難點與新考法06關(guān)于二次函數(shù)系數(shù)'幾何變換'最值等問題

（6大熱考題型）

題型一：關(guān)于二次函數(shù)系數(shù)a,dc的結(jié)論判斷問題

題型二：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系

題型三：二次函數(shù)圖像的平移

題型四：二次函數(shù)圖像的對稱

題型五：確定自變量取值范圍內(nèi)的二次函數(shù)最值

題型六：已知自變量的取值范圍和最值,求參數(shù)

.精淮理分

題型一：關(guān)于二次函數(shù)系數(shù)如b.C的結(jié)論判斷問題

;藉「Mi承

!一、二次函數(shù)與mbxc的關(guān)系

關(guān)系符號圖象特征

a決定拋物線a>0開口向上⑷越尢拋物線的開口小.

的開口方向

a<0開口向下

a、b共同決b=0對稱軸是y軸

定拋物線對

ab>0（a,b同號）對稱軸在y軸左側(cè)左同右異

稱軸的位置

ab<0（（a,b異號））對稱軸在y軸右側(cè)

c決定了拋物c=0拋物線經(jīng)過原點

線與y軸交

c>0拋物線與y軸交于正半軸

點的位置.

c<0拋物線與y軸交于負半軸

由b?-4ac確b2-4ac>0拋物線與X軸有兩個交點

定拋物線與X

b2-4ac=0拋物線與X軸有一個交點

軸交點的個

b2-4ac<0拋物線與X軸沒有交點

數(shù)

二、引入其他參數(shù)的相關(guān)結(jié)論判斷

1.引人的參數(shù)為點坐標，常常考慮結(jié)合坐標軸求解；

2.引入的參數(shù)是與系數(shù)a,b,c結(jié)合的不等式，常常將該參數(shù)視為拋物線上點的橫坐標，結(jié)合最值求解;

3.引人的參數(shù)在一元二次方程中，常常把該方程看成拋物線與直線的交點問題，根據(jù)交點個數(shù)求解

【中考母題學(xué)方法】

【典例11（2024?四川,中考真題）二次函數(shù)產(chǎn)渥+云+。（。>0）的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①c<0；

②-白>°；③當(dāng)-l<x<3時，”0.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

2a

A.①②B,①③C.②③D.①②③

【變式1-1］（2024?四川眉山?中考真題）如圖，二次函數(shù)丫=加+笈+。（"0）的圖象與x軸交于點4（3,0）,

與>軸交于點8,對稱軸為直線x=l,下列四個結(jié)論：①歷<0；②3a+2c<0；③?2+云力+6;④若

84

-2<c<-1,則――<a+b+c<一一，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

33

A.1個B.2個C.3個D.4

【變式1-2】難點判斷需變形的關(guān)于6c的關(guān)系式

（2024?山東泰安?中考真題）如圖所示是二次函數(shù)了=加+桁+。（。二0）的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱軸是

直線x=l,圖象與，軸交點的縱坐標是2,則下列結(jié)論：①2a+b=0；②方程加+fec+c=0一定有一個

根在-2和-1之間；③方程以2+法+,-1=0一定有兩個不相等的實數(shù)根；@b-a<2.其中，正確結(jié)論的

個數(shù)有（）

C.3個D.4個

【變式1-3】難點引入其他參數(shù)的相關(guān)結(jié)論判斷

（2024?黑龍江綏化?中考真題）二次函數(shù)丁=加+及+4。#0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線尸-1,

則下列結(jié)論中:

①—>0②an/+bmWa-b（機為任意實數(shù)）③3a+c<l

c

④若/（王?）、N（z，y）是拋物線上不同的兩個點，則%+%3.其中正確的結(jié)論有（）

B.2個C.3個D.4個

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?山東東營?中考真題）已知拋物線+bx+c（awO）的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

B.a-b=O

C.3a—c=0D.am2+bm<a—b（m為任意實數(shù)）

2.（2024,廣東?模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=ox2+bx+c（aw0）的對稱軸是直線％=1,與無軸交于A,8兩點,

且03=304.給出下列4個結(jié)論：①取?<0；②a—6+c=0；③7a+3c>0；④若機為任意實數(shù)，則

am2+bm-b>a-其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2024?湖北?模擬預(yù)測）如圖，已知開口向下的拋物線y=a/+匕％+。與1軸交于點（6,0）,對稱軸為直

線久=2.則下列結(jié)論正確的有（）

①必c<0；②a—b+c>0；③方程cf+bx+Qu。的兩個根為玉=（，%=-：；④拋物線上有兩點P（%i，yi）

26

4.（2024?廣東?模擬預(yù)測）如圖所示是拋物線>=以2+"+°（〃。0）的部分圖象，其頂點坐標為（1,〃），且與x

軸的一個交點在點（3,0）和（4,0）之間，則下列結(jié)論：①該拋物線與x軸的另一個交點在點（-4,0）和（-3,0）之

間；②a-h+c>0；③。2=4Q（C-幾）；④關(guān)于x的一元二次方程加+Z?x+c=〃+l有實數(shù)根.其中正確的

結(jié)論是（）

C.②③D.②④

5.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，二次函數(shù)>=以2+"+。（。，b,。為常數(shù)，QWO）的圖象與％軸交

于點A、|，0；對稱軸是直線尤=-；，有以下結(jié)論：①而。<0；②若點（T,%）和點（2,%）都在拋物線上,

（加為任意實數(shù)）；④3a+4c=0.其中正確的有（）

C.3個D.4個

6.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，拋物線產(chǎn)加+法+c,<o）的圖象交x軸于點A（一3,0）、3（1,0）,交

y軸于點C以下結(jié)論：①a+b+c=0；②。+3人+2c<0；③當(dāng)以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三

角形時，c=S；④當(dāng)c=3時，在△AOC內(nèi)有一動點P,若6>尸=2,則CP+|AP的最小值為孝.其中

C.3個D.4個

7.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知拋物線丁="2+原+。過點。（0,-2）與彳軸交點的橫坐標分別為4,

X],且2<x2<3,則下列結(jié)論:

①a—b+c<0；

②方程依2+b%+c+2=0有兩個不相等的實數(shù)根;

③a+Z?>0；

④a>g；

@b2-4ac>4a2.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.（2024?廣東?模擬預(yù)測）如圖，拋物線丫=◎2+陵+。（。W0）與工軸交于點4（1,。）和8,與y軸的正半軸交

于點C.下歹！］結(jié)論：@abc>0；②4a-26+c>0；③2a-b>0；?3a+c<0,其中正確結(jié)論是.

9.（2024?湖北?模擬預(yù)測）拋物線y=內(nèi)2+法+1（°<0）,對稱軸為x=-l.下列說法；①一元二次方程

/+法+1=0有兩個不相等的實數(shù)根；②對任意的實數(shù)加，不等式。（加-1）+6（〃,+1）<0恒成立；③拋物

線,=蘇+笈+1經(jīng)過點（-2,1）；④若"z<",J=Lm+n+2>0,則+勿〃>加+加.正確的有（填

序號）.

10.（2024?四川德陽?中考真題）如圖，拋物線y=a%2+bx+c的頂點A的坐標為與x軸的一個交點

位于0和1之間，則以下結(jié)論：①而c>0；②5>+2c<0；③若拋物線經(jīng)過點（-6,yj,（5,%），貝5>%;

④若關(guān)于x的一元二次方程依,+版+0=4無實數(shù)根，則”<4.其中正確結(jié)論是（請?zhí)顚懶蛱枺?

題型二：二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系

|Si￥............

一元二次方程a*+bx+c=O（a^O）的解就是二次函數(shù)戶加九火九二。圖象與x軸交點的橫坐標.

b2-4ac與0的關(guān)系二次函數(shù)與x軸交點個數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況

b2-4ac>02個交點有兩個不相等的實數(shù)根

b2-4ac=01個交點有一個不相等的實數(shù)根

b2-4ac<00個交點沒有實數(shù)根

【中考母題學(xué)方法】

【典例2】（2024?四川達州?中考真題）拋物線了=-/+云+，與x軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于

1,另一個交點的橫坐標小于1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.b+c>lB.6=2C.b2+4c<0D.c<0

【變式2-1］（2024?四川南充?中考真題）已知拋物線G：y=，+wx+根與x軸交于兩點A,B（A在8的左

側(cè)），拋物線Cz：y=尤2+〃尤+〃（相二⑶與無軸交于兩點c,D（C在。的左側(cè)），且AB=CD.下列四個結(jié)論:

①G與交點為（-LD;@m+n=4；③什譏>0；@A,。兩點關(guān)于（T,0）對稱.其中正確的結(jié)論

是—.（填寫序號）

【變式2-2］（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知二次函數(shù)k-f+Zu+c的圖像與x軸交于A（-2,0）,8（1,0）

兩點.

（2）若點尸在該二次函數(shù)的圖像上，且右叩的面積為6,求點尸的坐標.

【變式2-3】難點二次函數(shù)圖象與y=m的交點問題

（2024?吉林?中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設(shè)計了一個計算程序，其程序框圖如圖（1）

所示，輸入X的值為-2時，輸出y的值為1；輸入尤的值為2時，輸出y的值為3；輸入尤的值為3時，輸

出y的值為6.

開始

（圖1）（圖2）

⑴直接寫出上a,b的值.

（2）小明在平面直角坐標系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）.

0.當(dāng)y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍.

13.若關(guān)于x的方程依2+》X+3T=O（r為實數(shù)），在0〈尤＜4時無解，求r的取值范圍.

0.若在函數(shù)圖像上有點尸，。（尸與。不重合）.尸的橫坐標為相，。的橫坐標為-根+1.小明對P,。之間

（含P,。兩點）的圖像進行研究，當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨機的變化而變化，直接寫出機

的取值范圍.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?湖北?中考真題）拋物線丁=依2+法+。的頂點為拋物線與>軸的交點位于無軸上方.以

下結(jié)論正確的是（）

A.a<0B.c<0C.ci—b+c=-2D.Z;2—4-cic=0

2.（2024?山西大同?模擬預(yù)測）已知”>〃>0,若關(guān)于x的方程/一2%-"=0的解為％I,%（兀<%）,關(guān)于x

的方程f_2%_根=0的解為冷羽（%3<羽），則下列結(jié)論正確的是（）

A.xx<x2<x3<x4B.羽<%3<%<為

C.工3<為<工2<%4D.x3<x4<xt<x2

3.（2024.浙江寧波.二模）已知二次函數(shù)y=o?+6x+c（a,仇c是常數(shù)且。>0）的圖象與x軸的交點坐標是

(x,,0),(x2,0),<x2<m+k,當(dāng)工=帆時，y=p,當(dāng)x=〃?+左時，丫=4,貝!]()

A.P，q至少有一個大于"1B.P，4都小于*絲

44

C.P，4至少有一個小于也D.P，q都大于處1

44

4.（2024貴州?模擬預(yù)測）已知拋物線y=aW-2x-3a的圖象上有三點4（和％）,磯/，%），C（0,-3）,其

中藥<-1<%<3,則下列說法鐐誤的是（）

方程同-2…J+b有3個根,則T

A.

B.%>必

C.關(guān)于x的一元二次方程辦2-2x-3a-〃z=0O>0）的兩根為X3，Z，且三<七，貝！］鼻<T<3<匕

D.拋物線的頂點坐標為（LT）

5.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?三模）如圖，已知坐標平面上有一頂點為A的拋物線，A點坐標為（-3,0）,若此

拋物線又與直線>=2交于8、C兩點，且VABC為正三角形，則可求得此拋物線與y軸的交點坐標為

6.（2024?福建廈門?二模）己知拋物線小y=a（x-4-2（aw0）的頂點為點C,與》軸分別交于點A,B（點

A在點B左側(cè)），拋物線4與拋物線人關(guān)于x軸對稱，頂點為點￡>,若四邊形為正方形，貝"的值

為.

7.（2024.浙江寧波.二模）二次函數(shù)y=/-x+3與坐標軸的交點個數(shù)為個.

8.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知拋物線y+bx+c（a,6,c為常數(shù)，且。片0）經(jīng)過點（m+l,“）和（2-加,”），

有如下結(jié)論：①拋物線對稱軸為尤=；；②abc＞0；③若（3,%）,（4,%）兩點在拋物線上，且必％＜。，則方程

改2+fcv+c=0有一根滿足-1＜玉＜。；④過點Q,。-2”）與拋物線有且只有一個公共點的直線有兩條.其中

F碗的結(jié)論有（填正確結(jié)論的序號）.

9.（2024?湖南?模擬預(yù)測）我們不妨約定：在平面直角坐標系中，與x軸有交點的函數(shù)稱為“零點函數(shù)”，交

點的橫坐標稱為“零點”，例如：函數(shù)＞=x-l與x軸的交點坐標是（1,0）,所以函數(shù)＞=x-l是“零點函數(shù)”，1

是該函數(shù)的“零點”.

（1）請完成以下兩個小題：

①下列函數(shù)中，是“零點函數(shù)''的為（）

2,

A.y=2x+3B.y=—C.y=x~+2x+2

x

②請寫出下列函數(shù)的“零點”：一次函數(shù)y=2x+2的“零點”是」二次函數(shù)y=f-2x+l的“零點”是二

⑵已知二次函y=修+26x+3c是，零點函數(shù)”（a,b,c是常數(shù)，。40）.

①若。=l,（b+c）（6-c）=16,函數(shù)的“零點”是三,%,且函數(shù)與x軸的兩個交點之間的距離為8,與y軸的交

點在正半軸上，請求出這個函數(shù)的解析式；

②若一次函數(shù)y=2x-2c與二次函數(shù)y=加+20+l）x+c相交于點A（x3，%）和3（x4，y4），“零點函數(shù)”

y=*+2人無+3＜:滿足下列條件：①a-A+c=O,（2）（3a-2Z?-c）（3a-2/?+5c）＞0,試確定線段AB長度的取

值范圍.

10.（2024?浙江寧波?二模）已知拋物線y=x2-（2/n-3）x-3m-6,點A（孫％）和點3（孫％）是該拋物

線與x軸的交點.

(1)若占<0,3<%<4,求〃？的取值范圍；

(2)若占+%=1，現(xiàn)將拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，若直線y=與新得到的函數(shù)圖象至少

有三個交點，求〃的取值范圍.

題型三：二次函數(shù)圖像的平移

I指I點I迷I津I

:方法一：

ii

⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,其頂點坐標為(h,k);

ii

(2)保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到(h,k)處，

ii

方法二：

(1)將拋物線y=ax2+bx+c沿y軸向上(或向下)平移個單位，得拋物線y=ax2+bx+c+m(；5

1?

y=ax2+bx+c-m);

(2)將拋物線y=ax2+bx+c沿x軸向左(或向右)平移個單位，得拋物線y=a(x+my+b(x+m)+c(或

\\

y=〃(x-")2+貼_刈+。)具體平移方法如下：

平移方式(n>0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k平移口訣

左加

向左平移n個單位y=a(x-^-n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k

向右平移n個單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減

向上平移n個單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n個單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減

【中考母題學(xué)方法】

【典例3】（2024?山東濟寧?中考真題）將拋物線y=V-6x+12向下平移上個單位長度.若平移后得到的拋

物線與x軸有公共點，則左的取值范圍是.

【變式3-1］（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）二次函數(shù)y=/-2x-3的圖象與x軸交于點AB（A在B的左側(cè)），

將該函數(shù)圖象向右平移租（m>0）個單位后與x軸交于點CD（C在。的左側(cè)），平移前后的函數(shù)圖象相交于

點E,若NAED=90。，則小的值為.

【變式3-2］（2024?四川德陽?中考真題）如圖，拋物線>=爐-x+c與x軸交于點A（-l,0）和點8,與V軸交

⑴求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)0<xV2時，求y=爐-x+c的函數(shù)值的取值范圍；

⑶將拋物線的頂點向下平移:個單位長度得到點點尸為拋物線的對稱軸上一動點，求PA+或PM的

45

最小值.

【變式3-3］難點將拋物線沿斜直線平移轉(zhuǎn)化為2次沿坐標軸平移

（2024?四川瀘州?二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-無2+法+c的圖象與坐標軸相交于A、5、

C三點，其中A點坐標為（3,0）,8點坐標為（-1,0）,連接AC、BC.

圖1圖2

⑴求拋物線的解析式；

（2）將△CO3沿x軸水平向右平移，平移過程中當(dāng)C點再次落在拋物線上的位置記作C',求C'的坐標和

tanNC4c的值；

⑶動點尸從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒&個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點。從點8出發(fā)，

在線段54上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接P。,

設(shè)運動時間為f秒.在產(chǎn)、。運動的過程中，當(dāng)f為何值時，四邊形8CPQ的面積最小，最小值為多少？

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?四川眉山?二模）若將拋物線y=Y-2x+l先沿x軸方向向右平移1個單位，再沿>方向向下平移2

個單位，得到一條新拋物線，則新拋物線的解析式變?yōu)椋ǎ?/p>

A.y-X1-2B.y=x1+2

C.y=（x—2）~+2D.y=（無一2）——2

2.（2024?云南曲靖?一模）將拋物線y=-7（x+3）2-l平移得至=下列平移方法正確的是（）

A.先向左平移3個單位，再向下平移1個單位

B.先向右平移3個單位，再向上平移1個單位

C.先向左平移1個單位，再向下平移3個單位

D.先向右平移1個單位，再向下平移3個單位

3.（2024?廣東惠州?模擬預(yù)測）函數(shù)y=3/+6x+4的圖形向右平移3個單位向上平移1個單位長度后的解

析式為.

4.（2024?貴州貴陽?一模）二次函數(shù)丁=元2-6尤+5的圖象經(jīng)過平移，其頂點恰好為坐標原點，則平移的最短

距離為.

5.(2024?湖南?三模)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，且awO)與x

軸交于A。,。)，8兩點，與y軸交于點。(0,-3),且拋物線的對稱軸為直線x=T.

(2)在直線2C下方的拋物線上有一點尸，過點P作PMLx軸，垂足為M,交直線于點M若的

面積為2胃5，試求出點尸的坐標；

O

⑶在(2)的條件下，將拋物線沿射線C4的方向平移師個單位長度，得到新的拋物線V,如圖2,點E

為新拋物線V上一點，點廠為原拋物線對稱軸上一點，是否存在以點B，P,E,尸為頂點的四邊形是平行

四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

6.(2024?重慶?一模)在平面直角坐標系中，拋物線y=ax1+bx+^^a,b是常數(shù)，"0),與無軸交于點A(-6,0)

和點3(2,0),與y軸交于點C.

⑴求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖1,連接AC,點尸為直線AC上方拋物線上的一動點，過點尸作無軸的垂線，垂足為E,交直線AC

于點F,過點P作尸AC,垂足為求尸周長的最大值以及此時點P的坐標；

(3)將拋物線丁=依2+版+4(a,6是常數(shù)，aw。)，沿射線CB方向平移6個單位長度得到新拋物線y',點

。是新拋物線上一點，連接C。，當(dāng)NACQ=NCBA-N0R時，請求出點。的坐標.

7.(2024?重慶?三模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=3尤2+版+。與天軸交于4(—4,0),8兩點，與

y軸交于點C(0,-4),連接AC,BC.

\u

圖1圖2

⑴求拋物線的解析式；

（2）如圖1,點P是直線AC下方拋物線上一動點，過點尸作PQ〃BC交AC于點Q,求P。最大值及此時點產(chǎn)

的坐標；

⑶如圖2,將拋物線沿射線C4方向平移2A/2個單位長度得新到拋物線兒新拋物線與直線AC交于點M,

N（M在N的左側(cè)），E是新拋物線V上一動點，當(dāng)NNME=NCAB-NOCB時,寫出所有符合條件的點E

的坐標，并寫出求解點E的坐標的其中一種情況的過程.

8.（2024?黑龍江綏化?中考真題）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線＞=--+法+。與直線相交于A,8兩點，其中點A（3,4）,5（0,1）.

⑴求該拋物線的函數(shù)解析式.

（2）過點B作BC〃無軸交拋物線于點C,連接AC,在拋物線上是否存在點尸使tan=JtanZACB.若

6

存在，請求出滿足條件的所有點尸的坐標；若不存在，請說明理由.（提示：依題意補全圖形，并解答）

⑶將該拋物線向左平移2個單位長度得到％=4*+4》+9（%工0）,平移后的拋物線與原拋物線相交于點。,

點E為原拋物線對稱軸上的一點，尸是平面直角坐標系內(nèi)的一點，當(dāng)以點8、D、E、尸為頂點的四邊形

是菱形時，請直接寫出點尸的坐標.

9.（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線'=辦2+陵+3與無軸交于點A（T,。）、3（4,

0）兩點，交y軸于點c.

圖1

⑴求拋物線的表達式;

(2)點P是直線BC上方拋物線上的一動點，連接AC,過點尸作交于點。，求線段PD長的最

大值及此時P的坐標;

⑶在(2)中線段PO長取得最大值的條件下，過尸點作BC的平行線，交y軸于點尸，將該拋物線向左平

3

移2個單位長度，再向上平移］個單位得到拋物線八點?為y上的一動點，過“點作y軸的平行線,

交直線尸尸于點N,連接將線段"N沿直線板翻折得到線段MK,當(dāng)點K在，軸上時，請寫出所有

符合條件的點K的坐標，并寫出求解點K坐標的其中一種情況的過程.

10.(2024?重慶?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=渥+法+2與無軸交于A(-LO),8(4,0)兩

點(點A在點8的左側(cè))，與>軸交于點C.

⑴求拋物線的表達式;

（2）連接2C,點尸直線3c上方拋物線上（不與8、C重合）的一動點，過點尸作尸尸〃交x軸于點

尸石〃X軸交直線于點E,求PE+拽PF的最大值及此時點P的坐標;

5

⑶將原拋物線沿射線2C方向平移26個單位得到新拋物V,點。為新拋物上y軸左側(cè)的一動點，過點。作

QN〃y軸，過點C作CN〃x軸，直線QN與直線CN相交于點N,連接QC,將AQCN沿直線QC翻折,

若點N的對應(yīng)點N'恰好落在坐標軸上，請直接寫出點N'的坐標，并選擇一個你喜歡的點寫出求解過程；若

不存在，請說明理由.

11.（2024?重慶南岸模擬預(yù)測）如圖，拋物線＞=加+法+2與無軸交于點A（-l,0）,3（4,0）兩點（點A在點8

的左側(cè)），與y軸交于點C.

備用圖

⑴求拋物線的表達式；

(2)連接BC,點尸是直線BC上方的拋物線上一動點，連接尸CP8,求四邊形PCQB面積的最大值及此時點

尸的坐標；

⑶將拋物線y="2+法+2沿射線BC方向平移2君個單位得到新拋物線y',點。為新拋物線上》軸左側(cè)的一

動點，過點。作QN〃y軸，過點C作CN〃尤軸，直線QN與直線CN相交于點N,連接QC,將△QCN沿

直線QC翻折，若點N的對應(yīng)點N'恰好落在坐標軸上，請直接寫出點N'的坐標，并選擇一個點寫出求解過

程；若不存在，請說明理由.

12.(2024?重慶?三模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-；f+bx+c與直線A3交于點42,0),

B(0,3).直線BC經(jīng)過點C(T,0).

⑴求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）點P是直線2C上方拋物線上的一動點，過點尸作3c于點M,作于點N,求

5PM-而PN的最大值及此時點P的坐標；

⑶將拋物線沿射線54方向平移屈個單位長度得到新拋物線y,點。為平移后的拋物線y與x軸負半軸的

交點，將點。向下平移一個單位得到點E,在直線AE上確定一點。，使得乙BAE=2/BQA,請直接寫出

所有符合條件的點。的坐標.

13.（2024?重慶九龍坡?模擬預(yù)測）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax2-x+c與無軸交于A,

以2,0）兩點，與y軸交于點C,如圖所示.點。為拋物線的頂點，點是拋物線上的一點.

⑴求拋物線的解析式;

（2）點P是直線AE上方拋物線上一動點，過點P分別作尸河〃3C交無軸于點M,小〃了軸交直線AE于點

N.求拽PM+PN的最大值及此時點P的坐標；

5

⑶將拋物線沿AE方向平移遞個單位長度得到新拋物線，點M是新拋物線的頂點，點p是點￡平移后的

2

對應(yīng)點，點G是新拋物線上一動點，連接班\當(dāng)NZXB尸+ZFBG=90。時，請直接寫出所有符合條件的點G

的坐標.

14.（2024?重慶?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=以2+"-3與x軸交于A（-l,。），3兩點,

交y軸于點c,拋物線的對稱軸是直線苫=坐.

⑴求拋物線的表達式；

(2)點P是直線2C下方對稱軸右側(cè)拋物線上一動點，過點尸作軸交拋物線于點。，作PE，3c于點E,

求PD+好PE的最大值及此時點P的坐標;

2

⑶將拋物線沿射線3C方向平移6個單位，在尸。+包%取得最大值的條件下，點/為點尸平移后的對應(yīng)

2

點，連接AF交y軸于點點N為平移后的拋物線上一點，若ZNMF-ZABC=45。,請直接寫出所有符

合條件的點N的坐標.

15.(2024?重慶開州?模擬預(yù)測)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于4(-2,0),5(4,0)

兩點，與y軸交于點C,連接BC.

圖1圖2

⑴求該拋物線的解析式；

(2)如圖1：尸是直線上方拋物線上一動點，連接尸8、PC,求四邊形PBOC面積的最大值以及此時點尸

的坐標；

⑶如圖2,將拋物線沿射線AC的方向平移20個單位長度得到新拋物線％,。為新拋物線,K上一動點，作

直線BQ交AC所在的直線于點。，是否存在點。滿足條件NAD3+ZABC=NC4B,若存在，請寫出所有

符合條件的點Q的坐標，并把求其中一個點。的坐標的過程寫出來.

題型四：二次函數(shù)圖像的對稱

I指I點I迷I津

1.拋物線上兩點若關(guān)于直線，則這兩點的縱坐標相同，橫坐標與x=-F的差的絕對值相等；

2a

2若二次函數(shù)與x軸有兩個交點，則這兩個交點關(guān)于直線x=對稱；

2a

3二次函數(shù)y=〃/+Z?x+c與ynad-bx+c的圖象關(guān)于y軸對稱；二次函數(shù)丁二。%2+法+。^y=-ax2-bx-c的

圖象于x軸對稱.

【中考母題學(xué)方法】

【典例4】（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=ox2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且。<0）的圖象經(jīng)

過A0L6,m），B（4-n,m）,M（-3,r+10）,N（d,6f）四點，且點8在點A的右側(cè)，則［的值不可能是（）

A.-4B.-2C.2D.4

【變式4-1］（2024?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測）已知拋物線>=-27湛+4皿+5（”N0）經(jīng)過（-3,77）和5,77）兩點,

則。值為.

【變式4-2］根據(jù)局部對稱后求交點個數(shù)

（2024?湖南常德?一模）將拋物線>=一/+2x+3中x軸上方的部分沿?zé)o軸翻折到x軸下方，圖像的其余部分

不變，得到的新圖像與直線y=“+7篦有4個交點，則機的取值范圍是（）

2121

A.m<-5B.---<m<-5C.----<m<-3D.m>-3

44

【變式4-3］根據(jù)對稱特征確定參數(shù)值

（2024?吉林?二模）如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線、=辦2-6依+。經(jīng)過點A和3（5,0）（點A在點B

（2）點。為拋物線的頂點，點P在拋物線的對稱軸上（不與點。重合），將線段PD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。，

點D恰好落在拋物線上的點。處.

①點。的坐標為.

②求點。的坐標.

⑶如圖②，將圖①中拋物線在x軸下方部分圖象沿尤軸折疊到無軸上方，與原拋物線在x軸上方的圖象組

成新的圖象.

①當(dāng)尤<1時，圖象所對應(yīng)的解析式為.

②再將新圖象沿了軸向左平移機個單位長度，若平移后的圖象在TVx<0范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，

直接寫出機的取值范圍.

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）我們定義一種新函數(shù)：形如y=|依2+6x+c|（awO,〃一4ac>0）的函數(shù)叫做"鵲

橋”函數(shù).數(shù)學(xué)興趣小組畫出一個"鵲橋"函數(shù)y=|Y+灰+c|的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

B.函數(shù)值>隨x的增大而增大，則x23

C.關(guān)于尤的方程產(chǎn)+6元+c|=3的所有實數(shù)根的和為4

D.當(dāng)直線與該圖象恰有三個公共點時，則m=1

2.（2024.黑龍江大慶?模擬預(yù)測）平面直角坐標系中，已知拋物線%=辦?+3辦-4a（a是常數(shù)，且a<0）,

直線AB過點（0,〃）（-5<〃<5）且垂直于y軸.當(dāng)。=-1時，沿直線A3將該拋物線在直線上方的部分翻折，

其余部分不變，得到新圖象G,圖象G對應(yīng)的函數(shù)記為%，且當(dāng)-5Vx<2時，函數(shù)內(nèi)的最大值與最小值之

差小于7,則”的取值范圍為.

3.（2024?江蘇無錫?二模）已知二次函數(shù),=方2+及+2（4<0）,點4（左,另），B（6,y2）,C（k+4,yJ均在該二

次函數(shù)的圖象上，且2<%<必，則上的取值范圍為.

4.（2024?四川達州?二模）如圖，將拋物線、=-丁+2丈+3在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得

到一新函數(shù)圖象.若一次函數(shù)機的圖象與新函數(shù)圖象有4個公共點，則優(yōu)的取值范圍

是

5.(2025?上海奉賢?一模)二次函數(shù))+bx+c(aw0)的圖象經(jīng)過點A(0,m),B(2,-ni),C(-2,n),￡)(-6,-rri),

其中小〃為常數(shù)，那么生的值為.

n

s?srsrs范圍內(nèi)的二次函數(shù)最值

自變量取值范圍圖象最大值最小值

無當(dāng)乂=-二時，二次函數(shù)取

2a

得最小值鏟

a>04a

當(dāng)乂=-；時，二次函數(shù)取無

全體實數(shù)2a

得最大值『

a<04a

當(dāng)x=x2時，二次函數(shù)取當(dāng)x=-5時，二次函數(shù)取

2a

得最大值y2

得最小值絲注

-5--------[AX4a

0.X2

當(dāng)x=xl時，二次函數(shù)取當(dāng)X一搟時，二次函數(shù)取

2a

iL得最大值yi

得最小值用

1X24a

xl《x<x2a>0

當(dāng)x=x2時，二次函數(shù)取當(dāng)x=xl時，二次函數(shù)取

\lx得最大值y2得最小值yi

-W^2

【中考母題學(xué)方法】

【典例5】（2024?四川內(nèi)江?中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豬肉粽的進價比豆沙粽

的進價每盒多20元，某商家用5000元購進的豬肉粽盒數(shù)與3000元購進的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該

商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價52元時，可售出180盒；每盒售價提高1元時，少售出10盒.

⑴求這兩種粽子的進價；

（2）設(shè)豬肉粽每盒售價x元（52WXW70）,，表示該商家銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求，關(guān)于x的函數(shù)表

達式并求出y的最大值.

x+l(x<—5)

【變式5-1］（2024?四川眉山,二模）若函數(shù)＞=;當(dāng)0VxW3時，此時該函數(shù)的最小值是

x~—4x+7(x2—5)

A.3B.4C.7D.52

【變式5-2］難點求已知對稱軸和自變量取值范圍的含參二次函數(shù)最值

（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)y=—+fov+c的圖象過4（0,3）,3（2,3）,以3,6）三點

⑴求函數(shù)的解析式；

⑵問是否存在優(yōu)，n（>n<n）,使函數(shù)在根4x4〃范圍內(nèi)的最小值是2心，最大值是2九？若存在，求出機，及；