電路方程的矩陣形式1.網絡圖論

圖論是拓撲學的一個分支，是富有趣味和應用極為廣泛的一門學科。下頁上頁

電路的圖返回2.電路的圖R4R1R3R2R6uS+_iR5拋開元件性質一個元件作為一條支路元件的串聯及并聯組合作為一條支路543216有向圖下頁上頁65432178返回R4R1R3R2R6uS+_iR5圖的定義(Graph)G={支路，結點}

電路的圖是用以表示電路幾何結構的圖形，圖中的支路和結點與電路的支路和結點一一對應。圖中的結點和支路各自是一個整體。移去圖中的支路，與它所聯接的結點依然存在，因此允許有孤立結點存在。如把結點移去，則應把與它聯接的全部支路同時移去。下頁上頁結論返回從圖G的一個結點出發沿著一些支路連續移動到達另一結點所經過的支路構成路徑。(2)路徑(3)連通圖圖G的任意兩結點間至少有一條路徑時稱為連通圖，非連通圖至少存在兩個分離部分。下頁上頁返回(4)子圖若圖G1中所有支路和結點都是圖G中的支路和結點，則稱G1是G的子圖。樹(Tree)T是連通圖的一個子圖且滿足下列條件：連通包含所有結點不含閉合路徑下頁上頁返回樹支：構成樹的支路連支：屬于G而不屬于T的支路樹支的數目是一定的連支數：不是樹樹對應一個圖有很多的樹下頁上頁明確返回回路(Loop)L是連通圖的一個子圖，構成一條閉合路徑，并滿足：(1)連通，(2)每個結點關聯2條支路。12345678253124578不是回路回路2）基本回路的數目是一定的，為連支數；1）對應一個圖有很多的回路；3）對于平面電路，網孔數等于基本回路數。下頁上頁明確返回基本回路(單連支回路)12345651231236支路數＝樹支數＋連支數＝結點數－1＋基本回路數結點、支路和基本回路關系基本回路具有獨占的一條連支下頁上頁結論返回例87654321圖示為電路的圖，畫出三種可能的樹及其對應的基本回路。876586438243下頁上頁注意網孔為基本回路。返回15.1割集下頁上頁割集Q

連通圖G中支路的集合，具有下述性質：把Q中全部支路移去，圖分成二個分離部分。任意放回Q

中一條支路，仍構成連通圖。876543219割集：(196)(289)(368)(467)(578)(36587),(3628)是割集嗎？問題返回基本割集只含有一個樹枝的割集。割集數＝n-1

連支集合不能構成割集。下頁上頁注意876543219屬于同一割集的所有支路的電流應滿足KCL。當一個割集的所有支路都連接在同一個結點上，則割集的KCL方程變為結點上的KCL方程。返回下頁上頁注意對應一組線性獨立的KCL方程的割集稱為獨立割集，基本割集是獨立割集，但獨立割集不一定是單樹支割集。返回15.2關聯矩陣、回路矩陣、割集矩陣

圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓撲性質，即KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：下頁上頁1.圖的矩陣表示結點支路關聯矩陣回路支路回路矩陣割集支路割集矩陣返回下頁上頁2.關聯矩陣A

用矩陣形式描述結點和支路的關聯性質。n個結點b條支路的圖用nb的矩陣描述：Aa=n

b支路b結點

n每一行對應一個結點，每一列對應一條支路。矩陣Aa的每一個元素定義為：注意ajkajk=1

支路k與結點j

關聯，方向背離結點；ajk=-1

支路k與結點j關聯，方向指向結點；ajk

=0

支路k與結點j無關。返回下頁上頁例1２３６５４①②④③特點每一列只有兩個非零元素，一個是+1，一個是-1，Aa的每一列元素之和為零。Aa=1234123456支結-1-1100000-1-1011001100100-1-1矩陣中任一行可以從其他n-1行中導出，即只有n-1行是獨立的。返回下頁上頁Aa=1234123456支結-1-1100000-1-1011001100100-1-1降階關聯矩陣A特點A的某些列只具有一個+1或一個－1，這樣的列對應與劃去結點相關聯的一條支路。被劃去的行對應的結點可以當作參考結點。Aa=(n-1)

b支路b結點n-1返回下頁上頁關聯矩陣A的作用用關聯矩陣A表示矩陣形式的KCL方程；設:以結點④為參考結點[A][i]=-1-1100000-1-101100110n-1個獨立方程矩陣形式的KCL:

[A][i]=0返回下頁上頁用矩陣[A]T表示矩陣形式的KVL方程。設:返回下頁上頁2.回路矩陣B獨立回路與支路的關聯性質可以用回路矩陣B描述。[B]=l

b支路b獨立回路

l注意每一行對應一個獨立回路，每一列對應一條支路。矩陣B的每一個元素定義為：bij1

支路j

在回路i中，且方向一致；-1

支路j

在回路i中，且方向相反；0

支路j

不在回路i中。返回下頁上頁例1２３６５４①②④③123取網孔為獨立回路，順時針方向

給定B可以畫出對應的有向圖。123[B]=123456支回011001000-11-11-100-10注意基本回路矩陣Bf

獨立回路對應一個樹的單連枝回路得基本回路矩陣[Bf]返回支路排列順序為先連支后樹支，回路順序與連支順序一致。下頁上頁

連支電流方向為回路電流方向；規定例選2、5、6為樹，連支順序為1、3、

4

。1２３６５４①②④③231123[B]=134256支回100-1-100101010010-11BtBl=[1Bt

]返回下頁上頁回路矩陣[B]的作用用回路矩陣[B]表示矩陣形式的KVL方程；設ulut[B][u]=100-1-100101010010-11l個獨立KVL方程矩陣形式的KVL：[B][u]=0返回[Bf][u]=0ul+Btut=0ul=-

Btut設：連支電壓可以用樹支電壓表示。用回路矩陣[B]T表示矩陣形式的KCL方程下頁上頁注意獨立回路電流返回下頁上頁1２３６５４①②④③231矩陣形式的KCL：[B]T[il]=[i]注意樹支電流可以用連支電流表出。返回下頁上頁3.基本割集矩陣[Qf]

割集與支路的關聯性質可以用割集矩陣描述，這里主要指基本割集矩陣。[Q]=(n-1)

b支路b割集數注意每一行對應一個基本割集,每一列對應一條支路.矩陣Q的每一個元素定義為：qij1

支路j

在割集i中，且與割集方向一致；-1

支路j

在割集

i中，且與割集方向相反；0

支路j

不在割集

i中。返回下頁上頁規定割集方向為樹支方向；支路排列順序先樹支后連支；割集順序與樹支次序一致。基本割集矩陣[Qf]例1２３６５４①②④③選1、2、3支路為樹Q1:{1,4,5}Q2:{2,5,6}Q3:{3,4,6}返回QlQt下頁上頁[Qf]=123456支割集Q1Q2Q3100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③基本割集矩陣[Qf]的作用用基本割集矩陣[Qf]表示矩陣形式的KCL方程。設返回矩陣形式的KCL：[Qf

][i]=0下頁上頁[Qf

][i]=100110

0100-1-1

00110-11２３６５４①②④③n-1個獨立KCL方程返回設樹枝電壓（或基本割集電壓）：ut=[u1u2u3]T用[Qf]T表示矩陣形式的KVL方程矩陣形式的KVL：[Qf

]T[ut]=[u]下頁上頁返回連支電壓可以用樹支電壓表示。下頁上頁注意小結QABKCLKVL[A][i]=0[B]

T[

il

]

=[i]ul=-

Btut[B][u]=0[Qf][i]=0[Q]T[

ut]=[u]返回15.4回路電流方程的矩陣形式

反映元件性質的支路電壓和支路電流關系的矩陣形式是網絡矩陣分析法的基礎。

1.復合支路下頁上頁規定標準支路Zk

(Yk)+-+-返回下頁上頁復合支路特點支路的獨立電壓源和獨立電流源的方向與支路電壓、電流的方向相反；

支路電壓與支路電流的方向關聯；

支路的阻抗（或導納）只能是單一的電阻、電容、電感，而不能是它們的組合。Zk

(Yk)+-+-返回

復合支路定義了一條支路最多可以包含的不同元件數及連接方法，但允許缺少某些元件。下頁上頁注意(ZkYk）(ZkYk）+-返回下頁上頁Zk

(Yk)=0+-Zk

(Yk)+-Zk

(Yk)=0Zk

(Yk)=0返回2.支路阻抗矩陣形式

電路中電感之間無耦合下頁上頁如有b條支路，則有：Zk

(Yk)+-+-返回設[Z]=diag[Z1Z2……Zb]支路電流列向量支路電壓列向量電壓源的電壓列向量電流源的電流列向量下頁上頁阻抗矩陣返回整個電路的支路電壓、電流關系矩陣：bb階對角陣下頁上頁返回3.回路電流方程的矩陣形式回路電流[il

](b-n+1)

1階下頁上頁支路方程：返回回路電壓源向量回路阻抗陣，主對角線元素為自阻抗，其余元素為互阻抗。回路矩陣方程下頁上頁返回從已知網絡，寫出回路分析法的步驟：求出列出回路方程求出由KCL解出根據支路方程解出下頁上頁小結返回例下頁上頁用矩陣形式列出電路的回路電流方程。解做出有向圖，選支路1，2，5為樹枝。15243121234512

+R11/j

C5j

L4R2

-j

L3返回下頁上頁

把上式各矩陣代入回路電流方程的矩陣形式返回1.支路導納矩陣形式下頁上頁15.5結點電壓方程的矩陣形式電路中不含互感和受控源Zk

(Yk)+-+-返回下頁上頁返回bb階對角陣下頁上頁返回下頁上頁電路中電感之間有耦合M*+-+-*+-+-返回下頁上頁返回下頁上頁電路中有受控電源Zk

(Yk)+-+-返回下頁上頁Zk

(Yk)+-+-返回考慮b個支路時：下頁上頁若：kjkjg返回下頁上頁若：kjjkjYb返回