2024-2025學年山東省聊城市陽谷縣九年級（上）期末數學試卷一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1．（4分）下列方程是關于x的一元二次方程的是（）A．x3+x＝1 B．x2﹣x（x+7）＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣2x﹣3＝02．（4分）在用求根公式求一元二次方程的根時，小珺正確地代入了a，b，c得到，則她求解的一元二次方程是（）A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝03．（4分）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，P是弦AB上的一個動點，則OP的長可能是（）A．8 B．6 C．4 D．24．（4分）如圖是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以O為圓心，OA，OB長分別為半徑，圓心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5m，OB＝3m，則陰影部分的面積是（）A． B． C．4π D．5．（4分）如圖，△ABC是等邊三角形，點E，F在AB上，點H，G在AC上，AE＝EF＝FB，EH∥FG∥BC，△ABC的面積為27cm2，則四邊形EFGH的面積為（）A．9cm2 B．3cm2 C．12cm2 D．15cm26．（4分）若tan（α﹣10°）＝1，則銳角α的度數是（）A．40° B．35° C．55° D．70°7．（4分）如圖是某幼兒園的滑梯的簡易圖，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平寬度是6m，則高BC為（）m．A．3 B．5 C．2 D．48．（4分）已知關于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n滿足m﹣2n＝3，關于該方程根的情況，下列判斷正確的是（）A．無實數根 B．有兩個相等的實數根 C．有兩個不相等的實數根 D．無法確定9．（4分）將一元二次方程3x2+6x+2＝0配方后，可化為（）A．3（x+1）2＝5 B．3（x+1）2＝1 C．3（x﹣1）2＝5 D．3（x﹣1）2＝110．（4分）如圖，點I和O分別是△ABC的內心和外心，若∠AIB＝125°，則∠AOB的度數為（）A．120° B．125° C．135° D．140°11．（4分）“計里畫方”（比例縮放和直角坐標網格體系）是中國古代地圖制圖的基本方法和數學基礎，是中國古代地圖獨立發展的重要標志．制作地圖時，人們會利用測桿、水準儀和照板來測量距離．在如圖所示的測量距離AB的示意圖中，記照板“內芯”的高度為EF．觀測者的眼睛（圖中用點C表示）與BF在同一水平線上，若某次測量中＝，則下列結論中錯誤的（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝12．（4分）劉徽在《九章算術注》中首創“割圓術”，利用圓的內接正多邊形來確定圓周率，開創了中國數學發展史上圓周率研究的新紀元．某同學在學習“割圓術”的過程中，作了一個如圖所示的圓內接正十二邊形．若⊙O的半徑為2，則這個圓內接正十二邊形的面積為（）A．3 B．12 C．4π D．12π二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）13．（4分）一元二次方程2x（x﹣1）+x﹣1＝0的解為．14．（4分）已知α是銳角，且tanα＝2，則＝．15．（4分）如圖，△ABC內接于⊙O，∠A＝45°，BC＝6，則⊙O的直徑為．16．（4分）若a、b是一元二次方程x2+2x﹣9＝0的兩個根，則a2+2a+3ab的值為．17．（4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC與△DEF位似，原點O是位似中心，若A（2，4），D（﹣1，﹣2），若，則AB為．18．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AB⊥OC，P為圓上一動點，M為AP的中點，連接CM，若⊙O的半徑為4，則CM長的最大值是．三、解答題（共8小題，滿分78分）19．（6分）（1）計算：．（2）3x2﹣5x＝2．20．（8分）明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了“筒車”（見圖1，一種水利灌溉工具）的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為8米，⊙O半徑長為6米，若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是多少？21．（8分）如圖，平行四邊形ABCD，DE交BC于F，交AB的延長線于E，且∠EDB＝∠C．（1）求證：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝9cm，BE＝16cm，求DE的長．22．（10分）某社團在課余時間用無人機為學校航拍宣傳片，如圖所示的∠ABC為無人機某次空中飛行軌跡，D為BC延長線上一點，點A，B，C，D在同一平面內，∠B＝30°，∠ACD＝78.3°．若AC＝80米，求AB的長．（結果保留整數，參考數據：sin78.3°≈0.98，sin48.3°≈0.75，cos48.3°≈0.67，≈1.73）23．（10分）某頭盔經銷商5至7月份統計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同．請解決下列問題．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）某工廠已建有一條頭盔生產線生產頭盔，經過一段時間后，發現一條生產線最大產能是900個/天，但如果每增加一條生產線，每條生產線的最大產能將減少30個/天，現該廠要保證每天生產頭盔3900個，應該增加幾條生產線？24．（12分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中點，DE⊥BC于點E，ED、BA的延長線交于點F．（1）求∠ABC的正弦值；（2）求的值．25．（12分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，O點在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作BC的平行線，與AB的延長線相交于點P．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）若AB＝3，AC＝4，求線段BD的長．26．（12分）用配方法在代數式求值，解方程，最值問題等都有著廣泛的應用．例如，①用配方法因式分解：x2+8x﹣9，原式＝x2+8x+16﹣9﹣16＝（x+4）2﹣25＝（x+4﹣5）（x+4+5）＝（x+1）（x﹣9）；②若M＝a2﹣2ab+2b2﹣4b+10，利用配方法求M的最小值：M＝a2﹣2ab+b2+b2﹣4b+4+10﹣4＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+6，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴當a＝b＝2時，M有最小值6．請根據上述材料解決下列問題：（1）用配方法分解因式：a2﹣18a﹣175；（2）若M＝a2﹣8a+10，求M的最小值及a的值；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣6b﹣6c+21＝0，求2a+3b﹣c的值．

2024-2025學年山東省聊城市陽谷縣九年級（上）期末數學試卷參考答案一、選擇題（共12小題，每小題4分，滿分48分）題號1234567891011答案DACDACCCBDC題號12答案B二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）13．答案為：x1＝1，x2＝﹣．14．答案為：．15．答案為：6．16．答案為：﹣18．17．答案為：2．18．答案為：2+2，．三、解答題（共8小題，滿分78分）19．解：（1）原式＝×﹣×+2×＝﹣+1＝2；（2）3x2﹣5x＝2．3x2﹣5x﹣2＝0，（3x+1）（x﹣2）＝0，∴3x+1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣，x2＝2．20．解：如圖，連接OA，OC交AB于點D，即OC＝OA＝6m，∵AB＝8m，點C為運行軌道的最低點，∴，OC⊥AB，由勾股定理，得OD2＝OA2﹣AD2，即，∴，故點C到弦AB所在直線的距離是m．21．（1）證明：平行四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB，又∠E＝∠E，∴△ADE∽△DBE；（2）解：平行四邊形ABCD中，DC＝AB，∵DC＝9cm，BE＝16cm，∴AB＝9，AE＝25cm，由（1）得△ADE∽△DBE，∴，∴DE＝20cm．22．解：過點C作CE⊥AB于點E，∵∠ACD＝∠A+∠B，∴∠A＝48.3°，∵sin∠A＝，cos∠A＝，∴CE＝AC?sin48.3°≈60（米），AE≈AC?cos48.3°≈53.6（米），∵∠B＝30°，∴BE＝CE≈103.8（米），∴AB＝AE+BE≈157（米）．答：AB的長約為157米．23．解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x．依題意得：2250（1+x）2＝3240，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去），答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；（2）設增加m條生產線，由題意得：（900﹣30m）（m+1）＝3900，整理得：m2﹣29m+100＝0，解得：m1＝4，m2＝25，答：增加4條或25條生產線．24．解：（1）過點A作AH⊥BC于點H，∵AB＝AC＝10，∴△ABC是等腰三角形，∵BC＝12，AH⊥BC，∴BH＝CH＝6，∴Rt△ABH中，，∴sin∠ABC＝＝＝；（2）∵AH⊥BC，FE⊥BC，∴AH∥FE，∴，∵D是AC的中點，∴EH＝CE，∴DE是△ACH的中位線，，∵BH＝CH，∴，∴EF＝12，∴DF＝8∴．25．（1）證明：如圖所示，連接OD，∵圓心O在BC上，∴BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD為⊙O的半徑，∴PD是⊙O的切線；（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，∵OD⊥BC，OB＝OC，則OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝25，∴．26．