第七章圖形的變化重難點18幾何壓軸突破五尺規(guī)作圖在壓軸題中的應用（11種題型匯總+專題訓練）【題型匯總】【考情分析】初中階段要求掌握五種基本的尺規(guī)作圖，經(jīng)常考查的是角平分線和線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，考查角度很多，可能是按要求進行尺規(guī)作圖，或者已知尺規(guī)作圖過程，說明所得結(jié)論的理由，又或者設計方案解決問題，無論哪種考查，理解尺規(guī)作圖的基本原理就能解決問題.【命題預測】在中考數(shù)學中，尺規(guī)作圖可能以選擇題、填空題或作圖題的形式出現(xiàn).如果出現(xiàn)在選擇題壓軸題中，通常會結(jié)合其他數(shù)學知識點進行綜合考查，如幾何計算、方程思維、構造方程的幾何等量關系聯(lián)想等.因此，考生需要熟練掌握尺規(guī)作圖的基本方法和原理，并能夠靈活運用它們來解決實際問題.【解題方法】尺規(guī)作圖的解題思路主要包括以下幾個步驟：1.理解題目要求：首先，你需要清楚理解題目要求你做什么.這可能涉及到繪制特定的圖形，如等邊三角形、正方形或圓，或者可能涉及到構造特定的線段或角度.2.分析已知條件：接下來，你需要分析題目給出的已知條件.這可能包括特定的線段長度、角度大小或其他幾何信息.這些信息將是你進行作圖的基礎.3.確定作圖步驟：基于題目要求和已知條件，你需要確定作圖的步驟.這可能涉及到使用直尺和圓規(guī)來繪制線段、作角、作垂線等.4.執(zhí)行作圖步驟：在確定了作圖步驟后，你需要按照步驟來執(zhí)行.在執(zhí)行過程中，你需要保持精確，確保每一步都符合題目要求和幾何原理.5.檢查答案：最后，你需要檢查你的答案.這可能涉及到驗證你的作圖是否滿足題目要求，或者驗證你的作圖是否符合幾何原理.題型01五種基本尺規(guī)作圖1．（2022·廣西貴港·中考真題）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．2．（2024·山東青島·中考真題）已知：如圖，四邊形ABCD，E為DC邊上一點．求作：四邊形內(nèi)一點P，使EP∥BC，且點P到AB,AD的距離相等．3．（2024·廣東·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°．

(1)實踐與操作：用尺規(guī)作圖法作∠A的平分線AD交BC于點D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應用與證明：在（1）的條件下，以點D為圓心，DC長為半徑作⊙D．求證：AB與⊙D相切．4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，在△ABC中，D是AB中點．(1)求作：AC的垂直平分線l（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若l交AC于點E，連接DE并延長至點F，使EF=2DE，連接BE，CF．補全圖形，并證明四邊形5．（2024·陜西·中考真題）如圖，已知直線l和l外一點A，請用尺規(guī)作圖法，求作一個等腰直角△ABC，使得頂點B和頂點C都在直線l上．（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）題型02根據(jù)題目中的作圖痕跡求解6．（2024·海南·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=8，以點D為圓心作弧，交AB于點M、N，分別以點M、N為圓心，大于12MN為半徑作弧，兩弧交于點F，作直線DF交AB于點E，若∠BCE=∠DCE，DE=4，則四邊形

A．22 B．21 C．20 D．187．（2024·湖北·中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓O上一點，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交BA于點M，交BC于點N，分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點D，畫射線BD，連接AC．若∠CAB=50°，則∠CBD的度數(shù)是（

A．30° B．25° C．20° D．15°8．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分別以頂點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M和點N，作直線MN分別與BC，AC交于點E和點F；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點H和點G，再分別以點H，點G為圓心，大于12HG的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP①∠C=30°；②AP垂直平分線段BF；③CE=2BE；④S△BEF其中，正確結(jié)論的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型03根據(jù)題目中的作圖痕跡判斷正誤9．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點．按下列要求作圖：①以點B為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段BO于點D，交BC于點E；②以點O為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段OA于點F；③以點F為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G，點G與點C在直線AB同側(cè)；④作直線OG，交AC于點M．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=10．（2022·遼寧營口·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點D，則以下推斷錯誤的是（

）A．BD=BC B．AD=BD C．∠ADB=108° D．CD=11．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線OP為∠AOB的平分線的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在?ABCD中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交BA，BC于點M，N；②分別以M，N為圓心，以大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點O；③作射線BO，交AD于點E，交CD延長線于點F．若CD=3，DE=2，下列結(jié)論錯誤的是（A．∠ABE=∠CBE B．BC=5C．DE=DF D．BE13．（2023·山東濟南·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，再分別以B，D為圓心，以大于12BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（A．∠BCE=36° B．BC=AEC．BEAC=514．（2023·福建·中考真題）閱讀以下作圖步驟：①在OA和OB上分別截取OC,OD，使OC=OD；②分別以C,D為圓心，以大于12CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點③作射線OM，連接CM,DM，如圖所示．根據(jù)以上作圖，一定可以推得的結(jié)論是（

）

A．∠1=∠2且CM=DM B．∠1=∠3且CM=DMC．∠1=∠2且OD=DM D．∠2=∠3且OD=DM題型04格點作圖題15．（2024·吉林長春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形ABCD，使其是軸對稱圖形且點C、D均在格點上．(1)在圖①中，四邊形ABCD面積為2；(2)在圖②中，四邊形ABCD面積為3；(3)在圖③中，四邊形ABCD面積為4．16．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段AB和線段CD的端點均在小正方形的頂點上．

(1)在方格紙中畫出△ABE，且AB=BE，∠ABE為鈍角（點(2)在方格紙中將線段CD向下平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后得到線段MN（點C的對應點是點M，點D的對應點是點N），連接EN，請直接寫出線段EN的長．17．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點O，A，B均在格點上，OA=3，AB=2，以O為圓心，OA為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：①過點A作切線AC，且AC=4（點C在A的上方）；②連接OC，交⊙O于點D；③連接BD，與AC交于點E．(1)求證：BD為⊙O的切線；(2)求AE的長度．18．（2021·湖北荊州·中考真題）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格圖形中小正方形的邊長都為1，線段ED與AD的端點都在網(wǎng)格小正方形的頂點（稱為格點）上．請在網(wǎng)格圖形中畫圖：(1)以線段AD為一邊畫正方形ABCD，再以線段DE為斜邊畫等腰直角三角形DEF，其中頂點F在正方形ABCD外；(2)在（1）中所畫圖形基礎上，以點B為其中一個頂點畫一個新正方形，使新正方形的面積為正方形ABCD和△DEF面積之和，其它頂點也在格點上．題型05利用無刻度直尺作圖19．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖是6×7的網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，半圓ACB上的點A，B，C(1)在圖中作出弧BC的中點D．(2)連結(jié)AC，作出∠BAC的角平分線．(3)在AB上作出點P，使得AP=AC．20．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的3×4網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條．(1)在圖（1）中，畫射線AD交BC于點D，使AD平分△ABC的面積；(2)在（1）的基礎上，在射線AD上畫點E，使∠ECB=∠ACB；(3)在圖（2）中，先畫點F，使點A繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°到點C，再畫射線AF交BC于點G；(4)在（3）的基礎上，將線段AB繞點G旋轉(zhuǎn)180°，畫對應線段MN（點A與點M對應，點B與點N對應）．21．（2023·湖北·中考真題）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法，用虛線表示作圖過程，實線表示作圖結(jié)果）．

(1)在圖1中作出以BE為對角線的一個菱形BMEN；(2)在圖2中作出以BE為邊的一個菱形BEPQ．題型06與尺規(guī)作圖有關的閱讀理解類問題22．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）主題學習：僅用一把無刻度的直尺作圖【閱讀理解】任務：如圖1，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE∥BC，僅用一把無刻度的直尺作DE、BC的中點．

操作：如圖2，連接BE、CD交于點P，連接AP交DE于點M，延長AP交BC于點N，則M、N分別為DE、BC的中點．理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以DMBN=AMAN，EMCN=AMAN．所以，DMEM=BNCN．同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得DMCN=MPNP，EMBN【實踐操作】請僅用一把無刻度的直尺完成下列作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（1）如圖3，l1∥l2，點E、①作線段EF的中點；②在①中作圖的基礎上，在直線l2上位于點Ｆ的右側(cè)作一點P，使得PF=EF（2）小明發(fā)現(xiàn)，如果重復上面的過程，就可以作出長度是已知線段長度的3倍、4倍、…k倍（k為正整數(shù)）的線段．如圖4，l1∥l2，已知點P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P3=P3【探索發(fā)現(xiàn)】請僅用一把無刻度的直尺完成作圖，要求：不寫作法，保留作圖痕跡．（3）如圖5，DE是△ABC的中位線．請在線段EC上作出一點Q，使得QE=123．（2024·甘肅蘭州·中考真題）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如下：①本條的兩端分別記為點M，N，先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置記為點B，連接AB；②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點M的落點記為點C（點A，B，C不在同一條直線上）；③連接CB并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在CB延長線上的落點記為點D；④用另一根足夠長的木條畫線，連接AD，AC，則畫出的∠DAC是直角．操作體驗：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2，BA=BC，請畫出以點A為頂點的直角，記作∠DAC；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學原理，請你補全括號里的證明依據(jù)：證明：∵AB=BC=BD，∴△ABC與△ABD是等腰三角形．∴∠BCA=∠BAC,∠BDA=∠BAD．（依據(jù)1______）∴∠BCA+∠BDA=∠BAC+∠BAD=∠DAC．∴∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°，（依據(jù)2______）∴2∠DAC=180°，∴∠DAC=90°．依據(jù)1：______；依據(jù)2：______；拓展探究：（3）小亮進一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學習的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個以O為頂點的直角，記作∠POQ，使得直角邊OP（或OQ）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）24．（2024·甘肅臨夏·中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形ABCDEF背景素材六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經(jīng)典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個圓分成六等份的問題．這個問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述．已知條件點C與坐標原點O重合，點D在x軸的正半軸上且坐標為2,0操作步驟①分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，兩弧交于點P；②以點P為圓心，PC長為半徑作圓；③以CD的長為半徑，在⊙P上順次截取DE=④順次連接DE，EF，F(xiàn)A，AB，BC，得到正六邊形ABCDEF．問題解決任務一根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）任務二將正六邊形ABCDEF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°，直接寫出此時點E所在位置的坐標：______．25．（2023·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC=OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．

請寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可．他查閱資料：我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

26．（2023·浙江金華·中考真題）如圖，為制作角度尺，將長為10，寬為4的矩形OABC分割成4×10的小正方形網(wǎng)格．在該矩形邊上取點P，來表示∠POA的度數(shù)．閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：

（答題卷用）作法（如圖）結(jié)論

①在CB上取點P1，使C∠P1OA=45°，點P②以O為圓心，8為半徑作弧，與BC交于點P2∠P2OA=30°，點P③分別以O,P2為圓心，大于OP2長度一半的長為半徑作弧，相交于點E,F，連結(jié)EF與…④以P2為圓心，OP2的長為半徑作弧，與射線CB交于點D，連結(jié)OD交AB…(1)分別求點P3(2)用直尺和圓規(guī)在該矩形的邊上作點P5，使該點表示37.5°（保留作圖痕跡，不寫作法）．題型07與尺規(guī)作圖有關的補充證明過程問題27．（2023·重慶·中考真題）學習了平行四邊形后，小虹進行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對角線的垂直平分線，那么這個平行四邊形的一組對邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分．她的解決思路是通過證明對應線段所在的兩個三角形全等得出結(jié)論．請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，作AC的垂直平分線交DC于點E，交AB于點F，垂足為點O．（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線，EF垂直平分AC，垂足為點O．求證：OE=OF．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB．∴∠ECO=①．∵EF垂直平分AC，∴②．又∠EOC=___________③．∴ΔCOE?ΔAOFASA小虹再進一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對角線AC中點的直線與平行四邊形一組對邊相交形成的線段均有此特征．請你依照題意完成下面命題：過平行四邊形對角線中點的直線④．28．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）已知：如圖，點M在∠AOB的邊OA上．求作：射線MN，使MN∥OB．且點N在∠AOB的平分線上．作法：①以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交射線OA，OB于點C，D．②分別以點C，D為圓心．大于12CD長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點③畫射線OP．④以點M為圓心，OM長為半徑畫弧，交射線OP于點N．⑤畫射線MN．射線MN即為所求．

(1)用尺規(guī)作圖，依作法補全圖形(保留作圖痕跡)；(2)根據(jù)以上作圖過程，完成下面的證明．證明：∵OP平分∠AOB．∴∠AON=①，∵OM=MN，∴∠AON=②，(

③

)．(括號內(nèi)填寫推理依據(jù))∴∠BON=∠ONM．∴MN∥OB．(

④

)．(填寫推理依據(jù))29．（2024·重慶·中考真題）在學習了矩形與菱形的相關知識后，小明同學進行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論．根據(jù)他的想法與思路，完成以下作圖與填空：(1)如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點．用尺規(guī)過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接AF，CE．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)已知：矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經(jīng)過對角線AC的中點O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①，∠OCF=∠OAE．∵點O是AC的中點，∴②．∴△CFO?△AEO（AAS）．∴③．又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結(jié)論：④．30．（2022·重慶·中考真題）在學習矩形的過程中，小明遇到了一個問題：在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關系．他的思路是：首先過點E作BC的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖?跡）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴__________________①∵AD∥BC，∴__________________②又∴△BAE≌△EFBAAS．同理可得__________________∴S△BCE題型08與尺規(guī)作圖有關的計算/證明類問題31．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在△ABC中，AB>AC．(1)尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線，在角平分線上確定點D，使得DB=DC；（不寫作法，保留痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，則AD的長是多少？（請直接寫出AD的值）32．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠B=90°(1)尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．33．（2024·黑龍江綏化·中考真題）已知：△ABC．(1)尺規(guī)作圖：畫出△ABC的重心G．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，連接AG，BG．已知△ABG的面積等于5cm2，則△ABC的面積是______34．（2024·廣西·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=45°，AC>BC．(1)尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線l，分別交AB，AC于點D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)在（1）所作的圖中，連接BE，若AB=8，求BE的長．35．（2024·福建·中考真題）如圖，已知直線l1∥l(1)在l1,l2所在的平面內(nèi)求作直線l，使得l∥l1∥l2，且l與l1(2)在（1）的條件下，若l1與l2間的距離為2，點A,B,C分別在l,l1,36．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知∠PAQ及AP邊上一點C．(1)用無刻度直尺和圓規(guī)在射線AQ上求作點O，使得∠COQ=2∠CAQ；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，以點O為圓心，以OA為半徑的圓交射線AQ于點B，用無刻度直尺和圓規(guī)在射線CP上求作點M，使點M到點C的距離與點M到射線AQ的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)在（1）、（2）的條件下，若sinA=35，CM=12題型09尺規(guī)作圖與實際問題37．（2024·甘肅·中考真題）馬家窯文化以發(fā)達的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共用，彩繪線條流暢細致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術精品，體現(xiàn)了古代勞動人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知⊙O和圓上一點M．作法如下：①以點M為圓心，OM長為半徑，作弧交⊙O于A，B兩點；②延長MO交⊙O于點C；即點A，B，C將⊙O的圓周三等分．(1)請你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖2中將⊙O的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)（1）畫出的圖形，連接AB，AC，BC，若⊙O的半徑為2cm，則△ABC的周長為______cm38．（2023·江蘇徐州·中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉璧，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關系見圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關系．(1)若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關系符合“肉倍好”，請畫出內(nèi)孔．39．（2022·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實踐問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎范、芯組成的（如圖1），它的端面是圓形，如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動，直到AB=AC，在圓上標記A，B，C三點；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A，B點上，“矩”的另一條邊與圓的交點標記為D點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點，連接AD，BC相交于點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點，連接AD，BC相交于點O，即O為圓心．(1)問題解決：請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB=AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)拓展探究：小梅進一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，用平時學的尺規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點A，B，C是⊙O上任意三點，請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確定圓心的理由：______________________________．40．（2024·廣東·模擬預測）綜合與實踐【提出問題】唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——將軍飲馬問題．如圖1，將軍從山腳下的點A出發(fā)，到達河岸點P飲馬后再回到點B宿營，請問怎樣走才能使總路程最短？【分析問題】如圖1，取點A關于河岸線的對稱點A'，連接AP，A'P，當A'，【解決問題】（1）當A'，P【遷移應用】（2）如圖2，A，B兩個村莊在河岸CD的同側(cè)，兩村到河岸CD的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，(CD=3千米，現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠P，從P處向①請在河岸CD上作出水廠P的位置，并寫出作圖過程；②若鋪設水管的工程費用為20000元/千米，求出鋪設水管最節(jié)省的總費用．題型10與尺規(guī)作圖有關的新考法問題41．（2024·江蘇常州·中考真題）對于平面內(nèi)有公共點的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向移動一定的距離d后與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關聯(lián)”，其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移關聯(lián)圖形”．(1)如圖1，B、C、D是線段AE的四等分點．若AE=4，則在圖中，線段AC的“平移關聯(lián)圖形”是________(2)如圖2，等邊三角形ABC的邊長是2．用直尺和圓規(guī)作出△ABC的一個“平移關聯(lián)圖形”，且滿足d=2（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點D、E、G的坐標分別是-1,0、1，0、0，4，以點G為圓心，r為半徑畫圓．若對⊙G上的任意點F，連接DE、42．（2024·江蘇徐州·中考真題）在△ABC中，點D在邊AB上，若CD2=AD?DB，則稱點D是點C的“(1)如圖（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于點D．試說明：點D是點C的“關聯(lián)點”．(2)如圖（2），已知點D在線段AB上，用無刻度的直尺和圓規(guī)作一個△ABC，使其同時滿足下列條件：①點D為點C的“關聯(lián)點”；②∠ACB是鈍角（保留作圖痕跡，不寫作法）．(3)若△ABC為銳角三角形，且點D為點C的“關聯(lián)點”．設AD=m，DB=n，用含m、n的代數(shù)式表示AC的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．43．（2024·吉林·中考真題）小明在學習時發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對角線存在關聯(lián)，下面是他的研究過程：

【探究論證】（1）如圖①，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC，垂足為點D．若CD=2，BD=1，則S△ABC=（2）如圖②，在菱形A'B'C'D'中，（3）如圖③，在四邊形EFGH中，EG⊥FH，垂足為點O．若EG=5，F(xiàn)H=3，則S四邊形EFGH=______；若EG=a，F(xiàn)H=b，猜想S四邊形EFGH【理解運用】（4）如圖④，在△MNK中，MN=3，KN=4，MK=5，點P為邊MN上一點．小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖：（ⅰ）以點K為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊KN，KM于點R，I；（ⅱ）以點P為圓心，KR長為半徑畫弧，交線段PM于點I'（ⅲ）以點I'為圓心，IR長為半徑畫弧，交前一條弧于點R'，點R'，K（ⅳ）過點P畫射線PR'，在射線PR'上截取PQ=KN，連接KP，請你直接寫出S四邊形44．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖1，點P是線段AB上與點A，點B不重合的任意一點，在AB的同側(cè)分別以A，P，B為頂點作∠1=∠2=∠3，其中∠1與∠3的一邊分別是射線AB和射線BA，∠2的兩邊不在直線AB上，我們規(guī)定這三個角互為等聯(lián)角，點P為等聯(lián)點，線段AB為等聯(lián)線．(1)如圖2，在5×3個方格的紙上，小正方形的頂點為格點、邊長均為1，AB為端點在格點的已知線段．請用三種不同連接格點的方法，作出以線段AB為等聯(lián)線、某格點P為等聯(lián)點的等聯(lián)角，并標出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在Rt△APC中，∠A=90°，AC>AP，延長AP至點B，使AB=AC，作∠A的等聯(lián)角∠CPD和∠PBD．將△APC沿PC折疊，使點A落在點M處，得到△MPC，再延長PM交BD的延長線于E，連接CE并延長交PD的延長線于F①確定△PCF的形狀，并說明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等聯(lián)線AB和線段PE的長（用含45．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）操作探究題(1)已知AC是半圓O的直徑，∠AOB=180n°（n是正整數(shù)，且n不是3操作：如圖1，分別將半圓O的圓心角∠AOB=180n°（n取1、4、5、10交流：當n=11時，可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180n°探究：你認為當n滿足什么條件時，就可以僅用圓規(guī)將半圓O的圓心角∠AOB=180n°(2