40°?

4.【答案】D

【解析】【解答】解：?.?NACB=40。，

.".ZAOB=2ZACB=80°.

故答案為：D.

【分析】利用一條弧所對的圓周角等于圓心角的一半，可得到NAOB=2NACB,代入計算求出

結果.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：設點P與圓心O的距離為d,

?.?點P在O0夕卜，

/.d>r,

Vr=5cm,

.,.d>r,

即：OP>5cm.

故答案為：A.

【分析】若圓的半徑為r,點到圓心的距離為d,當d<r時，點在圓內；當d=i?時，點在圓上；當

d>r時，點在圓外，據此即可得出答案.

6.【答案】C

【解析】【解答】最長弦為直徑，最短弦為過M點與直徑相互垂直的弦，根據垂徑定理和勾股定

理可以計算出0M長為3cm.

【分析】本題考查過圓內點的弦長問題，要對此進行正確的判斷，熟練運用垂徑定理和勾股定理

解決問題.

7.【答案】D

【解析】【分析】；AB是。0的直徑，.?.NADB=90。.

；ZABD=58°,,ZA=32°.ZC=32°.

故選D.

8.【答案】C

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【解析】【解答】???D,E是AC,BC的中點,

DE是ACAB的中位線，

1

??.DE=^AB=15,

???AB=30.

故答案為：C.

【分析】根據三角形中位線定理得出OE=\AB=15,再求出答案即可。

9.【答案】B

【解析】【分析】先根據題意畫出圖，然后再利用弧長公式計算。

【解答】如圖所示：

因為cosN2噎另

所以N2=60。，ZBAC=120°

該秋千所蕩過的圓弧長=二鬻=米

loU

故選B.

【點評】輔助線問題是初中數學的難點，能否根據題意準確作出適當的輔助線很能反映一個學生

的對圖形的理解能力，因而是中考的熱點，尤其在壓軸題中比較常見，需特別注意。

10.【答案】A

【解析】【解答】解：連接BC,

,旋轉角NBAB，=45。，ZBAD'=45°,

；.B在對角線AC上，

：BC=AB，=3,

在R3ABC中，AC=\A'B'2+B'C'2=3a，,B，C=3V2-3,在等腰RtAOBC中，0B=BC=3

V2-3,

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在直角三角形OBC中，OC=V2(3V2-3)=6-3V2,，OD=3-OC=3V2-3,

二四邊形ABOD的周長是：2AD+OB+OD=6+3V2-3+3V2-3=6/.

故選：A.

【分析】由邊長為3的正方形ABCD繞點A順時針旋轉45。得到正方形AB,CD,利用勾股定理

的知識求出BC的長，再根據等腰直角三角形的性質，勾股定理可求BO,OD,從而可求四邊形

ABOD的周長.本題考查了旋轉的性質、正方形的性質以及等腰直角三角形的性質.此題難度適

中，注意連接B。構造等腰RtAOBC是解題的關鍵，注意旋轉中的對應關系.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：：AB是圓O的直徑，CDLAB,

：.AC=AD,

：.^ABC=^AGD,

故A符合題意；

：AB是圓O的直徑，GDIAB,

：.^AGB=乙BEC=90°,

,:乙BCE=LBGD于乙OBG,即ZBCE。乙4BG,

也沒有其他條件可以證得△BCE和A/BG的另外一組內角對應相等，

...不能證得△BCEfABG,

故B不符合題意；

:點C是片G的中點，

.?.比=阮，

：.AGDC=乙BGC,

：AB是圓O的直徑，CD1AB,

...阮=BD,

"BGC=乙DGB,

:.乙GDC=乙DGB,

：.GF=DF,

故C符合題意;

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?.?點C是廓的中點，

...比=阮，

：AB是圓O的直徑，CDLAB,

:.時=BD,

二比=肛

，乙CBG=乙BGD,

：.BC||GD,

故D符合題意.

故答案為：ACD.

【分析】利用垂徑定理的性質、平行線的判定方法、相似三角形的判定方法和性質逐項判斷即

可。

12.【答案】A,C,D

【解析】【解答】A、?.?正方形ABCD,.?.NB=NC=90。，?.?器=黑，.?.△ABPsAECP,；.A

符合題意；

B、：正方形ABCD,P是BC的中點，E是CD的中點，；.PB=PC=CE,.?.△PCE是等腰直角三

角形，AABP不是等腰直角三角形，與AECP不相似，，B不符合題意；

C、?.?正方形ABCD,ZB=ZC=90°,'：^BAP=Z.EPC,A△ABP^APCE,，C符合題意；

D、?.?正方形ABCD,；.AB=BC=CD=AD,ZB=ZC=90°,'：AB：BP=3：2,...設AB=3a,則

BP=2a,PC=a,CE=1.5a,.?.磊=,，A△ABP^AECP,；.D符合題意；

故答案為：A、C、D.

【分析】利用相似三角形的判定方法逐項判斷即可.

13.【答案】1

【解析】【解答】解：如圖，連接OA、0B.

,/ZACB=20°,

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???ZAOB=40°,

VAS的長為兀，

?40;rXr_

,,T80-F

?,?_r—29.

故答案為I.

【分析】連接OA、OB.根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出NAOB=40。，根據弧長公

式列出方程求解即可。

14.【答案】1.5

【解析】【解答】解：如圖所示，過點D作DELAB于點E,

想應器

H

：AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米，貝!JAE=AB-BE=2.5-1.6=0.9(米).

在RtAADE中，由勾股定理得AD2=AE2+DE2=0.92+1.22=1.52,

；.AD=1.5(米).

【分析】過點D作DELAB于點E,構造RtAADE,利用勾股定理求得AD的長即可。

15.【答案】b>—|

【解析】【解答】解：???力(1,-2),B(2,1)

AB=J(2—1尸+(1+2尸=V10

4。=J/+(_2)2=V5

BO-Vl2+22=>/5

222

AAB=AO+B0,AO=BO

???hAOB是等腰直角三角形

Z.OAB=^OBA=45°

,:OB"AC

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???乙CAB=45°

.?.滿足"AB=45°的點P在射線AC和射線AO上

-1

把4(1,-2)代入y=^x+b

解得：b=—|

???滿足乙PAB=45°的點P只有1個

故答案為：b>

【分析】由點A,B的坐標，利用勾股定理求出AB,AO,BO的長，利用勾股定理的逆定理可

證得△AOB是等腰直角三角形，從而可證得NOAB=NOBA=45。，利用平行線的性質可求出

/CAB=45。，由此可得滿足^PAB=45°的點P在射線AC和射線A0上，將點A的坐標代

入函數解析式，可求出b的值；根據滿足APAB=45。的點P只有1個,可得到b的取值范圍.

16.【答案】(1)解：VAB=AC,ADLBC于點D

AZBAD=ZCAD,ZADC=90°,又NC=42。.

二ZBAD=ZCAD=90°-42°=48°

(2)證明：VAB=AC,ADLBC于點D,

AZBAD=ZCAD

VEF//AC,

ZF=ZCAD

AZBAD=ZF,.\AE=FE

【解析】【分析】(1)根據等腰三角形的三線合一得到NBAD=NCAD,再根據直角三角的兩銳

角互余即可得出NBAD=NCAD=90。-42°=48°；

(2)根據等腰三角形的三線合一得到NBAD=NCAD,根據二直線平行內錯角相等得到NF=

ZCAD,由等量代換得到/BAD=/F,根據等角對等邊得出結論。

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17.【答案】解：連接0E,

.\ZAOC=ZBOD=70°,

\?CE〃AB,

AZBOD=ZC=70°,

VOC=OE,

???NC=NE=70。，

?,.ZEOC=180°-70°-70°=40°

【解析】【分析】首先連接OE,由AC的度數為70。，可求得NAOC的度數，又由弦CE〃AB,

即可求得NC的度數，繼而求得答案.

18.【答案】解：(1)如圖1,

〈PT與半圓相切，

AOT±TB,

.\ZOTB=90°,

VOT=2,OB=4,

.\ZOBT=30°,

???NCBP=30。，

???NBPO60。；

(2)如圖2,

當OT,OB時，點T到OB的距離最大，最大值為2,此時AOBT的面積最大，

VZOBT=ZCBP,

ARtAOBT^RtACBP,

.OT_OBnn2_4

^PC=BC9即玩二?

,.PC=*

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(3)如圖3,作THLBE于H,連結OT,

VAP=3,

???CP=CA-AP=4-3=1,

VZOBT=ZCBP,

.,.RtAHBT^RtACBP,

.TH_BH即TH_BH

.?國=豌'即丁=H

???BH=3TH,

設TH=x,貝！］BH=3x,0H=3x-4,

在RtAOHT中,?.,OT2=OH2+TH2,

(3x-4)2+x2=22,

?Y_6±A/6

：.點T到DE的距離為包普或室I時,恰有AP=3.

【解析】【分析】(1)根據切線的性質得NOTB=90。，由OT=2,OB=4得至lj/OBT=30。，根據對

頂角相等得/CBP=30。，所以/BPC=60。；

(2)要使△OBT的面積最大，則OTLOB,再證明RtAOBT^RtACBP,然后利用相似比可計

算出PC的長；

(3)作THLBE于H,連結OT,證明RtAHBT^RtACBP,根據相似比得到BH=3TH,設TH=x,

則BH=3x,OH=3x-4,在RtAOHT中，根據勾股定理可計算出x.

19.【答案】解：如圖，CD和點。為所作.

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c

【解析】【分析】利用體重的幾何語言畫出相應的幾何圖形.

20.【答案】(1)證明：-AB為直徑，CDLAB,

：.RC=BD,

"CEB=(BED=乙CDB,

:?乙CED=2乙CDB,

又?：乙CDE=2乙CDB,

CED=乙CDE,

ACE=CD

(2)證明：\UAE=AE,

：.^LACE=^ABE,

U：AM1CE,CHLAB,

：.^AHC=Z.AMC,

則NAHM=NACM,

AZAHM=ZABE,

???MH〃BE

(3)解：連接BC、AD>,過力作力尸1,

則^AEF=^ACD=乙ADC=Z.AEC,AE=AE,

：.AAEF=AAEM(AAS),

：.AF=AM,EF=EM,

9CAB為直徑，CD工AB,

：.AC=AD,

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：.AC=AD,

：.AAFD=AAMC(HL),

：.MC=FD=FE+ED,

：.MC=EM+ED,

.廠n,3,915

,，CM=2+4=T'

1qQ

ACE=CM+ME=+7=6，

44

ACD=6,CH=3,

9：MH||BE,

.CM_CH

9UME=HG'

所以HG=卷,CG=g,

品=",

:.乙BCD=ACEB,

：.ACGB-AECB,

相似比CG:CE=獸:6=4:5,

.?.設BG=16k,BC=20k,BE=25k,

過點C作CNLBE于N,

;乙CBE=UDE=2乙CEB,

作NQ=NB,

貝ljQC=QE=BC=25k,

qA.C.

BQ=5k,BN=^k,EN=,

,：CB2-BN2=CE2-EN2,

(20fc)2-(|fc)2=62-(竽，

解得k=春，

：.BC=20k=4,

BH=47,

BC2=BH-BA,

42="BA,

BA==2R

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???。。半徑為竽.

【解析】【分析】(1)由AB為直徑，CDXAB,得配=助),從而/CEB=/BED=NCDB,即

可得到NCED=2NCDB,結合NCDE=2NCDB,即可求解;(2)由AE=AE可得NACE=NABE,

由AM_LCE,CH_LAB,可得/AHC=NAMC,則/AHM=/ACM,故NAHM=NABE,即可求

解；(3)證明△AEF之Z\AEM(AAS)、AAFD^AAMC(AAS)、△CGB^AECB,即可求解.

21.【答案】(1)證明：由翻折的性質可知，ZBEC=ZFEC,EB=EF,

：AF〃CE,

ZBEC=ZEAF,ZFEC=ZEFA,

NEAF=NEFA,

；.EA=EF.

EA=EB,即點E為AB的中點

(2)證明：如圖所示，連接CG.

:四邊形ABCD是正方形，

AZD=ZB=90°,DC=BC,

由翻折的性質可知：ZEFC=ZB=90°,BC=FC,

AZGFC=ZD=90°,FC=DC,

又：CG=CG,

Z.RtAGFC^RtAGDC(HL),

AGF=GD；

(3)解：：AD=5,EB=x,GD=y,

「?AG=5-y,AE=5-x,GE=x+y,

則在RtAAEG中，AG2+AE2=GE2,

/.(5-y)2+(5-x)2=(x+y)2,

整理，得：y=在黑

x+5

即y與x的函數關系式是y25-5%

x+5

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【解析】【分析】（1）由翻折的性質可知，NBEC=NFEC,EB=EF