2025屆安徽省安慶一中、山西省太原五中等五省六校重點中學高三第二次模擬考試（B卷）數學試題試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．二項式的展開式中只有第六項的二項式系數最大，則展開式中的常數項是()A．180 B．90 C．45 D．3602．已知，復數，，且為實數，則（）A． B． C．3 D．-33．復數，若復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱，則等于（）A． B． C． D．4．復數，是虛數單位，則下列結論正確的是A． B．的共軛復數為C．的實部與虛部之和為1 D．在復平面內的對應點位于第一象限5．已知復數z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實數a＝（）A． B． C．2 D．﹣26．以下關于的命題，正確的是A．函數在區間上單調遞增B．直線需是函數圖象的一條對稱軸C．點是函數圖象的一個對稱中心D．將函數圖象向左平移需個單位，可得到的圖象7．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．8．函數圖象的大致形狀是（）A． B．C． D．9．已知當，，時，，則以下判斷正確的是A． B．C． D．與的大小關系不確定10．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．11．設復數滿足，則在復平面內的對應點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．若復數滿足（為虛數單位），則其共軛復數的虛部為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點是拋物線的準線上一點，F為拋物線的焦點，P為拋物線上的點，且，若雙曲線C中心在原點，F是它的一個焦點，且過P點，當m取最小值時，雙曲線C的離心率為______.14．變量滿足約束條件，則目標函數的最大值是____．15．設等比數列的前項和為，若，，則__________．16．已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，則_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求面積的最大值．18．（12分）已知橢圓的焦距為，斜率為的直線與橢圓交于兩點，若線段的中點為，且直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）若過左焦點斜率為的直線與橢圓交于點為橢圓上一點，且滿足，問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由.19．（12分）在直角坐標系中，圓的參數方程為：（為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.（1）求圓的極坐標方程；（2）若直線：（為參數）被圓截得的弦長為，求直線的傾斜角.20．（12分）在中，內角的對邊分別是，滿足條件．（1）求角；（2）若邊上的高為，求的長．21．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）若在定義域內是增函數，且存在不相等的正實數，使得，證明：.22．（10分）已知函數，當時，有極大值3；（1）求，的值；（2）求函數的極小值及單調區間.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】試題分析：因為的展開式中只有第六項的二項式系數最大，所以，，令，則，.考點：1.二項式定理；2.組合數的計算.2．B【解析】

把和代入再由復數代數形式的乘法運算化簡，利用虛部為0求得m值．【詳解】因為為實數，所以，解得.【點睛】本題考查復數的概念，考查運算求解能力.3．A【解析】

先通過復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱，得到，再利用復數的除法求解.【詳解】因為復數在復平面內對應的點關于虛軸對稱，且復數，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查復數的基本運算和幾何意義，屬于基礎題.4．D【解析】

利用復數的四則運算，求得，在根據復數的模，復數與共軛復數的概念等即可得到結論．【詳解】由題意，則，的共軛復數為，復數的實部與虛部之和為，在復平面內對應點位于第一象限，故選D．【點睛】復數代數形式的加減乘除運算的法則是進行復數運算的理論依據,加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數化，其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為．5．D【解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據z∈R求解.【詳解】因為z＝（1+2i）（1+ai）=，又因為z∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點睛】本題主要考查復數的運算及概念，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.6．D【解析】

利用輔助角公式化簡函數得到，再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項，函數先增后減，錯誤B選項，不是函數對稱軸，錯誤C選項，，不是對稱中心，錯誤D選項，圖象向左平移需個單位得到，正確故答案選D【點睛】本題考查了三角函數的單調性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數性質的綜合應用，其中化簡三角函數是解題的關鍵.7．C【解析】

分類討論，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個，再取沒有陽爻的坤卦，計算滿足條件的種數，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數是；僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時取兩卦滿足條件的種數是，于是所求的概率．故選：C【點睛】本題考查了古典概型的應用，考查了學生綜合分析，分類討論，數學運算的能力，屬于基礎題.8．B【解析】

判斷函數的奇偶性，可排除A、C，再判斷函數在區間上函數值與的大小，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以函數是奇函數，可排除A、C；又當，，可排除D；故選：B.【點睛】本題考查函數表達式判斷函數圖像，屬于中檔題.9．C【解析】

由函數的增減性及導數的應用得：設，求得可得為增函數，又，，時，根據條件得，即可得結果．【詳解】解：設，則，即為增函數，又，，，，即，所以，所以．故選：C．【點睛】本題考查了函數的增減性及導數的應用，屬中檔題．10．D【解析】

先計算集合，再計算，最后計算．【詳解】解：，，．故選：．【點睛】本題主要考查了集合的交，補混合運算，注意分清集合間的關系，屬于基礎題．11．C【解析】

化簡得到，得到答案.【詳解】，故，對應點在第三象限.故選：.【點睛】本題考查了復數的化簡和對應象限，意在考查學生的計算能力.12．D【解析】

由已知等式求出z，再由共軛復數的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復數=-1+，虛部為1故選D．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算和共軛復數的基本概念，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由點坐標可確定拋物線方程，由此得到坐標和準線方程；過作準線的垂線，垂足為，根據拋物線定義可得，可知當直線與拋物線相切時，取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得點坐標，根據雙曲線定義得到實軸長，結合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準線上的一點拋物線方程為，準線方程為過作準線的垂線，垂足為，則設直線的傾斜角為，則當取得最小值時，最小，此時直線與拋物線相切設直線的方程為，代入得：，解得：或雙曲線的實軸長為，焦距為雙曲線的離心率故答案為：【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用；關鍵是能夠確定當取得最小值時，直線與拋物線相切，進而根據拋物線切線方程的求解方法求得點坐標.14．5【解析】

分析：畫出可行域，平移直線，當直線經過時，可得有最大值.詳解：畫出束條件表示的可行性，如圖，由可得，可得，目標函數變形為，平移直線，當直線經過時，可得有最大值，故答案為.點睛：本題主要考查線性規劃中利用可行域求目標函數的最值，屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的定點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值.15．【解析】

由題意，設等比數列的公比為，根據已知條件，列出方程組，求得的值，利用求和公式，即可求解．【詳解】由題意，設等比數列的公比為，因為，即，解得，，所以.【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式，及前n項和公式的應用，其中解答中根據等比數列的通項公式，正確求解首項和公比是解答本題的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．16．【解析】

由題意可得，又由于為的中點，且點在軸上，所以可得點的橫坐標，代入拋物線方程中可求點的縱坐標，從而可求出點的坐標，再利用兩點間的距離公式可求得結果.【詳解】解：因為是拋物線的焦點，所以，設點的坐標為，因為為的中點，而點的橫坐標為0，所以，所以，解得，所以點的坐標為所以，故答案為：【點睛】此題考查拋物線的性質，中點坐標公式，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及誘導公式與和角公式，結合特殊角的三角函數值，求得角C；(2)運用向量的平方就是向量模的平方，以及向量數量積的定義，結合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面積公式計算即可得到所求的值.詳解：（1）∵，，（Ⅱ）取中點，則，在中，，（注：也可將兩邊平方）即，，所以，當且僅當時取等號．此時，其最大值為.點睛：該題考查的是有關三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理，誘導公式，和角公式，向量的平方即為向量模的平方，基本不等式，三角形的面積公式，在解題的過程中，需要正確使用相關的公式進行運算即可求得結果.18．(1).(2)為定值.過程見解析.【解析】分析：（1）焦距說明，用點差法可得＝.這樣可解得，得橢圓方程；（2）若，這種特殊情形可直接求得，在時，直線方程為，設，把直線方程代入橢圓方程，后可得，然后由紡長公式計算出弦長，同時直線方程為，代入橢圓方程可得點坐標，從而計算出，最后計算即可.詳解：（1）由題意可知，設，代入橢圓可得：，兩式相減并整理可得，，即.又因為，，代入上式可得，.又，所以，故橢圓的方程為.（2）由題意可知，，當為長軸時，為短半軸，此時；否則，可設直線的方程為，聯立，消可得，，則有：，所以設直線方程為，聯立，根據對稱性，不妨得，所以.故，綜上所述，為定值.點睛：設直線與橢圓相交于兩點，的中點為，則有，證明方法是點差法：即把點坐標代入橢圓方程得，，兩式相減，結合斜率公式可得.19．（1）；（2）或【解析】

（1）消去參數可得圓的直角坐標方程，再根據，，即可得極坐標方程；（2）寫出直線的極坐標方程為，代入圓的極坐標方程，根據極坐標的意義列出等式解出即可.【詳解】（1）圓：，消去參數得：，即：，∵，，.∴，.（2）∵直線：的極坐標方程為，當時.即：，∴或.∴或，∴直線的傾斜角為或.【點睛】本題主要考查了參數方程化為普通方程，直角坐標方程化為極坐標方程以及極坐標的幾何意義，屬于中檔題.20．（1）．（2）【解析】

（1）利用正弦定理的邊角互化可得，再根據，利用兩角和的正弦公式即可求解.（2）已知，由知，在中，解出即可.【詳解】（1）由正弦定理知由己知，而∴，（2）已知，則由知先求∴∴∴【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性質、兩角和的正弦公式，需熟記定理與公式，屬于基礎題.21．（1）當時，在上遞增，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析【解析】

（1）對求導，分，，進行討論，可得的單調性；（2）在定義域內是是增函數，由（1）可知，，設，可得，則，設，對求導，利用其單調性可證明.【詳解】解：的定義域為，因為，所以，當時，令，得，令，得；當時，則，令，得，或，令，得；當時，，當時，則，令，得；綜上所述，當時，在上遞增，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）在定義域內是是增函數，由（1）可知，此時，設，又因為，則，設，則對于任意成立，所以在上是增函數，所以對于，有，即，有，因為，所以，即，又在遞增，所以，即.【點睛】本題主要考查利用導數研究含參函數的單調性及導數在極值點偏移中的應用，考查學生分類討論與轉化的思想，綜合性大，屬于難題.22．（1）；（2）極小值為，遞減區間為：