專題19最值問題

閱讀與思考

在實際生活與生產(chǎn)中，人們總想節(jié)省時間或費用，而取得最好的效果或最高效益，反映在數(shù)學(xué)問題上，

就是求某個量的和、差、積、商的最大值和最小值，這類問題被稱之為最值問題，在現(xiàn)階段，解這類問題

的相關(guān)知識與基本方法有：

1、通過枚舉選取.

2、利用完全平方式性質(zhì).

3、運用不等式（組）逼近求解.

4、借用幾何中的不等量性質(zhì)、定理等.

解答這類問題應(yīng)當(dāng)包括兩個方面，一方面要說明不可能比某個值更大（或更小），另一方面要舉例說

明可以達到這個值，前者需要詳細說明，后者需要構(gòu)造一個合適的例子.

例題與求解

【例1】若c為正整數(shù)，且abc，bcd，dab，則（ab）（bc）（cd）（da）

的最小值是.

（北京市競賽試題）

解題思路：條件中關(guān)于C的信息量最多，應(yīng)突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代數(shù)式表示.

【例2】已知實數(shù)a，b滿足a2b21，則a4abb4的最小值是（）

19

A.B.0C.1D.

88

(全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)

解題思路：對a4abb4進行變形，利用完全平方公式的性質(zhì)進行解題.

【例】如果正整數(shù)滿足，求的最大值

3x1,x2,x3,x4,x5x1x2x3x4x5=x1x2x3x4x5x5.

解題思路：不妨設(shè)，由題中條件可知

x1x2x3x4x5

11111

=1.結(jié)合題意進行分析.

x2x3x4x5x1x3x4x5x1x2x4x5x1x2x3x5x1x2x3x4

【例4】已知x,y,z都為非負數(shù)，滿足xyz1，x2y3z4，記w3x2yz，求w的

最大值與最小值.

（四川省競賽試題）

解題思路：解題的關(guān)鍵是用含一個字母的代數(shù)式表示w.

【例5】某工程車從倉庫上水泥電線桿運送到離倉庫恰為1000米的公路邊栽立，要求沿公路的一邊

向前每隔100米栽立電線桿一根，已知工程車每次之多只能運送電線桿4根，要求完成運送18根的

任務(wù)，并返回倉庫，若工程車每行駛1千米耗油m升（在這里耗油量的多少只考慮與行駛的路程有關(guān)，

其他因素不計）.每升汽油n元，求完成此項任務(wù)最低的耗油費用.

（湖北省競賽試題）

解題思路：要使耗油費用最低，應(yīng)當(dāng)使運送次數(shù)盡可能少，最少需運送5次，而5次又有不同運送方

法，求出每種運送方法的行駛路程，比較得出最低的耗油費用.

【例6】直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，斜邊長為13，P是三角形內(nèi)或邊界上的一點，P

到三邊的距離分別為，，，求的最大值和最小值，并求當(dāng)取最大值和

d1d2d3d1+d2+d3d1+d2+d3

最小值時，P點的位置.

（“創(chuàng)新杯”邀請賽試題）

解題思路：連接P點與三角形各頂點，利用三角形的面積公式來解.

能力訓(xùn)練

A級

1.社a，b，c滿足a2b2c29，那么代數(shù)式(ab)2(bc)2(ca)2的最大值是.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

2.在滿足x2y3,x0,y0的條件下，2xy能達到的最大值是.

（“希望杯”邀請賽試題）

3.已知銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，

則的最大值是.

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

c

4.已知有理數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范圍是.

a

（數(shù)學(xué)夏令營競賽試題）

5.在式子x1x2x3x4中，代入不同的x值，得到對應(yīng)的值，在這些對應(yīng)的值中，最小的

值是（）.

A.1B.2C.3D.4

6.若a，b，c，d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足bcd，dca，bac，那么abcd的最

大值是（）.

A.-1B.-5C.0D.1

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

7.已知xya,zy10,則代數(shù)式x2y2z2xyyzxz的最小值是（）.

A.75B.80C.100D.105

(江蘇省競賽試題)

8.已知x，y，z均為非負數(shù)，且滿足xyz=30，3xyz50，又設(shè)M5x4y2Z，則M

的最小值與最大值分別為（）.

A.110，120B.120，130C.130，140D.140，150

x12yz3

9.已知非負實數(shù)x，y，z滿足，記w3x4y5z.求w的最大值和最小值

234

（“希望杯”邀請賽試題）

10.某童裝廠現(xiàn)有甲種布料38米，乙鐘布料26米，現(xiàn)計劃用這兩種布料生產(chǎn)L，M兩種型號的童裝共50

套，已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0