山東省濟寧市汶上一中2025屆高三數學試題模擬卷試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區的叫法）、撞球（中國地區的叫法）控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術，一次臺球技術表演節目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F處的目標球，最后停在點C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm2．已知曲線，動點在直線上，過點作曲線的兩條切線，切點分別為，則直線截圓所得弦長為（）A． B．2 C．4 D．3．記個兩兩無交集的區間的并集為階區間如為2階區間，設函數，則不等式的解集為（）A．2階區間 B．3階區間 C．4階區間 D．5階區間4．已知函數，，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（）A．1 B． C． D．5．在中，點D是線段BC上任意一點，，，則（）A． B．-2 C． D．26．一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．7．若與互為共軛復數，則（）A．0 B．3 C．－1 D．48．已知函數是奇函數，且，若對，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．10．《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現在有一根金箠，長五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設，假設金箠由粗到細各尺重量依次成等差數列，則從粗端開始的第二尺的重量是（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤11．在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知函數，則（）A．函數在上單調遞增 B．函數在上單調遞減C．函數圖像關于對稱 D．函數圖像關于對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將一顆質地均勻的正方體骰子（每個面上分別寫有數字1，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數之和是6的的概率是___．14．己知函數，若曲線在處的切線與直線平行，則__________.15．在平面直角坐標系中，曲線上任意一點到直線的距離的最小值為________．16．（5分）有一道描述有關等差與等比數列的問題:有四個和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列，已知前三個和尚的身高依次成等差數列，后三個和尚的身高依次成等比數列，且前三個和尚的身高之和為cm，中間兩個和尚的身高之和為cm，則最高的和尚的身高是____________cm．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中點．證明：；設，點M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．18．（12分）橢圓：的離心率為，點為橢圓上的一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點，為橢圓的下頂點，求證：對于任意的實數，直線的斜率之積為定值.19．（12分）設拋物線的焦點為，準線為，為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經過點.（1）求的值及該圓的方程；（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.20．（12分）已知函數有兩個極值點，.（1）求實數的取值范圍；（2）證明：.21．（12分）在中，角的對邊分別為，且，．（1）求的值；（2）若求的面積．22．（10分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎全部領域都支持手機支付.出門不帶現金的人數正在迅速增加。中國人民大學和法國調查公司益普索合作，調查了騰訊服務的6000名用戶，從中隨機抽取了60名，統計他們出門隨身攜帶現金（單位：元）如莖葉圖如示，規定：隨身攜帶的現金在100元以下（不含100元）的為“手機支付族”，其他為“非手機支付族”.（1）根據上述樣本數據，將列聯表補充完整，并判斷有多大的把握認為“手機支付族”與“性別”有關？（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務的用戶中隨機抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機支付族”的人數為，求隨機變量的期望和方差；（3）某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優惠方案，方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元；方案二：手機支付消費每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機支付購買某樣價值1200元的商品，請從實際付款金額的數學期望的角度分析，選擇哪種優惠方案更劃算？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

過點做正方形邊的垂線，如圖，設，利用直線三角形中的邊角關系，將用表示出來，根據，列方程求出，進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線，如圖，設，則，，則，因為，則，整理化簡得，又，得，.即該正方形的邊長為.故選：D.【點睛】本題考查直角三角形中的邊角關系，關鍵是要構造直角三角形，是中檔題.2、C【解析】

設，根據導數的幾何意義，求出切線斜率，進而得到切線方程，將點坐標代入切線方程，抽象出直線方程，且過定點為已知圓的圓心，即可求解.【詳解】圓可化為.設，則的斜率分別為，所以的方程為，即，，即，由于都過點，所以，即都在直線上，所以直線的方程為，恒過定點，即直線過圓心，則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓位置關系、直線與拋物線位置關系，拋物線兩切點所在直線求解是解題的關鍵，屬于中檔題.3、D【解析】

可判斷函數為奇函數，先討論當且時的導數情況，再畫出函數大致圖形，將所求區間端點值分別看作對應常函數，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變為，由圖像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區間.故選：D【點睛】本題考查由函數的奇偶性，單調性求解對應自變量范圍，導數法研究函數增減性，數形結合思想，轉化與化歸思想，屬于難題4、C【解析】

根據總有恒成立可構造函數,求導后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據題意化簡可得,求得,再換元求導分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設,則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調遞增,無最大值.若,則當時,,在上單調遞減,當時,,在上單調遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當時,,在遞減；當時,,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C【點睛】本題主要考查了根據導數求解函數的最值問題,需要根據題意分析導數中參數的范圍,再分析函數的最值,進而求導構造函數求解的最大值.屬于難題.5、A【解析】

設，用表示出，求出的值即可得出答案.【詳解】設由，，.故選：A【點睛】本題考查了向量加法、減法以及數乘運算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎題.6、D【解析】

設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式,進而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎題.7、C【解析】

計算，由共軛復數的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復數概念得：，.故選：C【點睛】本題主要考查了復數的運算，共軛復數的概念.8、A【解析】

先根據函數奇偶性求得，利用導數判斷函數單調性，利用函數單調性求解不等式即可.【詳解】因為函數是奇函數，所以函數是偶函數.，即，又，所以，.函數的定義域為，所以，則函數在上為單調遞增函數.又在上，，所以為偶函數，且在上單調遞增.由，可得，對恒成立，則，對恒成立，，得，所以的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題考查利用函數單調性求解不等式，根據方程組法求函數解析式，利用導數判斷函數單調性，屬壓軸題.9、D【解析】分析：根據等比數列的定義可知每一個單音的頻率成等比數列，利用等比數列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數列.等比數列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數列是等比數列；（2）等比中項公式法，若數列中，且（），則數列是等比數列.10、B【解析】

依題意，金箠由粗到細各尺重量構成一個等差數列，則，由此利用等差數列性質求出結果．【詳解】設金箠由粗到細各尺重量依次所成得等差數列為，設首項，則，公差，.故選B【點睛】本題考查了等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．11、C【解析】分析：從兩個方向去判斷，先看能推出三角形的形狀是銳角三角形，而非鈍角三角形，從而得到充分性不成立，再看當三角形是鈍角三角形時，也推不出成立，從而必要性也不滿足，從而選出正確的結果.詳解：由題意可得，在中，因為，所以，因為，所以，，結合三角形內角的條件，故A,B同為銳角，因為，所以，即，所以，因此，所以是銳角三角形，不是鈍角三角形，所以充分性不滿足，反之，若是鈍角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以為既不充分也不必要條件，故選D.點睛：該題考查的是有關充分必要條件的判斷問題，在解題的過程中，需要用到不等式的等價轉化，余弦的和角公式，誘導公式等，需要明確對應此類問題的解題步驟，以及三角形形狀對應的特征.12、C【解析】

依題意可得，即函數圖像關于對稱，再求出函數的導函數，即可判斷函數的單調性；【詳解】解：由，，所以函數圖像關于對稱，又，在上不單調.故正確的只有C，故選：C【點睛】本題考查函數的對稱性的判定，利用導數判斷函數的單調性，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出基本事件總數6×6＝36，再由列舉法求出“點數之和等于6”包含的基本事件的個數，由此能求出“點數之和等于6”的概率．【詳解】基本事件總數6×6＝36，點數之和是6包括共5種情況，則所求概率是．故答案為【點睛】本題考查古典概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．14、【解析】

先求導，再根據導數的幾何意義，有求解.【詳解】因為函數，所以，所以，解得.故答案為：【點睛】本題考查導數的幾何意義，還考查運算求解能力以及數形結合思想，屬于基礎題.15、【解析】

解法一：曲線上任取一點，利用基本不等式可求出該點到直線的距離的最小值；解法二：曲線函數解析式為，由求出切點坐標，再計算出切點到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一（基本不等式）：在曲線上任取一點，該點到直線的距離為，當且僅當時，即當時，等號成立，因此，曲線上任意一點到直線距離的最小值為；解法二（導數法）：曲線的函數解析式為，則，設過曲線上任意一點的切線與直線平行，則，解得，當時，到直線的距離；當時，到直線的距離.所以曲線上任意一點到直線的距離的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查曲線上一點到直線距離最小值的計算，可轉化為利用切線與直線平行來找出切點，轉化為切點到直線的距離，也可以設曲線上的動點坐標，利用基本不等式法或函數的最值進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16、【解析】

依題意設前三個和尚的身高依次為，第四個(最高)和尚的身高為，則，解得，又，解得，又因為成等比數列,則公比，故.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由平面平面的性質定理得平面，.在中，由勾股定理得，平面，即可得；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，由空間向量法和異面直線與所成角的余弦值為，得點M的坐標，從而求出二面角的余弦值.【詳解】（1）平面平面，平面平面=，，所以.由面面垂直的性質定理得平面，，在中，，，由正弦定理可得：，，即，平面，.（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設，則，,得，，而，設平面的法向量為，由可得：，令，則，取平面的法向量，則，故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養和向量法的合理運用，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解得，，進而得到橢圓方程；（2）設直線，代入橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，以及點在直線上滿足直線方程，化簡整理，即可得到定值．【詳解】（1）因為，所以，①又橢圓過點，所以②由①②，解得所以橢圓的標準方程為.（2）證明設直線：，聯立得，設，則易知故所以對于任意的，直線的斜率之積為定值.【點睛】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理，考查運算能力，屬于中檔題．19、（1），圓的方程為：.（2）答案見解析【解析】

（1）根據題意，可知點的坐標為，即可求出的值，即可求出該圓的方程；（2）由題易知，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，與拋物線聯立方程組，根據，求得，化簡解得，進而求得點的坐標為，分別求出，，利用向量的數量積為0，即可證出.【詳解】解：（1）易知點的坐標為，所以，解得.又圓的圓心為，所以圓的方程為.（2）證明易知，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，代入的方程，得.令，得，所以，解得.將代入的方程，得，即點的坐標為.所以，，.故.【點睛】本題考查拋物線的標準方程和圓的方程，考查直線和拋物線的位置關系，利用聯立方程組、求交點坐標以及向量的數量積，考查解題能力和計算能力.20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）先求得導函數，根據兩個極值點可知有兩個不等實根，構造函數，求得；討論和兩種情況，即可確定零點的情況，即可由零點的情況確定的取值范圍；（2）根據極值點定義可知，，代入不等式化簡變形后可知只需證明；構造函數，并求得，進而判斷的單調區間，由題意可知，并設，構造函數，并求得，即可判斷在內的單調性和最值，進而可得，即可由函數性質得，進而由單調性證明，即證明，從而證明原不等式成立.【詳解】（1）函數則，因為存在兩個極值點，，所以有兩個不等實根.設，所以.①當時，，所以在上單調遞增，至多有一個零點，不符合題意.②當時，令得，0減極小值增所以，即.又因為，，所以在區間和上各有一個零點，符合題意，綜上，實數的取值范圍為.（2）證明：由題意知，，所以，.要證明，只