工程力學C主觀題第三次作業?一、簡答題1.簡述平面匯交力系平衡的幾何條件和解析條件。答：幾何條件：平面匯交力系平衡的幾何條件是該力系的力多邊形自行封閉。這意味著力系中各力首尾相接后，最后一個力的終點與第一個力的起點重合，此時力系對物體沒有使它產生移動的效應。例如，一個由三個共點力組成的平面匯交力系，當這三個力構成的三角形封閉時，物體在該力系作用下處于平衡狀態。解析條件：平面匯交力系平衡的解析條件是力系中所有力在兩個任選的直角坐標軸上投影的代數和分別等于零。即\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)。通過建立直角坐標系，將力系中的各個力分解到坐標軸上，利用這兩個方程可以求解出未知力的大小和方向。比如，已知一個平面匯交力系中有三個力\(F_1\)、\(F_2\)、\(F_3\)，設\(x\)軸和\(y\)軸方向，根據\(\sumF_{x}=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}=0\)和\(\sumF_{y}=F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}=0\)，就可以求出各個力在坐標軸上的投影，進而確定力的大小和方向。

2.什么是力的平移定理？并舉例說明其在工程中的應用。答：力的平移定理是指作用在剛體上的力\(F\)，可以平行移動到剛體上的任意一點，但必須同時附加一個力偶，這個力偶的矩等于原來的力\(F\)對新作用點的矩。例如，在建筑施工中，工人用撬棍撬動重物時，作用在撬棍一端的力\(F\)，當需要將力的作用點移動到撬棍的中間位置以便更方便操作時，就可以應用力的平移定理。將力\(F\)平行移動到撬棍中間點，同時附加一個力偶，這個力偶的矩等于力\(F\)對中間點的矩。這樣在不改變對物體作用效果的前提下，實現了力作用點的移動，方便了施工操作。又如，在機械設計中，對于一些需要通過旋轉軸傳遞扭矩的部件，有時會將作用在軸上的力平移到軸的中心線上，同時附加一個合適的力偶，以便更準確地分析軸的受力和變形情況，從而進行合理的設計和計算。

3.簡述平面任意力系平衡的充分必要條件，并說明其解題步驟。答：平衡的充分必要條件：平面任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對平面內任意一點的主矩都等于零。即\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)，\(\sumM_{O}(F)=0\)。其中\(\sumF_{x}\)和\(\sumF_{y}\)分別是力系中所有力在\(x\)軸和\(y\)軸上投影的代數和，\(\sumM_{O}(F)\)是力系中所有力對平面內任選一點\(O\)的矩的代數和。解題步驟：確定研究對象：根據問題的要求，選取合適的物體或物體系統作為研究對象。畫出受力圖：對研究對象進行受力分析，畫出它所受的全部外力，包括主動力和約束反力，并明確各力的作用點和方向。建立坐標系：選取合適的直角坐標系，一般使坐標軸與較多的未知力垂直，以便簡化計算。列平衡方程：根據平面任意力系平衡的充分必要條件，列出三個平衡方程\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)，\(\sumM_{O}(F)=0\)。如果未知力的數目不超過三個，就可以通過求解這三個方程得到全部未知力。求解未知力：解平衡方程，求出未知力的大小和方向。在求解過程中，要注意各力投影和力矩的正負號規定，按照方程求解順序逐步計算。例如，已知一個平面任意力系作用在一個梁上，梁受到一個垂直向下的集中力\(F\)、一個水平向右的力\(P\)、一個力偶矩為\(M\)的力偶以及兩端的約束反力。首先畫出梁的受力圖，然后建立直角坐標系，設梁的左端為坐標原點，\(x\)軸水平向右，\(y\)軸垂直向上。接著列出平衡方程\(\sumF_{x}=PF_{Ax}=0\)，\(\sumF_{y}=F_{Ay}F=0\)，\(\sumM_{A}(F)=MF\timesL+P\timeshF_{By}\timesL=0\)（其中\(L\)為梁的長度，\(h\)為\(P\)力作用點到\(A\)點的垂直距離），最后求解這三個方程，就可以得到梁兩端的約束反力\(F_{Ax}\)、\(F_{Ay}\)和\(F_{By}\)的大小和方向。

4.簡述靜定結構和超靜定結構的概念，并舉例說明。答：靜定結構：靜定結構是指僅用平衡方程就能確定全部反力和內力的幾何不變結構。其反力和內力的數目與結構的約束數目和類型有關，且滿足平衡方程的解是唯一的。例如，簡支梁是靜定結構，它有兩個支座，受到垂直向下的荷載作用。通過對梁進行受力分析，利用平面任意力系的平衡方程\(\sumF_{x}=0\)，\(\sumF_{y}=0\)，\(\sumM_{A}(F)=0\)（設梁的一端為\(A\)支座），可以唯一確定梁兩端的支座反力，進而求出梁內的內力（如彎矩、剪力）。又如，靜定桁架也是靜定結構，它由若干根桿件通過節點連接而成，在荷載作用下，通過節點平衡條件和整體平衡條件可以確定所有桿件的內力。超靜定結構：超靜定結構是指僅用平衡方程不能確定全部反力和內力的幾何不變結構。其反力和內力的數目多于獨立平衡方程的數目，需要考慮結構的變形協調條件才能求解。例如，固定端梁是超靜定結構，它有三個支座反力（一個水平反力、一個垂直反力和一個反力偶），而平面任意力系的平衡方程只有三個，無法直接求解出這三個反力。需要利用梁的變形協調條件，如梁在支座處的位移為零等，建立補充方程，與平衡方程聯立求解，才能確定梁的支座反力和內力。又如，連續梁也是超靜定結構，它有多個中間支座，在荷載作用下，其內力分析需要考慮結構的連續性和變形協調，通過建立力法方程或位移法方程等方法來求解。

5.簡述材料力學中內力的概念，并說明軸力、剪力和彎矩的定義及正負號規定。答：內力的概念：材料力學中，內力是指物體由于受到外力作用而在其內部產生的相互作用力。當物體受到外力作用時，其內部各部分之間的相對位置會發生改變，從而產生抵抗這種改變的力，即內力。內力的大小和分布與外力的作用方式和物體的變形情況有關。軸力的定義及正負號規定：軸力是指桿件受到軸向拉伸或壓縮時，橫截面上的內力。其定義為垂直于桿件橫截面的內力。軸力的正負號規定為：當軸力使桿件產生拉伸變形時，軸力為正；當軸力使桿件產生壓縮變形時，軸力為負。例如，一根水平放置的桿件，兩端受到軸向拉力作用，此時桿件橫截面上的軸力為正；若兩端受到軸向壓力作用，則軸力為負。剪力的定義及正負號規定：剪力是指桿件受到垂直于軸線方向的外力作用時，橫截面上的內力。其定義為作用線平行于橫截面的內力。剪力的正負號規定為：使研究截面有順時針轉動趨勢的剪力為正，使研究截面有逆時針轉動趨勢的剪力為負。例如，一個簡支梁在跨中受到一個垂直向下的集中力，梁的某一橫截面左側的剪力使該截面有順時針轉動趨勢，所以該剪力為正；而橫截面右側的剪力使該截面有逆時針轉動趨勢，所以該剪力為負。彎矩的定義及正負號規定：彎矩是指桿件受到垂直于軸線方向的外力或力偶作用時，橫截面上的內力。其定義為作用面垂直于橫截面的內力偶矩。彎矩的正負號規定為：使梁的下側纖維受拉、上側纖維受壓的彎矩為正；反之為負。例如，一個懸臂梁在自由端受到一個垂直向下的力，梁的固定端橫截面的彎矩使梁的下側纖維受拉，所以該彎矩為正；若力的方向相反，使梁的上側纖維受拉，則彎矩為負。

二、計算題1.如圖所示，已知\(F_1=200N\)，\(F_2=300N\)，\(F_3=250N\)，\(\alpha=30^{\circ}\)，\(\beta=45^{\circ}\)，求平面匯交力系的合力。解：建立坐標系：以力系的匯交點為原點，水平向右為\(x\)軸正方向，垂直向上為\(y\)軸正方向。計算各力在坐標軸上的投影：\(F_{1x}=F_1\cos0^{\circ}=200N\)，\(F_{1y}=F_1\sin0^{\circ}=0N\)。\(F_{2x}=F_2\cos\alpha=300\cos30^{\circ}=300\times\frac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}N\)，\(F_{2y}=F_2\sin\alpha=300\sin30^{\circ}=150N\)。\(F_{3x}=F_3\cos(\alpha+\beta)=250\cos(30^{\circ}+45^{\circ})=250(\cos30^{\circ}\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}\sin45^{\circ})\)\(=250(\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{250(\sqrt{6}\sqrt{2})}{4}N\)，\(F_{3y}=F_3\sin(\alpha+\beta)=250\sin(30^{\circ}+45^{\circ})=250(\sin30^{\circ}\cos45^{\circ}+\cos30^{\circ}\sin45^{\circ})\)\(=250(\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{250(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}N\)。計算合力在坐標軸上的投影：\(\sumF_{x}=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}=200+150\sqrt{3}+\frac{250(\sqrt{6}\sqrt{2})}{4}\)\(=\frac{800+600\sqrt{3}+250\sqrt{6}250\sqrt{2}}{4}N\)。\(\sumF_{y}=F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}=0+150+\frac{250(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{4}\)\(=\frac{600+250\sqrt{2}+250\sqrt{6}}{4}N\)。計算合力的大小：\(R=\sqrt{(\sumF_{x})^2+(\sumF_{y})^2}\)\(=\sqrt{(\frac{800+600\sqrt{3}+250\sqrt{6}250\sqrt{2}}{4})^2+(\frac{600+250\sqrt{2}+250\sqrt{6}}{4})^2}\)經過計算可得\(R\approx534.5N\)。計算合力的方向：\(\tan\theta=\frac{\sumF_{y}}{\sumF_{x}}\)\(\theta=\arctan(\frac{\frac{600+250\sqrt{2}+250\sqrt{6}}{4}}{\frac{800+600\sqrt{3}+250\sqrt{6}250\sqrt{2}}{4}})\)經過計算可得\(\theta\approx41.3^{\circ}\)。

2.如圖所示，梁\(AB\)受均布荷載\(q=2kN/m\)作用，長度\(L=4m\)，\(A\)端為固定鉸支座，\(B\)端為可動鉸支座，求支座反力。解：取梁\(AB\)為研究對象：畫出梁的受力圖，\(A\)端有水平反力\(F_{Ax}\)、垂直反力\(F_{Ay}\)，\(B\)端有垂直反力\(F_{By}\)。列平衡方程：\(\sumF_{x}=0\)，可得\(F_{Ax}=0\)。\(\sumM_{A}(F)=0\)，即\(qL\times\frac{L}{2}+F_{By}\timesL=0\)。將\(q=2kN/m\)，\(L=4m\)代入可得：\(2\times4\times\frac{4}{2}+F_{By}\times4=0\)\(16+4F_{By}=0\)解得\(F_{By}=4kN\)。\(\sumF_{y}=0\)，可得\(F_{Ay}+F_{By}qL=0\)。將\(F_{By}=4kN\)，\(q=2kN/m\)，\(L=4m\)代入可得：\(F_{Ay}+42\times4=0\)解得\(F_{Ay}=4kN\)。

3.如圖所示，簡支梁\(AB\)受集中力\(F=10kN\)和力偶\(M=20kN\cdotm\)作用，梁長\(L=5m\)，求支座反力。解：取梁\(AB\)為研究對象：畫出梁的受力圖，\(A\)端有垂直反力\(F_{Ay}\)，\(B\)端有垂直反力\(F_{By}\)。列平衡方程：\(\sumM_{A}(F)=0\)，即\(F\timesaM+F_{By}\timesL=0\)（設力\(F\)作用點到\(A\)端距離為\(a\)，本題未給出，假設\(a=2m\)）。將\(F=10kN\)，\(M=20kN\cdotm\)，\(L=5m\)代入可得：\(10\times220+F_{By}\times5=0\)\(2020+5F_{By}=0\)解得\(F_{By}=8kN\)。\(\sumF_{y}=0\)，可得\(F_{Ay}+F_{By}F=0\)。