江西省安福第二中學2025年高三第七次月考請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，若，則（）A． B． C．-8 D．82．如圖，正方形網格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（）A．2對 B．3對C．4對 D．5對3．已知為非零向量，“”為“”的（）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．設向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P是C的右支上一點，連接與y軸交于點M，若（O為坐標原點），，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．6．函數（或）的圖象大致是（）A． B． C． D．7．已知數列的前項和為，且，，，則的通項公式（）A． B． C． D．8．閱讀名著，品味人生，是中華民族的優良傳統.學生李華計劃在高一年級每周星期一至星期五的每天閱讀半個小時中國四大名著：《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不同的閱讀計劃共有（）A．120種 B．240種 C．480種 D．600種9．已知函數，若時，恒成立，則實數的值為（）A． B． C． D．10．要得到函數的圖象，只需將函數圖象上所有點的橫坐標（）A．伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度B．伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度C．縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度D．縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度11．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．復數的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，的夾角為30°，，則_________.14．函數的單調增區間為__________.15．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則________．16．已知，復數且（為虛數單位），則__________，_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，己知圓和雙曲線，記與軸正半軸、軸負半軸的公共點分別為、，又記與在第一、第四象限的公共點分別為、.（1）若，且恰為的左焦點，求的兩條漸近線的方程；（2）若，且，求實數的值；（3）若恰為的左焦點，求證：在軸上不存在這樣的點，使得.18．（12分）已知的內角、、的對邊分別為、、，滿足.有三個條件：①；②；③.其中三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件完成下面兩個問題：（1）求；（2）設為邊上一點，且，求的面積.19．（12分）已知數列是各項均為正數的等比數列，，且，，成等差數列．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，為數列的前項和，記，證明：．20．（12分）在直角坐標系中，是過定點且傾斜角為的直線；在極坐標系（以坐標原點為極點，以軸非負半軸為極軸，取相同單位長度）中，曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的參數方程，并將曲線的方程化為直角坐標方程；（2）若曲線與直線相交于不同的兩點，求的取值范圍.21．（12分）已知函數，.（1）判斷函數在區間上的零點的個數；（2）記函數在區間上的兩個極值點分別為、，求證：.22．（10分）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先求出向量,的坐標，然后由可求出參數的值.【詳解】由向量，，則，，又，則，解得.故選：B【點睛】本題考查向量的坐標運算和模長的運算，屬于基礎題.2、C【解析】

畫出該幾何體的直觀圖，易證平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，從而可選出答案．【詳解】該幾何體是一個四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面，作PO⊥AD于O，則有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面平面，同理可證：平面平面，由三視圖可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對．【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結構特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題．3、B【解析】

由數量積的定義可得,為實數,則由可得,根據共線的性質,可判斷；再根據判斷,由等價法即可判斷兩命題的關系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以；若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數量積的應用.4、B【解析】

由模長公式求解即可.【詳解】，當時取等號，所以本題答案為B.【點睛】本題考查向量的數量積，考查模長公式，準確計算是關鍵，是基礎題.5、C【解析】

利用三角形與相似得，結合雙曲線的定義求得的關系，從而求得雙曲線的漸近線方程。【詳解】設，，由，與相似，所以，即，又因為，所以，，所以，即，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線幾何性質、漸近線方程求解，考查數形結合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力。6、A【解析】

確定函數的奇偶性，排除兩個選項，再求時的函數值，再排除一個，得正確選項．【詳解】分析知，函數（或）為偶函數，所以圖象關于軸對稱，排除B，C，當時，，排除D，故選：A．【點睛】本題考查由函數解析式選擇函數圖象，解題時可通過研究函數的性質，如奇偶性、單調性、對稱性等，研究特殊的函數的值、函數值的正負，以及函數值的變化趨勢，排除錯誤選項，得正確結論．7、C【解析】

利用證得數列為常數列，并由此求得的通項公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數列，所以，故.故選：C【點睛】本小題考查數列的通項與前項和的關系等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應用意識.8、B【解析】

首先將五天進行分組，再對名著進行分配，根據分步乘法計數原理求得結果.【詳解】將周一至周五分為組，每組至少天，共有：種分組方法；將四大名著安排到組中，每組種名著，共有：種分配方法；由分步乘法計數原理可得不同的閱讀計劃共有：種本題正確選項：【點睛】本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計數原理的應用，易錯點是忽略分組中涉及到的平均分組問題.9、D【解析】

通過分析函數與的圖象，得到兩函數必須有相同的零點，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數與的圖象，因為時，恒成立，于是兩函數必須有相同的零點，所以，解得．故選：D【點睛】本題主要考查函數的圖象的綜合應用和函數的零點問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10、B【解析】

分析：根據三角函數的圖象關系進行判斷即可．詳解：將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），

得到再將得到的圖象向左平移個單位長度得到故選B．點睛：本題主要考查三角函數的圖象變換，結合和的關系是解決本題的關鍵．11、B【解析】

或，從而明確充分性與必要性.【詳解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點睛】本題考查充分性與必要性，簡單三角方程的解法，屬于基礎題.12、B【解析】

對復數進行化簡計算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.【點睛】本題考查復數的計算，虛部的概念，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由求出，代入，進行數量積的運算即得.【詳解】，存在實數，使得.不共線，.，，，的夾角為30°，.故答案為：1.【點睛】本題考查向量共線定理和平面向量數量積的運算，屬于基礎題.14、【解析】

先求出導數，再在定義域上考慮導數的符號為正時對應的的集合，從而可得函數的單調增區間.【詳解】函數的定義域為.，令，則，故函數的單調增區間為：.故答案為：.【點睛】本題考查導數在函數單調性中的應用，注意先考慮函數的定義域，再考慮導數在定義域上的符號，本題屬于基礎題.15、【解析】

根據雙曲線的標準方程寫出雙曲線的漸近線方程，結合題意可求得正實數的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解析】∵復數且∴∴∴∴，故答案為，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（2）見解析．【解析】

（1）由圓的方程求出點坐標，得雙曲線的，再計算出后可得漸近線方程；（2）設，由圓方程與雙曲線方程聯立，消去后整理，可得，，由先求出，回代后求得坐標，計算；（3）由已知得，設，由圓方程與雙曲線方程聯立，消去后整理，可解得，，求出，從而可得，由，可知滿足要求的點不存在．【詳解】（1）由題意圓方程為，令得，∴，即，∴，，∴漸近線方程為．（2）由（1）圓方程為，，設，由得，(*)，，，，所以，即，解得，方程(*)為，即，，代入雙曲線方程得，∵在第一、四象限，∴，，∴．（3）由題意，，，，，設由得：，，由得，解得，，，所以，，，當且僅當三點共線時，等號成立，∴軸上不存在點，使得．【點睛】本題考查求漸近線方程，考查圓與雙曲線相交問題．考查向量的加法運算，本題對學生的運算求解能力要求較高，解題時都是直接求出交點坐標．難度較大，屬于困難題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）先求出角，進而可得出，則①②中有且只有一個正確，③正確，然后分①③正確和②③正確兩種情況討論，結合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值；（2）計算出和，計算出，可得出，進而可求得的面積.【詳解】（1）因為，所以，得，，，為鈍角，與矛盾，故①②中僅有一個正確，③正確.顯然，得.當①③正確時，由，得（無解）；當②③正確時，由于，，得；（2）如圖，因為，，則，則，.【點睛】本題考查解三角形綜合應用，涉及三角形面積公式和余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.19、（Ⅰ），；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由，且成等差數列，可求得q，從而可得本題答案；（Ⅱ）化簡求得，然后求得，再用裂項相消法求，即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）因為數列是各項均為正數的等比數列，，可設公比為q，，又成等差數列，所以，即，解得或（舍去），則，；（Ⅱ）證明：，，，則，因為，所以即.【點睛】本題主要考查等差等比數列的綜合應用，以及用裂項相消法求和并證明不等式，考查學生的運算求解能力和推理證明能力.20、（1）（為參數），；（2）【解析】分析：（1）直線的參數方程為（為參數），其中表示之間的距離，而極坐標方程可化為，從而的直角方程為.（2）設，則，利用在圓上得到滿足的方程，最后利用韋達定理就可求出兩條線段的和.詳解：（1）直線的參數方程為（為參數）.曲線的極坐標方程可化為.把，代入曲線的極坐標方程可得，即.（2）把直線的參數方程為（為參數）代入圓的方程可得：.∵曲線與直線相交于不同的兩點，∴，∴，又，∴.又，.∴，∵，∴，∴.∴的取值范圍是.點睛：（1）直線的參數方程有多種形式，其中一種為（為直線的傾斜角，是參數），這樣的參數方程中的參數有明確的幾何意義，它表示之間的距離.（2）直角坐標方程轉為極坐標方程的關鍵是利用公式，而極坐標方程轉化為直角坐標方程的關鍵是利用公式，后者也可以把極坐標方程變形盡量產生以便轉化.21、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）利用導數分析函數在區間上的單調性與極值，結合零點存在定理可得出結論；（2）設函數的極大值點和極小值點分別為、，由（1）知，，且滿足，，于是得出，由得，利用正切函數的單調性推導出，再利用正弦函數的單調性可得出結論.【詳解】（1），，，當時，，，，則函數在上單調遞增；當時，，，，則函數在上單調遞減；當時，，，，則函數在上單調遞增.，，，，.所以，函數在與不存在零點，在區間和上各存在一個零點.綜上所述，函數在區間上的零點的個數為；（2），.由（1）得，在區間與上存在零點，所以，函數在區間與上各存在一個極值點、，且，，且滿足即，，，又，即，，，，，由在上單調遞增，得，再由在上單調遞減，得，即.【點睛】本題考查利用導數研究函數的零點個數問題，同時也考查了利用導數證明不等式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.22、(1)見詳解；(2).【解析】

(1)因為折紙和粘合不改變矩形，和菱形內部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因為是平面垂線，所以易證.(2)在圖中找到對應的平面角，再求此平面角