數(shù)列求通項(xiàng)公式教學(xué)設(shè)計(jì)?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)學(xué)生能夠理解數(shù)列通項(xiàng)公式的概念，明確其對(duì)于數(shù)列的重要性。熟練掌握并運(yùn)用觀察法、累加法、累乘法、構(gòu)造法等常見方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。通過(guò)對(duì)不同類型數(shù)列通項(xiàng)公式求解方法的探究，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。2.過(guò)程與方法目標(biāo)經(jīng)歷對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的探索過(guò)程，體會(huì)從特殊到一般、歸納與類比等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的自主探究能力。在求解數(shù)列通項(xiàng)公式的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生分析問題、尋找解題思路，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過(guò)數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的概念及常見的求通項(xiàng)公式的方法，如觀察法、累加法、累乘法、構(gòu)造法等。能夠根據(jù)數(shù)列的已知條件，準(zhǔn)確選擇合適的方法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.教學(xué)難點(diǎn)對(duì)不同類型數(shù)列特征的準(zhǔn)確把握，以便正確選擇求通項(xiàng)公式的方法。構(gòu)造法中對(duì)新數(shù)列的構(gòu)造思路及變形技巧，尤其是對(duì)于一些復(fù)雜數(shù)列的構(gòu)造。三、教學(xué)方法1.講授法：系統(tǒng)地講解數(shù)列通項(xiàng)公式的概念、求通項(xiàng)公式的方法及步驟，使學(xué)生對(duì)新知識(shí)有初步的認(rèn)識(shí)。2.討論法：組織學(xué)生對(duì)一些典型例題進(jìn)行討論，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，分享自己的思路和方法，促進(jìn)學(xué)生之間的交流與合作，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。3.練習(xí)法：通過(guò)適量的課堂練習(xí)和課后作業(yè)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，提高運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，及時(shí)反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，以便調(diào)整教學(xué)策略。四、教學(xué)過(guò)程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）通過(guò)多媒體展示以下幾個(gè)數(shù)列：1.1，2，3，4，5，...2.2，4，6，8，10，...3.1，3，5，7，9，...4.1，4，9，16，25，...引導(dǎo)學(xué)生觀察這些數(shù)列的規(guī)律，思考如何用一個(gè)式子來(lái)表示數(shù)列中的每一項(xiàng)。讓學(xué)生嘗試寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而引出本節(jié)課的主題數(shù)列求通項(xiàng)公式。（二）講解新課（30分鐘）1.數(shù)列通項(xiàng)公式的概念（5分鐘）結(jié)合導(dǎo)入部分學(xué)生寫出的式子，給出數(shù)列通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的第\(n\)項(xiàng)\(a_{n}\)與\(n\)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。強(qiáng)調(diào)通項(xiàng)公式的作用：它可以清晰地反映數(shù)列的每一項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，幫助我們更好地研究數(shù)列的性質(zhì)。舉例說(shuō)明一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式，如上述展示數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為\(a_{n}=n\)，\(a_{n}=2n\)，\(a_{n}=2n1\)，\(a_{n}=n^{2}\)。2.求通項(xiàng)公式的方法觀察法（5分鐘）給出一些簡(jiǎn)單數(shù)列，如：\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{2}{3}\)，\(\frac{3}{4}\)，\(\frac{4}{5}\)，...\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)，...引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列的各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，嘗試寫出通項(xiàng)公式。對(duì)于第一個(gè)數(shù)列，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)分子是項(xiàng)數(shù)\(n\)，分母比分子大\(1\)，所以通項(xiàng)公式為\(a_{n}=\frac{n}{n+1}\)。對(duì)于第二個(gè)數(shù)列，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列的符號(hào)正負(fù)交替，且絕對(duì)值都為\(1\)，所以通項(xiàng)公式為\(a_{n}=(1)^{n+1}\)。總結(jié)觀察法的步驟：先觀察數(shù)列各項(xiàng)的特征，包括數(shù)字規(guī)律、符號(hào)規(guī)律、與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系等，然后嘗試用一個(gè)式子來(lái)表示這些規(guī)律，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。累加法（8分鐘）給出數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}a_{n}=2n\)，求\(a_{n}\)。分析：由\(a_{n+1}a_{n}=2n\)可得：\(a_{2}a_{1}=2\times1\)\(a_{3}a_{2}=2\times2\)\(a_{4}a_{3}=2\times3\)...\(a_{n}a_{n1}=2(n1)\)將以上\(n1\)個(gè)式子累加得：\[\begin{align*}a_{n}a_{1}&=2\times1+2\times2+2\times3+\cdots+2(n1)\\&=2(1+2+3+\cdots+(n1))\end{align*}\]根據(jù)等差數(shù)列求和公式\(1+2+3+\cdots+(n1)=\frac{(n1)n}{2}\)，可得：\[\begin{align*}a_{n}a_{1}&=2\times\frac{(n1)n}{2}\\a_{n}&=a_{1}+n(n1)\end{align*}\]又因?yàn)閈(a_{1}=1\)，所以\(a_{n}=n^{2}n+1\)。總結(jié)累加法的適用條件和步驟：適用條件：已知\(a_{n+1}a_{n}=f(n)\)，其中\(zhòng)(f(n)\)是關(guān)于\(n\)的函數(shù)。步驟：寫出\(a_{n}a_{n1}=f(n1)\)，\(a_{n1}a_{n2}=f(n2)\)，...，\(a_{2}a_{1}=f(1)\)，然后將這些式子累加，通過(guò)化簡(jiǎn)求出\(a_{n}\)。累乘法（7分鐘）給出數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=2\)，\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n+1}{n}\)，求\(a_{n}\)。分析：由\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n+1}{n}\)可得：\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{2}{1}\)\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{3}{2}\)\(\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{4}{3}\)...\(\frac{a_{n}}{a_{n1}}=\frac{n}{n1}\)將以上\(n1\)個(gè)式子累乘得：\[\begin{align*}\frac{a_{n}}{a_{1}}&=\frac{2}{1}\times\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}\times\cdots\times\frac{n}{n1}\\\frac{a_{n}}{a_{1}}&=n\end{align*}\]又因?yàn)閈(a_{1}=2\)，所以\(a_{n}=2n\)。總結(jié)累乘法的適用條件和步驟：適用條件：已知\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=f(n)\)，其中\(zhòng)(f(n)\)是關(guān)于\(n\)的函數(shù)。步驟：寫出\(\frac{a_{2}}{a_{1}}=f(1)\)，\(\frac{a_{3}}{a_{2}}=f(2)\)，...，\(\frac{a_{n}}{a_{n1}}=f(n1)\)，然后將這些式子累乘，通過(guò)化簡(jiǎn)求出\(a_{n}\)。構(gòu)造法（5分鐘）對(duì)于形如\(a_{n+1}=pa_{n}+q\)（\(p\neq1\)，\(p\)，\(q\)為常數(shù)）的數(shù)列，我們可以通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)公式。例如：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)，求\(a_{n}\)。分析：設(shè)\(a_{n+1}+x=2(a_{n}+x)\)，展開得\(a_{n+1}=2a_{n}+x\)，對(duì)比\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)，可得\(x=1\)。所以數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}+1\}\)是以\(a_{1}+1=2\)為首項(xiàng)，\(2\)為公比的等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得\(a_{n}+1=2\times2^{n1}=2^{n}\)，則\(a_{n}=2^{n}1\)。總結(jié)構(gòu)造法的思路：通過(guò)對(duì)給定的遞推公式進(jìn)行變形，構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列或等差數(shù)列，然后利用新數(shù)列的通項(xiàng)公式求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式。（三）例題講解（15分鐘）1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}=n^{2}+n\)，求\(a_{n}\)。分析：當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(a_{1}=S_{1}=1^{2}+1=2\)。當(dāng)\(n\geq2\)時(shí)，\(a_{n}=S_{n}S_{n1}=(n^{2}+n)[(n1)^{2}+(n1)]\)\[\begin{align*}&=(n^{2}+n)(n^{2}2n+1+n1)\\&=n^{2}+nn^{2}+2nn\\&=2n\end{align*}\]當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(a_{1}=2\)也滿足\(a_{n}=2n\)。所以\(a_{n}=2n\)。2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=a_{n}+2n+1\)，求\(a_{n}\)。分析：由\(a_{n+1}=a_{n}+2n+1\)可得：\(a_{2}a_{1}=2\times1+1\)\(a_{3}a_{2}=2\times2+1\)\(a_{4}a_{3}=2\times3+1\)...\(a_{n}a_{n1}=2(n1)+1\)將以上\(n1\)個(gè)式子累加得：\[\begin{align*}a_{n}a_{1}&=(2\times1+1)+(2\times2+1)+(2\times3+1)+\cdots+(2(n1)+1)\\&=2(1+2+3+\cdots+(n1))+(n1)\end{align*}\]根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得：\[\begin{align*}a_{n}a_{1}&=2\times\frac{(n1)n}{2}+(n1)\\&=n^{2}n+n1\\&=n^{2}1\end{align*}\]又因?yàn)閈(a_{1}=1\)，所以\(a_{n}=n^{2}\)。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=3a_{n}\)，求\(a_{n}\)。分析：由\(a_{n+1}=3a_{n}\)可知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)是以\(a_{1}=2\)為首項(xiàng)，\(3\)為公比的等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得\(a_{n}=2\times3^{n1}\)。通過(guò)這三道例題，進(jìn)一步鞏固所學(xué)的求通項(xiàng)公式的方法，讓學(xué)生掌握如何根據(jù)數(shù)列的不同條件選擇合適的方法求解通項(xiàng)公式。（四）課堂練習(xí)（10分鐘）1.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}=3^{n}1\)，求\(a_{n}\)。2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=3\)，\(a_{n+1}a_{n}=n\)，求\(a_{n}\)。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+3\)，求\(a_{n}\)。讓學(xué)生在課堂上獨(dú)立完成這三道練習(xí)題，教師巡視指導(dǎo)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題并給予解答。通過(guò)課堂練習(xí)，及時(shí)反饋學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，以便調(diào)整教學(xué)策略。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，包括數(shù)列通項(xiàng)公式的概念、求通項(xiàng)公式的方法（觀察法、累加法、累乘法、構(gòu)造法）以及在求解過(guò)程中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法（如從特殊到一般、歸納與類比等）。2.強(qiáng)調(diào)不同方法的適用條件和步驟，讓學(xué)生明白如何根據(jù)數(shù)列的特征選擇合適的方法求通項(xiàng)公式。3.鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)鞏固所學(xué)知識(shí)，多做一些相關(guān)練習(xí)題，加深對(duì)數(shù)列求通項(xiàng)公式的理解和掌握。（六）布置作業(yè)（5分鐘）1.必做題：課本P[具體頁(yè)碼]練習(xí)第[具體題號(hào)]題，習(xí)題第[具體題號(hào)]題。2.選做題：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)滿足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+2a_{n}}\)，求\(a_{n}\)。必做題旨在鞏固本節(jié)課所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，選做題則具有一定的挑戰(zhàn)性，供學(xué)有余力的學(xué)生拓展提高。五、教學(xué)反思通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對(duì)數(shù)