拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換是在復平面中，以拉氏變換為工具對系統進行復頻域分析。引入復頻率s=σ+jω,以復指數函數est為基本信號，任意信號可分解為不同復頻率的復指數分量之和。這里用于系統分析的獨立變量是復頻率s

，故稱為s域分析。拉普拉斯變換的定義Fb(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數），f(t)稱為Fb(s)

的雙邊拉氏逆變換（或原函數）。1.雙邊拉氏變換雙邊拉普拉斯變換對2.單邊拉氏變換考慮到實際信號都是因果信號，采用0-系統，相應的單邊拉普拉斯變換為拉普拉斯變換的定義3.收斂域只有選擇適當的

值才能使積分收斂，信號f(t)的拉普拉斯變換存在。

F(s)收斂域：使f(t)拉氏變換存在的

取值范圍。單邊拉氏變換收斂域一定是Re[s]>

，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換，簡稱拉氏變換。拉普拉斯變換的定義例1因果信號f(t)=e

t

(t)

，求其拉普拉斯變換。可見，對于因果信號，僅當Re[s]=

>

時，其拉氏變換存在。解收斂域收斂邊界

對于反因果信號，僅當Re[s]=

<

時，其拉氏變換存在。例2反因果信號f2(t)=e

t(-t)，求拉氏變換。拉普拉斯變換的定義收斂域收斂邊界

拉普拉斯變換的定義例3

雙邊信號求其拉普拉斯變換。其雙邊拉普拉斯變換僅當

>

時，其收斂域為

<Re[s]<

的一個帶狀區域。收斂域收斂邊界拉普拉斯變換的定義解象函數相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標出收斂域。例4求下列信號的雙邊拉普拉斯變換。拉普拉斯變換的定義4.常用函數的拉普拉斯變換序號時域表示s域表示1

(t)

2

(t)或13e-αt4cos

0t

5sin0t

6t1

請回答如圖所示信號的單邊拉氏變換是否相同。相同不同不能確定ABC提交單選題1分單邊拉普拉斯變換的性質單邊拉普拉斯變換的性質序號性質序號性質1線性7卷積定理2尺度變換8s域微分3時移9s域積分4s域平移10初值定理5時域微分11終值定理6時域積分單邊拉普拉斯變換的性質若a,b為常數,則1.線性性質例故

的拉斯變換。求因為單邊拉普拉斯變換的性質2.尺度變換若則例已知解單邊拉普拉斯變換的性質3.時移特性若則證明令則有代入上式單邊拉普拉斯變換的性質解：單邊拉普拉斯變換的性質4.s域平移特性若則例已知且有復常數單邊拉普拉斯變換的性質5.時域微分特性若則推廣6.時域積分特性若則單邊拉普拉斯變換的性質推廣若為因果信號，則單邊拉普拉斯變換的性質分析單邊拉普拉斯變換的性質7.卷積定理若則時域卷積定理復頻域（s域）卷積定理單邊拉普拉斯變換的性質8.s域微分特性若則n取正整數例求的拉斯變換。單邊拉普拉斯變換的性質9.

s域積分特性則例求的拉氏變換。若單邊拉普拉斯變換的性質10.初值定理若例則設函數不包含及各階導數，且已知，求單邊拉普拉斯變換的性質11.終值定理若例則f(t)當t→∞時存在，并且

f(t)←→F(s),Re[s]>

0,

0<0，單邊拉普拉斯變換的性質若例??(??)不是真分式,應化為真分式??(??)中有常數項，說明

??(??)中有??(??)項。解拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換常用的方法（1）查表（2）利用性質（3）部分分式展開兩種或三種方法結合拉普拉斯逆變換通常象函數F(s)是s的有理分式，可寫為：式中，ai,bi為實數，m,n為正整數。2.若m≥n

（假分式）,可用長除法將F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。1.當m<n,F(s)為有理真分式。討論拉普拉斯逆變換多項式長除法由于，故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數構成。拉普拉斯逆變換零極點概念上式中A(s)稱為F(s)的特征多項式，方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根。

根p1

，p2···

pn稱為F(s)的極點。

z1

，z2···zm稱為F(s)的零點。零極點在復平面中的描述零點極點拉普拉斯逆變換拉氏逆變換的過程Step1求F(s)的極點Step2將F(s)展開為部分分式Step3查變換表求出原函數f(t)部分分式展開分三種情況1.F(s)極點為單極點（單階實數根）2.F(s)極點為共軛復數3.F(s)有重極點（重根）拉普拉斯逆變換1.F(s)為單極點（單階實數根）例已知，求其逆變換。Step1求極點解拉普拉斯逆變換Step2展成部分分式Step3查變換表求出原函數f(t)拉普拉斯逆變換2.F(s)極點為共軛復數可見K1,K2是共軛關系：F(s)展開成部分分式和形式拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換3.F(s)有重極點（重根）若A(s)=0在s=p1處有r重根，則先求K11。上式兩邊同時乘以得然后代入s=p1，即可求出K11。拉普拉斯逆變換依此類推，可得系數計算通式如下：再求K12。同理，對F(s)兩邊同時乘以得然后,上式兩邊對復變量s求導得代入s=p1，即可求出K12。拉普拉斯逆變換關于重根的逆變換利用積分特性可知故例已知，求逆變換。解由題知s=-2是單根，s=-1為2重根。部分分式展開為拉普拉斯逆變換所以z變換的定義與收斂域1.z變換的定義z變換的定義與收斂域——序列的雙邊z變換——序列的單邊z變換——變換對z變換的定義與收斂域z變換定義為一無窮冪級數之和，只有當該冪級數收斂，即其z變換才存在。對于序列，滿足所有z值組成的集合稱為z變換

的收斂域——ROC

2.z變換的收斂域收斂域的定義：z變換的定義與收斂域（1）有限長序列z變換的收斂域收斂域：例1設有限長序列,其中,若

，求其z變換。常數有限序列z變換的收斂域一般為

，可能在

或/和也收斂。z變換的定義與收斂域(1)f(k)的雙邊z變換為收斂域為0<

z

<∞

(2)f(k)的單邊z變換為收斂域為

z

>0例1

求有限序列的z變換

z變換的定義與收斂域（2）因果序列z變換的收斂域例2求因果序列解：的z變換。收斂域：僅當，即時，其z變換存在。

因果序列z變換的收斂域為圓外域例3求反因果序列解:

的z變換僅當即時，其z變換存在z變換的定義與收斂域（3）反因果序列z變換的收斂域收斂域為

反因果序列z變換的收斂域為圓內域z變換的定義與收斂域（4）雙邊序列z變換的收斂域例4雙邊序列解：的z變換其收斂域為

雙邊序列z變換的收斂域為圓環域注意：對雙邊z變換必須表明收斂域，否則其對應的原序列將不唯一。例求下面序列的雙邊z變換。f1(k)=2k

(k)←→F1(z)=

,

z

>2f2(k)=–2k

(–k–1)←→F2(z)=,

z

<2對單邊z變換，其收斂域比較簡單，一定是某個圓以外的區域。可以省略。z變換的定義與收斂域歸納總結：z變換的定義與收斂域有限序列z變換的收斂域一般為

，可能在

或/和也收斂。（d）雙邊序列z變換的收斂域為圓環域。（b）因果序列z變換的收斂域為圓外域。（c）反因果序列z變換的收斂域為圓內域。（a）序列收斂域的特點：因果序列反因果序列雙邊序列

z變換的定義與收斂域常用序列的z變換：

(k)←→1，

z

>0z變換的性質z變換的性質1.線性性質對任意常數例：若其收斂域至少是F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。則z變換的性質雙邊z變換的移位性質：若

，且對整數

，則單邊z變換的移位性質：若

且有整數m>0,則前向移位：特例：若f(k)為因果序列，則后向移位：2.移位性質z變換的性質若

，且常數則

證明：同理：3.z域尺度變換求的z變換。例

已知解：即收斂域：z變換的性質4.卷積定理則

對單邊z變換，要求f1(k)、f2(k)為因果序列其收斂域一般為F1(z)與F2(z)收斂域的相交部分。例：求

的z變換F(z).解：z變換的性質若例：求

的z變換F(z).解：若

則

z變換的性質5.z域微分作答正常使用主觀題需2.0以上版本雨課堂主觀題10分若

，設有整數m，且k+m>0，

則若m=0,且k>0，則

例：求序列的z變換。解:z變換的性質6.z域積分若

則序列的初值

z變換的性質序列在k<M時，，且對因果序列f(k)，則若

序列在k<M時，，且則序列的終值

7.初值定理8.終值定理逆z變換逆z變換求逆z變換的常用方法有：冪級數展開法、部分分式展開法、留數法等。通常，雙邊序列f(k)可分解為因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)兩部分，即

f(k)=f2(k)+f1(k)=f(k)

(–k–1)+f(k)

(k)相應地，其z變換也分兩部分F(z)=F1(z)+F2(z)，<|z|<已知象函數F(z)及其收斂域不難由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分別求得它們所對應的原序列f1(k)和f2(k)，將兩者相加得原序列f(k)。

可見，因果序列和反因果序列的象函數分別是z-1和z的冪級數。其系數就是相應的序列值。例：已知象函數其收斂域如下，分別求其相對應的原序列f(k)。（1）|z|>2(2)|z|<1(3)1<|z|<2逆z變換1.冪級數展開法(1)

由于F(z)的收斂域在半徑為2的圓外，故f(k)為因果序列。用長除法將F(z)展開為z-1的冪級數(2)

由于F(z)的收斂域為

z<1，故f(k)為反因果序列。用長除法將F(z)按升冪排列展開為z的冪級數

|z|>2|z|<1逆z變換(3)F(z)的收斂域為1<z<2，其原序列f(k