山東省青島市黃島區(qū)2025屆高三第一次摸底測試數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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文檔簡介

山東省青島市黃島區(qū)2025屆高三第一次摸底測試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點,直線(是坐標(biāo)原點)交的右支于點,若,且,則的離心率是()A. B. C. D.2.下列函數(shù)中,在區(qū)間上為減函數(shù)的是()A. B. C. D.3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.設(shè),則,則()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.6.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),,則A. B.C. D.7.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.8.函數(shù)()的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.9.函數(shù)的部分圖像如圖所示,若,點的坐標(biāo)為,若將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,則的最小值為()A. B. C. D.10.設(shè)且,則下列不等式成立的是()A. B. C. D.11.已知為坐標(biāo)原點,角的終邊經(jīng)過點且,則()A. B. C. D.12.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若向量滿足,則實數(shù)的取值范圍是____________.14.已知函數(shù)在點處的切線經(jīng)過原點,函數(shù)的最小值為,則________.15.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件,設(shè)事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________16.若函數(shù)滿足:①是偶函數(shù);②的圖象關(guān)于點對稱.則同時滿足①②的,的一組值可以分別是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知兩數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值點;(2)當(dāng)時,若恒成立,求的最大值.18.(12分)已知數(shù)列滿足,,其前n項和為.(1)通過計算,,,猜想并證明數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足,,,若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,求常數(shù)t的取值范圍.19.(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求的大小;(2)若,求面積的最大值.20.(12分)如圖,在四邊形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小為60°,求CF與平面ABCD所成角的正弦值.21.(12分)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連結(jié)DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B?CG?A的大小.22.(10分)在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期,我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號,鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系,對高三年級隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問卷,其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不少于5小時的有19人,余下的人中,在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占,統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表:分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時419線上學(xué)習(xí)時間不足5小時合計45(1)請完成上面列聯(lián)表;并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān)”;(2)①按照分層抽樣的方法,在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時間不足5小時的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);②若將頻率視為概率,從全校高三該次檢測數(shù)學(xué)成績不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人,求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.(下面的臨界值表供參考)0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式其中)

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

如圖,設(shè)雙曲線的右焦點為,連接并延長交右支于,連接,設(shè),利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到,,結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖,設(shè)雙曲線的右焦點為,連接,連接并延長交右支于.因為,故四邊形為平行四邊形,故.又雙曲線為中心對稱圖形,故.設(shè),則,故,故.因為為直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率,注意利用雙曲線的對稱性(中心對稱、軸對稱)以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于的方程,本題屬于難題.2、C【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對于A選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對于B選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對于C選項,函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù);對于D選項,函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷,熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

化簡復(fù)數(shù)為、的形式,可以確定對應(yīng)的點位于的象限.【詳解】解:復(fù)數(shù)故復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo)為位于第三象限故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算,復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)換底公式可得,再化簡,比較的大小,即得答案.【詳解】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.【點睛】本題考查換底公式和對數(shù)的運算,屬于中檔題.5、D【解析】

運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.6、B【解析】

由可得,所以,故選B.7、B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.8、C【解析】

對x分類討論,去掉絕對值,即可作出圖象.【詳解】故選C.【點睛】識圖常用的方法(1)定性分析法:通過對問題進(jìn)行定性的分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢,利用這一特征分析解決問題;(2)定量計算法:通過定量的計算來分析解決問題;(3)函數(shù)模型法:由所提供的圖象特征,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.9、B【解析】

根據(jù)圖象以及題中所給的條件,求出和,即可求得的解析式,再通過平移變換函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱,求得的最小值.【詳解】由于,函數(shù)最高點與最低點的高度差為,所以函數(shù)的半個周期,所以,又,,則有,可得,所以,將函數(shù)向右平移個單位后函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱,即平移后為偶函數(shù),所以的最小值為1,故選:B.【點睛】該題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決該題的關(guān)鍵,要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系,屬于簡單題目.10、A【解析】項,由得到,則,故項正確;項,當(dāng)時,該不等式不成立,故項錯誤;項,當(dāng),時,,即不等式不成立,故項錯誤;項,當(dāng),時,,即不等式不成立,故項錯誤.綜上所述,故選.11、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計算能力.12、D【解析】

,,得解.【詳解】,,,所以,故選D【點睛】比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)題意計算,解得答案.【詳解】,故,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,意在考查學(xué)生的計算能力.14、0【解析】

求出,求出切線點斜式方程,原點坐標(biāo)代入,求出的值,求,求出單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出極小值最小值,即可求解.【詳解】,,,切線的方程:,又過原點,所以,,,.當(dāng)時,;當(dāng)時,.故函數(shù)的最小值,所以.故答案為:0.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值,屬于中檔題..15、0.35【解析】

根據(jù)對立事件的概率和為1,結(jié)合題意,即可求出結(jié)果來.【詳解】解:由題意知本題是一個對立事件的概率,抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案為:.【點睛】本題考查了求互斥事件與對立事件的概率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.16、,【解析】

根據(jù)是偶函數(shù)和的圖象關(guān)于點對稱,即可求出滿足條件的和.【詳解】由是偶函數(shù)及,可取,則,由的圖象關(guān)于點對稱,得,,即,,可取.故,的一組值可以分別是,.故答案為:,.【點睛】本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)唯一的極大值點1,無極小值點.(2)1【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),求得的解,確定此解兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù),確定極值點;(2)問題可變形為恒成立,由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值,時,無最小值,因此只有,從而得出的不等關(guān)系,得出所求最大值.【詳解】解:(1)定義域為,當(dāng)時,,令得,當(dāng)所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有唯一的極大值點,無極小值點.(2)當(dāng)時,.若恒成立,則恒成立,所以恒成立,令,則,由題意,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以所以,所以,故的最大值為1.【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值,研究不等式恒成立問題.在求極值時,由確定的不一定是極值點,還需滿足在兩側(cè)的符號相反.不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用.18、(1),證明見解析;(2)【解析】

(1)首先利用賦值法求出的值,進(jìn)一步利用定義求出數(shù)列的通項公式;(2)首先利用疊乘法求出數(shù)列的通項公式,進(jìn)一步利用數(shù)列的單調(diào)性和基本不等式的應(yīng)用求出參數(shù)的范圍.【詳解】(1)數(shù)列滿足,,其前項和為.所以,,則,,,所以猜想得:.證明:由于,所以,則:(常數(shù)),所以數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列.所以,整理得.(2)數(shù)列滿足,,所以,則,所以.則,所以,所以,整理得,由于,所以,即.【點睛】本題考查的知識要點:數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用,疊乘法的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,主要考察學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于中檔題型.19、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理將邊化角,結(jié)合誘導(dǎo)公式可化簡邊角關(guān)系式,求得,根據(jù)可求得結(jié)果;(2)利用余弦定理可得,利用基本不等式可求得,代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)由正弦定理得:,又,即由得:(2)由余弦定理得:又(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)即三角形面積的最大值為:【點睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識,涉及到正弦定理化簡邊角關(guān)系式、余弦定理解三角形、三角形面積公式應(yīng)用、基本不等式求積的最大值、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等知識,屬于常考題型.20、(1)見解析(2)【解析】分析:(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值;也可以應(yīng)用常規(guī)法,作出線面角,放在三角形當(dāng)中來求解.詳解:(Ⅰ)在△ABD中,∠ABD=30°,由AO2=AB2+BD2-2AB·BDcos30°,解得BD=,所以AB2+BD2=AB2,根據(jù)勾股定理得∠ADB=90°∴AD⊥BD.又因為DE⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴AD⊥DE.又因為BDDE=D,所以AD⊥平面BDEF,又AD平面ABCD,∴平面ADE⊥平面BDEF,(Ⅱ)方法一:如圖,由已知可得,,則,則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形.則.過點C做,交DB、AB于點G,H,則點G為點F在面ABCD上的投影.連接FG,則,DE⊥平面ABCD,則平面.過G做于點I,則BF平面,即角為二面角CBFD的平面角,則60°.則,,則.在直角梯形BDEF中,G為BD中點,,,,設(shè),則,,則.,則,即CF與平面ABCD所成角的正弦值為.(Ⅱ)方法二:可知DA、DB、DE兩兩垂直,以D為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)DE=h,則D(0,0,0),B(0,,0),C(-,-,h).,.設(shè)平面BCF的法向量為m=(x,y,z),則所以取x=,所以m=(,-1,-),取平面BDEF的法向量為n=(1,0,0),由,解得,則,又,則,設(shè)CF與平面ABCD所成角為,則sin=.故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為點睛:該題考查的是立體幾何的有關(guān)問題,涉及到的知識點有面面垂直的判定,線面角的正弦值,在求解的過程中,需要把握面面垂直的判定定理的內(nèi)容,要明白垂直關(guān)系直角的轉(zhuǎn)化,在求線面角的有關(guān)量的時候,有兩種方法,可以應(yīng)用常規(guī)法,也可以應(yīng)用向量法.21、(1)見詳解;(2).【解析】

(1)因為折紙和粘合不改變矩形,和菱形內(nèi)部的夾角,所以,依然成立,又因和粘在一起,所以得證.因為是平面垂線,所以易證.(2)在圖中找到對應(yīng)的平面角,再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線,發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線也垂直于.按照此思路即證.【詳解】(1)證:,,又因為和粘在一起.,A,C

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