試題PAGE1試題2024北京通州高二（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣1，則f'（1）＝（）A．0 B．1 C．2 D．32．（4分）下列求導(dǎo)運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤的是（）A． B．（lnx）'＝ C．（ex）′＝ex D．（sinx）'＝cosx3．（4分）4名學(xué)生與1名老師站成一排照相，學(xué)生請(qǐng)老師站在正中間，則不同的站法種數(shù)為（）A．12 B．18 C．24 D．484．（4分）已知函數(shù)f（x）＝ln（2x+3），則f′（x）＝（）A． B． C． D．5．（4分）一輛汽車在筆直的公路上行駛，位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論：①汽車在[0，t1]時(shí)間段內(nèi)勻速行駛；②汽車在[t1，t2]時(shí)間段內(nèi)不斷加速行駛；③汽車在[t2，t3]時(shí)間段內(nèi)不斷減速行駛；④汽車在[t3，t4]時(shí)間段內(nèi)處于靜止?fàn)顟B(tài)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（4分）3名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)，籃球隊(duì)，乒乓球隊(duì)，排球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同報(bào)法的種數(shù)是（）A．34 B．43 C．24 D．127．（4分）在（1+x）（2﹣x）5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)為（）A．﹣40 B．﹣10 C．10 D．408．（4分）定義在區(qū)間（﹣π，π）上的函數(shù)f（x）＝xsinx+cosx，則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．（0，）∪（﹣π，﹣） B．和 C． D．和9．（4分）已知一個(gè)三位數(shù)，如果滿足個(gè)位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都小于十位上的數(shù)字，那么我們稱該三位數(shù)為“凸三位數(shù)”，則沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的“凸三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）A．240 B．204 C．176 D．16810．（4分）函數(shù)y＝kx+b，其中k，b（k≠0）是常數(shù)，其圖象是一條直線，稱這個(gè)函數(shù)為線性函數(shù)，對(duì)于非線性可導(dǎo)函數(shù)f（x），在點(diǎn)x0附近一點(diǎn)x的函數(shù)值f（x），可以用如下方法求其近似代替值：f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）．利用這一方法的近似代替值（）A．一定大于m B．一定小于m C．等于m D．與m的大小關(guān)系不確定二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）計(jì)算：×3!＝．12．（5分）若n展開(kāi)式中第五項(xiàng)與第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，則n＝；該展開(kāi)式含x2項(xiàng)的系數(shù)為（結(jié)果用數(shù)字表示）．13．（5分）已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移xm是時(shí)間ts的函數(shù)，且t＝0.3時(shí)，x＝0.38；t＝0.6時(shí)，x＝5.06．則該物體在時(shí)間段[0.3，0.6]內(nèi)的平均速度為m/s；估計(jì)t＝0.4時(shí)的位移為m．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3x+1，則在f（x）的切線中，斜率最小的切線的方程為．15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx﹣在點(diǎn)x0處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（2，0），如圖所示．關(guān)于函數(shù)f（x）有四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減；②函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，1）上單調(diào)遞減；③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于中心對(duì)稱；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。16．（13分）某小組共有6名學(xué)生，其中女生2名，男生4名．（Ⅰ）將6名學(xué)生排成一排，且女生不相鄰的排法有多少種？（Ⅱ）從6名中選出3人參加某公益活動(dòng)．（i）共有多少種不同的選擇方法？（ii）如果至少有1位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？17．（12分）設(shè)（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0．（Ⅰ）求a2；（Ⅱ）求a1+a3+a5．18．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2+（2a﹣1）x+1．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值與極小值．19．（15分）如圖1所示，現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為1.5m的等邊三角形鐵板，如果從鐵板的三個(gè)角各截去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正三棱柱形的容器如圖2．則容器的容積Vm3是容器底面邊長(zhǎng)xm的函數(shù)．（Ⅰ）寫出函數(shù)的解析式并注明定義域；（Ⅱ）求這個(gè)容器容積的最大值．20．（15分）設(shè)函數(shù)f（x）＝ln（ax+b），曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x﹣2y+2ln2﹣1＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）﹣，求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）求證：當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x）≥xe﹣x．21．（15分）設(shè)函數(shù)f（x）＝（x＞0）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）設(shè)，求證：a≤是函數(shù)g（x）只有一個(gè)極大值點(diǎn)的充分不必要條件．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，取x＝1得答案．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣1，∴f′（x）＝2x，則f′（1）＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的求導(dǎo)公式檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：（）′＝﹣，A錯(cuò)誤；（lnx）′＝，B正確；（ex）′＝ex，C正確；（sinx）′＝cosx，D正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)題意，計(jì)算即可得出答案．【解答】解：4名學(xué)生與1名老師站成一排照相，老師站在正中間，相當(dāng)于4名學(xué)生的全排列，有種不同的站法．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的求導(dǎo)公式及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可求解．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝ln（2x+3），則f′（x）＝?（2x+3）′＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象分析4個(gè)時(shí)間段內(nèi)位移的變化情況，可得汽車的運(yùn)動(dòng)情況，可以判斷4個(gè)結(jié)論是否正確，綜合可得可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)結(jié)論：①在[0，t1]時(shí)間段內(nèi)，位移直線增加，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)勻速行駛，①正確；②在[t1，t2]時(shí)間段內(nèi)，位移增加且越來(lái)越快，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)不斷加速行駛，②正確；③在[t2，t3]時(shí)間段內(nèi)，位移增加且越來(lái)越慢，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)不斷減速行駛，③正確；④在[t3，t4]時(shí)間段內(nèi)，位移不變，則汽車在該時(shí)間段內(nèi)靜止不動(dòng)，④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖像分析，涉及函數(shù)變化情況的分析，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)題意，易得3名同學(xué)中每人有4種報(bào)名方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：因?yàn)?名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)，籃球隊(duì)，乒乓球隊(duì)，排球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，由分步乘法計(jì)數(shù)得到為43，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，解題時(shí)注意題干條件中“每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)”．7．【分析】利用二項(xiàng)式定理求出展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)，由此即可求解．【解答】解：展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)為1+x＝（﹣40+80）x3＝40x3，所以x3的系數(shù)為40．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解．【解答】解：f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx，因?yàn)椹仸校紉＜π，﹣時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)﹣時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】根據(jù)新定義，利用排列組合求解，即可求得結(jié)論．【解答】解：由題意，個(gè)位上的數(shù)字為0時(shí)，有＝36個(gè)；個(gè)位數(shù)字不是0時(shí)，有＝168個(gè)，得各個(gè)數(shù)位上無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位凸數(shù)有36+168＝204（個(gè)）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的簡(jiǎn)單運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】先研究函數(shù)的單調(diào)性，再在1.002附近選擇合理的值進(jìn)行求解近似代替值，利用單調(diào)性進(jìn)行比較即可．【解答】解：由題意可知f（x）＝，f′（x）＝＞0∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增選擇1.002附近的點(diǎn)x0＝1＜1.002，∴f（1）+f′（1）（1.002﹣1）＞m．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．【分析】直接利用組合數(shù)公式和階乘的定義求解．【解答】解：×3!＝×3×2×1＝60．故答案為：60．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了組合數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出n的值，再求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為2，由此即可求解．【解答】解：因?yàn)檎归_(kāi)式中第五項(xiàng)與第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，則n＝9，所以二項(xiàng)式（）9的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為＝，r＝0，1，…，9，令18﹣8r＝2，解得r＝2，則展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為?（﹣1）2＝36．故答案為：9；36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由已知結(jié)合函數(shù)平均變化率的定義即可直接求解．【解答】解：由題意得，＝＝15.6m/s；因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)（0.3，0.38）和（0.6，5.06）的直線方程為x﹣0.38＝15.6（t﹣0.3），當(dāng)t＝0.4時(shí)，x＝1.94m．故答案為：15.6；1.94．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)平均變化率的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】求出導(dǎo)數(shù)f′（x），利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最小值，即斜率最小值，取得最小值時(shí)x的值為切點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入函數(shù)式可得切點(diǎn)縱坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式可得切線方程．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣6x＝3（x﹣1）2﹣3，當(dāng)x＝1時(shí)，f′（x）取得最小值為﹣3，即斜率的最小值為﹣3，又f（1）＝1﹣3+1＝﹣1，則此時(shí)切點(diǎn)為（1，﹣1），所以斜率最小的切線方程為：y﹣（﹣1）＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣2＝0．故答案為：3x+y﹣2＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、二次函數(shù)的最值求解，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解分析能力，屬于中檔題．15．【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合極00值存在條件及已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入客氣a，b，c，判斷函數(shù)的單調(diào)性可檢驗(yàn)①②，結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性檢驗(yàn)③④．【解答】解：（1）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，①正確，②錯(cuò)誤；故f（1）＝a+b+c﹣＝，即a+b+c＝5，因?yàn)閒′（x）＝3ax2+2bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（2，0），所以，解得a＝2，b＝﹣9，c＝12，所以f（x）＝2x3﹣9x2+12x﹣，則f（3﹣x）+f（x）＝2x3﹣9x2+12x﹣+2（3﹣x）3﹣9（3﹣x）2+12（3﹣x）﹣＝2[x3+（3﹣x）3]﹣9[x2+（3﹣x）2]+12[x+3﹣x）]﹣7＝6[x2+（3﹣x）2﹣x（3﹣x）]﹣9（2x2﹣6x+9）+29＝18x2﹣54x+54﹣18x2+54x﹣81+29＝2，即f（x）的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，③正確；則f（1）+f（2）＝2，f（）+f（）＝2，2f（）＝2，f（3）＝2﹣f（0）＝，故f（）+f（1）+f（）+f（2）+f（）+f（3）＝，④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，還考查了對(duì)稱性的判斷及應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。16．【分析】（Ⅰ）利用插空法求解即可．（Ⅱ）（i）利用組合數(shù)求解即可．（ii）通過(guò)逆向思維求解即可．【解答】解：（Ⅰ）將6名學(xué)生排成一排，且女生不相鄰的排法：＝480種．（Ⅱ）從6名中選出3人參加某公益活動(dòng)．（i）共有＝20種不同的選擇方法．（ii）如果至少有1位女生入選，共有＝16種不同的選擇方法．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合、兩個(gè)基本原理的實(shí)際應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．17．【分析】（Ⅰ）利用二項(xiàng)式定理求出展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)，由此即可求解；（Ⅱ）分別令x＝1，x＝﹣1，聯(lián)立方程即可求解．【解答】解：（Ⅰ）展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)為＝﹣40x2，所以a2＝﹣40；（Ⅱ）令x＝1，則a0+a1+a2+...+a5＝（2﹣1）5＝1①，令x＝﹣1，則a0﹣a1+...﹣a5＝（﹣2﹣1）5＝﹣35＝﹣243②，則可得：a1+a3+a5＝＝122．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到賦值法，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可；（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，然后判斷導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)左右的導(dǎo)數(shù)符號(hào)加以判斷．【解答】解：（Ⅰ）定義域?yàn)镽，令f′（x）＝x2﹣2ax+（2a﹣1）＝[x﹣（2a﹣1）]（x﹣1）＝0得x＝1或2a﹣1，①當(dāng)a＝1時(shí)，f′（x）＝（x﹣1）2≥0，f（x）為增函數(shù)；②當(dāng)a＜1時(shí)，f′（x）＜0?2a﹣1＜x＜1，f′（x）＞0?x＜2a﹣1或x＞1，此時(shí)f（x）的遞增區(qū)間為（﹣∞，2a﹣1）和（1，+∞），遞減區(qū)間為（2a﹣1，1）；③當(dāng)a＞1時(shí)，f′（x）＜0?1＜x＜2a﹣1，f′（x）＞0?x＞2a﹣1或x＜1，此時(shí)f（x）的遞增區(qū)間為（2a﹣1，+∞）和（﹣∞，1），遞減區(qū)間為（1，2a﹣1）；綜上可知：當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（﹣∞，2a﹣1）和（1，+∞），遞減區(qū)間為（2a﹣1，1）；當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（2a﹣1，+∞）和（﹣∞，1），遞減區(qū)間為（1，2a﹣1）；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可知，a＝﹣1時(shí)，f（x）＝x3+x2﹣3x+1f（x）的遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣3）和（1，+∞），遞減區(qū)間為（﹣3，1），所以f（x）的極大值為f（﹣3）＝10，極小值為f（1）＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的基本思路，屬于中檔題．19．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意求出三棱柱的高，再根據(jù)柱體的體積公式即可得答案；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求解即可．【解答】解：（Ⅰ）如圖所示：由題意可知|AB|＝＝﹣，∠CAB＝30°，則1.5﹣x＞0，可得0＜x＜1.5，所以|BC|＝|AB|?tan30°＝（﹣）＝﹣，即三棱柱的高為（﹣）m，所以V＝Sh＝x2?（﹣）＝x2﹣，所以V（x）＝x2﹣，定義域?yàn)椋?，）；（Ⅱ）因?yàn)閂（x）＝x2﹣，所以V′（x）＝x﹣＝x（1﹣x），又因?yàn)閤∈（0，），所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，V′（x）＞0，V（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，）時(shí)，V′（x）＜0，V（x）單調(diào)遞減；所以Vmax＝V（1）＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求三棱柱的體積，導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）利用切線方程建立方程組求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）確定g（x）的解析式，再求導(dǎo)即可求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)m（x）＝f（x）﹣xe﹣x（x≥0），利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可證明．【解答】解：（I）．因?yàn)閥＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x﹣2y+2ln2﹣1＝0，所以有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）有f（x）＝ln（x+1），所以，定義域?yàn)椋ī?，+∞）．則．令，解得x＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，g′（x）＜0，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣1，0）．（Ⅲ）證明：令函數(shù)m（x）＝f（x）﹣xe﹣x（x≥0），所以．令函數(shù)t（x）＝ex+x2﹣1（x≥0），所以t′（x）＝ex+2x＞0恒成立，所以函數(shù)t（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，所以t