第01講平方根、立方根

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

1、了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的平方根，并了解被開方數(shù)的

2利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

非負(fù)性；

3估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍

2、了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，進(jìn)

4與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題行簡(jiǎn)單的開平方運(yùn)算。

5算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用3.了解立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根。

6平方根概念理解4.會(huì)用立方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的立方根，了解開立方與立方互為逆運(yùn)

算。

7平方根的應(yīng)用

5.了解立方根的性質(zhì)。

8立方根概念理解6.區(qū)分立方根與平方根的不同。

9求一個(gè)數(shù)的立方根學(xué)習(xí)重點(diǎn)：了解平方根的概念，求某些非負(fù)數(shù)的平方根

10立方根的實(shí)際應(yīng)用學(xué)習(xí)難點(diǎn)：了解被開方數(shù)的非負(fù)性；

02思維導(dǎo)圖

01.平方根

02琳平碇

知識(shí)點(diǎn)03非城的頡：琳平751g

04立方根

05計(jì)算器一數(shù)的開方

01求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

02利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

平方根、立方根

03估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍

0但算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題

05算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用

遜

06平碇

07平方根的應(yīng)用

08立方根概念理解

09求的立方根

10的實(shí)

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01.平方根

（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于。，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根.

（2）求一個(gè)數(shù)。的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.

一個(gè)正數(shù)。的正的平方根表示為“?”，負(fù)的平方根表示為“-.

正數(shù)。的正的平方根，叫做。的算術(shù)平方根，記作零的算術(shù)平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根.

2.立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是

0.

【即學(xué)即練】

1.（2024春?潁泉區(qū)校級(jí)月考）實(shí)數(shù)0.36的平方根是（）

A.0.6B.-0.6C.±0.6D.±0.06

知識(shí)點(diǎn)02算術(shù)平方根

（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即/=a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做。的算術(shù)

平方根.記為

（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根”有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根”本身是非負(fù)數(shù).

（3）求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，可以借

助乘方運(yùn)算來(lái)尋找.

【即學(xué)即練】

2.（2024春?金安區(qū)校級(jí)月考）64的算術(shù)平方根是（）

A.±4B.±8C.4D.8

知識(shí)點(diǎn)03非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根

（1）非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負(fù)性.

（2）利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值的問(wèn)題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果也是非負(fù)數(shù)列出不

等式求解.非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值問(wèn)題.

【即學(xué)即練】

3.（2024春?蚌埠月考）已知x,y為實(shí)數(shù)，且K斤+（y+2/=0,則（x+y）2023的值為（）

A.±1B.0C.-1D.1

知識(shí)點(diǎn)04立方根

（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于。，那么這個(gè)數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說(shuō)，如果x3=a,那

么x叫做。的立方根.記作：如.

（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).即任意數(shù)都有立方根.

（3）求一個(gè)數(shù)0的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù).

注意：符號(hào)五中的根指數(shù)“3”不能省略；對(duì)于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一

個(gè)立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根.

2.立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是

0.

【即學(xué)即練】

4.（2024春?大觀區(qū)校級(jí)月考）若J口+3+25）2=0,則而的值為（）

A.-5B.5C.15D.25

知識(shí)點(diǎn)05計(jì)算器一數(shù)的開方

正數(shù)。的算術(shù)平方根。與被開方數(shù)a的變化規(guī)律是：

當(dāng)被開方數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)每向左或向右平移2位時(shí)，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)也相應(yīng)向左或向右平移1位,

即a每擴(kuò)大（或縮小）100倍，。相應(yīng)擴(kuò)大（或縮小）10倍.

【即學(xué)即練】

5.（2023春?金安區(qū)校級(jí)月考）如圖，某同學(xué)利用計(jì)算器中的匹］,回三個(gè)按鍵設(shè)置計(jì)算程序,

以下是這三個(gè)按鍵的功能.

①?:將熒幕顯示的數(shù)變成它的算術(shù)平方根；

②HZ3：將熒幕顯示的數(shù)變成它的倒數(shù)；

③舊：將熒幕顯示的數(shù)變成它的平方.

小明輸入一個(gè)數(shù)據(jù)后，程序?qū)凑找韵虏襟E進(jìn)行，依次按照從第一步到第三步循環(huán)計(jì)算.

輸入x------?x2------?l/x------?VF

第一步第二步第三步

若一開始輸入的數(shù)據(jù)為10,那么第2021步之后，顯示的結(jié)果是（）

Vio

B.100C.0.1D.0.01

10

E題型精講

題型01求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

1.（20.21七年級(jí)下?安徽安慶?期末）如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，當(dāng)輸入的x的值為81時(shí)，輸出的y的值是

（）

所對(duì)下體算術(shù)平方根I不是［理智輸甌

是有理數(shù)

A.GB.9C.3D.-V3

2.（23-24七年級(jí)下?全國(guó)?期末）已知a=J所，則。的算術(shù)平方根是.

3.（23-24七年級(jí)下?安徽淮北?階段練習(xí)）已知正數(shù)x的兩個(gè)不同的平方根分別是-4加-4和12+2加.

⑴求加，x的值；

（2）x-8y的算術(shù)平方根是16,求X-/-12的平方根.

題型02利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題

4.（21-22七年級(jí)下?安徽六安?期末）若7^=7+|6-9|=0,則，的平方根是（）

3399

A.-B.±-C.-D.±-

2244

5.（23-24七年級(jí)下?安徽安慶?期末）已知（。+6）+"-2=0,則ab的值是

6.（2024七年級(jí)下?安徽?專題練習(xí)）若|a-3|+VF￡=0,求/-26+1的值.

題型03估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍

7.（23-24七年級(jí)下?安徽六安?階段練習(xí)）估算回+1值是在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

8.（23-24七年級(jí)下?安徽蚌埠?期中）已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a+5和3a-15.

⑴求這個(gè)正數(shù)；

⑵請(qǐng)估算26“的算術(shù)平方根在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間.

題型04與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題

9.（23-24七年級(jí)下?安徽亳州?期中）若麗=103,4=1.03,則x的值是（）

A.1060.9B.10.609C.106.09D.1.0609

10.（23-24七年級(jí)下?安徽淮南,階段練習(xí)）已知V^X=2.5,則J0.0625=.

11.（23-24七年級(jí)下?安徽蕪湖?期中）（1）填表并觀察規(guī)律：

a0.00640.64646400

4a

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

①已知V33.64=5.8,則V33640000=；

②已知J12.25=3.5,&=0.035,貝1|無(wú)=.

（3）從以上問(wèn)題的解決過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，試簡(jiǎn)要說(shuō)明.

題型05算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用

12.（23-24七年級(jí)下?安徽阜陽(yáng)?期末）面積為4的正方形，其邊長(zhǎng)等于（）

A.4的算術(shù)平方根B.4的平方根

c.4的立方根D.V?的算術(shù)平方根

13.（23-24七年級(jí)下?安徽黃山?期中）已知Jx+5=2，則》=.

14.（23-24七年級(jí)下?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，用兩個(gè)面積為200cm2的小正方形紙片拼成一個(gè)大的正方

形紙片.

⑴大正方形紙片的邊長(zhǎng)是；

（2）若沿著大正方形紙片的邊的方向剪出一個(gè)長(zhǎng)方形紙片，能否使剪出的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)、寬之比為5:2,

且面積為360cm2?

題型06平方根概念理解

15.（23-24七年級(jí)下?安徽,單元測(cè)試）下列各數(shù)中，沒有平方根的是（）

A.0B.（—3）2C.-32D.-（-3）

16.（23-24七年級(jí)下?安徽淮北?階段練習(xí)）如果a,6分別是2024的兩個(gè)平方根，那么。+6-必=.

17.（20-21七年級(jí)下?安徽亳州?階段練習(xí)）一組實(shí)數(shù)按下列規(guī)律排列：

1;亞;百；2；Vs;V6;V7第1行

V8:3:Vio；VH;V12;V13:A/14第2行

V15;4；Vn;V18;V19；V20；第3行

根據(jù)這個(gè)規(guī)律解答以下問(wèn)題：

（1）直接寫出第4行第1列所表示的實(shí)數(shù)是

（2）實(shí)數(shù)血而排在第幾行第幾列？并說(shuō)明理由.

題型07平方根的應(yīng)用

18.（23-24七年級(jí)下?安徽淮南?階段練習(xí)）一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根是2a-1與2-a,那么這個(gè)數(shù)是（）

A.1B.9C.一1或1D.1或9

19.（23-24七年級(jí)下?安徽宣城?期中）一個(gè)正數(shù)的平方根是a+2和2a-17,那么這個(gè)數(shù)是

20.（23-24七年級(jí)下?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，這是一個(gè)3階魔方，由三層完全相同的27個(gè)小立方體組

成，體積為27.

⑴求出這個(gè)魔方的棱長(zhǎng).

（2）圖中陰影部分是一個(gè)正方形N8CD,求出陰影部分的面積及其邊長(zhǎng).

題型08立方根概念理解

21.（23-24七年級(jí)下?安徽淮北?期中）一2是-8的（）

A.算術(shù)平方根B.平方根C.立方根D.立方

21.（23-24七年級(jí)下?安徽合肥?期中）已知41+26與43b-5相等，則b的值為

22.（22-23七年級(jí)下?安徽池州?期中）已知某正數(shù)的兩個(gè)不相等的平方根分別足。+3和2.-15,6的立方

根是-2,求3a+6的值.

題型09求一個(gè)數(shù)的立方根

23.（23-24七年級(jí)下?安徽六安?階段練習(xí)）64的立方根為（）

A.4B.±4C.V?D.土返

24.（23-24七年級(jí)下?安徽合肥,期中）把兩個(gè)半徑分別為1cm和而cm的鉛球熔化后做成一個(gè)更大的鉛球,

4

則這個(gè)大鉛球的半徑是—cm（球的體積公式廠=§口3,其中「是球的半徑）.

28.（23-24七年級(jí)下?安徽阜陽(yáng)?期中）求x的值：

（1）9/=16

（2）8（3x-2）3=-64

題型10立方根的實(shí)際應(yīng)用

27.（21-22七年級(jí)下?安徽六安,期中）如果一個(gè)正方體的體積變?yōu)樵瓉?lái)的64倍，那么它的棱長(zhǎng)增加為原來(lái)

的多少倍？（）

A.3B.4C.6D.8

28.（22-23七年級(jí)下?安徽池州,期末）若血后元=0.7160,43.670=1.542,4-0.003670=.

29.（22-23七年級(jí)下?安徽淮南?階段練習(xí)）求下列x的值

（1）9X2-25=0;

（2）/-26=1.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A.一如與煙B.舛與-我C.卜亞與應(yīng)D.也與舛

2.若a,b互為倒數(shù)，且c,d互為相反數(shù)，貝+的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

3.下列等式正確的是()

A.-725=-5B.J(-3)2=-3C.9=±4D.=-2

4.下列說(shuō)法中正確的是（）

士的平方根是土）

A.一16沒有立方根B.1的立方根是±1C.D.一

366

3的立方根是正

5.自然數(shù)。沒有（）

A.倒數(shù)B.相反數(shù)C.算術(shù)平方根D.立方根

6.如果y=J^+/^+l,則2x+y的平方根是（）

A.9B.±9C.3D.±3

7.已知江工=-2,則G的值是（）

A.1B.2C.3D.4

8.計(jì)算囪的結(jié)果中（）

A.9B.-9C.3D.-3

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.-9的平方根是±3B.-9的算術(shù)平方根是-3

C.J語(yǔ)的平方根是±4D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0

10.下列命題中，是真命題的是（）

A.囪的算術(shù)平方根是3B.5是25的一個(gè)平方根

C.1的平方根是1D.64的立方根是：t4

二、填空題

11.若一個(gè)正數(shù)的平方根是。和2.-1,求。的值為

12.已知百=1.732,則.

13.如果某數(shù)的一個(gè)平方根是-5,那么這個(gè)數(shù)是—.

14.已知班2.515,不使用計(jì)算器，求J0.0000159的近似值

三、解答題

15.把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為12cm,9cm,2cm的長(zhǎng)方體鐵塊鍛造成一個(gè)立方體鐵塊，求這個(gè)立方體鐵塊

的棱長(zhǎng).

16.(1)計(jì)算：-^64+^(-4)2-7^-；

(2)解方程：3(X-2)3+81=0.

17.已知第一個(gè)正方體紙盒的棱長(zhǎng)為6cm,第二個(gè)正方體紙盒的體積比第一個(gè)正方體紙盒的體積大184cm工

求第二個(gè)正方體紙盒的棱長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.001cm）

18.如圖，紙上有五個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個(gè)正方形.

⑴拼成的正方形的面積與邊長(zhǎng)分別是多少？

（2）你能夠在4x4的方格圖內(nèi)，畫出面積為10的正方形嗎？