PAGE1-第1講空間幾何體[2024考向導航]考點掃描三年考情考向預料2024202420241．空間幾何體的體積與表面積第9題第10題第6題江蘇高考對空間幾何體的考查，一般是填空題，屬中檔題．試題主要來源于課本，或略高于課本．命題的重點是體積計算．預料2024年命題仍會堅持這一方向．多面體與球，折疊與綻開問題是江蘇高考的冷點，但復習時仍要關注．2．多面體與球3．折疊與綻開1．必記的概念與定理(1)棱柱的性質；(2)正棱錐的性質；(3)正棱臺的性質；(4)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關系．(5)圓柱、圓錐、圓臺的性質；(6)球的截面性質．2．記住幾個常用的公式與結論(1)柱體、錐體、臺體的側面積公式：①S柱側＝ch(c為底面周長，h為高)；②S錐側＝eq\f(1,2)ch′(c為底面周長，h′為斜高)；③S臺側＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長，h′為斜高)；④S球表＝4πR2(R為球的半徑)．(2)柱體、錐體、臺體和球的體積公式：①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；②V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；③V臺＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h(S′，S分別為上下底面面積，h為高)；④V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．(3)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②正方體的內切球，則2R＝a；③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a．(4)長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．(5)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1．3．須要關注的易錯易混點(1)側面積與全面積的區分．(2)求一些不規則幾何體的體積常用割補的方法轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．(3)折疊與綻開的體積問題留意幾何體還原的精確性及數據的精確性．(4)求組合體的表面積時留意幾何體的連接部分的處理．空間幾何體的體積與表面積[典型例題](1)(2024·高考江蘇卷)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點，則三棱錐E-BCD的體積是________．(2)現有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________．【解析】(1)因為長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，所以CC1·S四邊形ABCD＝120，又E是CC1的中點，所以三棱錐E-BCD的體積VE-BCD＝eq\f(1,3)EC·S△BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CC1×eq\f(1,2)S四邊形ABCD＝eq\f(1,12)×120＝10．(2)設新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq\f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，所以r2＝7，所以r＝eq\r(7)．【答案】(1)10(2)eq\r(7)eq\a\vs4\al()涉及柱、錐、臺、球及其簡潔幾何體(組合體)的側面積(全面積)和體積的計算問題，要在正確理解概念的基礎上，畫出符合題意的圖形或協助線(面)，分析幾何體的結構特征，選擇合適的公式，進行計算．另外要重視空間問題平面化的思想和割補法、等積轉換法的運用．[對點訓練]1．(2024·高考江蘇卷)如圖所示，正方體的棱長為2，以其全部面的中心為頂點的多面體的體積為________．[解析]正方體的棱長為2，以其全部面的中心為頂點的多面體是正八面體，其中正八面體的全部棱長都是eq\r(2)，則該正八面體的體積為eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×2＝eq\f(4,3)．[答案]eq\f(4,3)2．(2024·蘇錫常鎮四市高三調研)設棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側面積分別為V2，S2，若eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)，則eq\f(S1,S2)的值為________．[解析]由題意知，V1＝a3，S1＝6a2，V2＝eq\f(1,3)πr3，S2＝eq\r(2)πr2，由eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,π)得，eq\f(a3,\f(1,3)πr3)＝eq\f(3,π)，得a＝r，從而eq\f(S1,S2)＝eq\f(6,\r(2)π)＝eq\f(3\r(2),π)．[答案]eq\f(3\r(2),π)3．(2024·江蘇省高考名校聯考(八))在一次模具制作大賽中，小明制作了一個母線長和底面直徑相等的圓錐，而小強制作了一個球，經測量得圓錐的側面積恰好等于球的表面積，則圓錐和球的體積的比值等于________．[解析]設圓錐的底面半徑為r，球的半徑為R，則圓錐的母線長為2r，高為eq\r(3)r．由題意可知πr×2r＝4πR2，即r＝eq\r(2)R．所以eq\f(V圓錐,V球)＝eq\f(\f(1,3)πr2×\r(3)r,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,R)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))3＝eq\f(\r(6),2)．[答案]eq\f(\r(6),2)多面體與球[典型例題]已知四棱錐S-ABCD的全部頂點在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面內，當四棱錐的體積取得最大值時，其表面積等于16＋16eq\r(3)，則球O的體積等于________．【解析】由題意得，當四棱錐的體積取得最大值時，該四棱錐為正四棱錐．因為該四棱錐的表面積等于16＋16eq\r(3)，設球O的半徑為R，則AC＝2R，SO＝R，如圖，所以該四棱錐的底面邊長AB＝eq\r(2)R，則有(eq\r(2)R)2＋4×eq\f(1,2)×eq\r(2)R×eq\r(（\r(2)R）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)R))\s\up12(2))＝16＋16eq\r(3)，解得R＝2eq\r(2)，所以球O的體積是eq\f(4,3)πR3＝eq\f(64\r(2),3)π．【答案】eq\f(64\r(2),3)πeq\a\vs4\al()求解球與多面體的組合問題時，其關鍵是確定球心的位置，可以依據空間幾何體的對稱性推斷球心的位置，然后通過作出協助線或協助平面確定球的半徑和多面體中各個幾何元素的關系，達到求解解題須要的幾何量的目的．[對點訓練]4．如圖，在圓柱O1O2內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．[解析]設球O的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r、高為2r，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2)．[答案]eq\f(3,2)5．(2024·無錫模擬)已知正四棱柱的頂點在同一個球面上，且球的表面積為12π，當正四棱柱的體積最大時，正四棱柱的高為________．[解析]設正四棱柱的底面邊長為a，高為h，球的半徑為r，由題意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－eq\f(h2,2)，所以正四棱柱的體積V＝a2h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(h2,2)))h，則V′＝6－eq\f(3,2)h2，由V′>0，得0<h<2，由V′<0，得h>2，所以當h＝2時，正四棱柱的體積最大，Vmax＝8．[答案]2折疊與綻開[典型例題](2024·揚州期末)如圖所示，平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為________．【解析】如圖，取BD的中點E，BC的中點O，連結AE，OD，EO，AO．由題意，知AB＝AD，所以AE⊥BD．由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，所以AE⊥平面BCD．因為AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，所以AE＝eq\f(\r(2),2)，EO＝eq\f(1,2)．所以OA＝eq\f(\r(3),2)．在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為eq\f(\r(3),2)．所以該球的體積V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(3),2)π．【答案】eq\f(\r(3),2)πeq\a\vs4\al()解決折疊問題的關鍵是搞清晰處在折線同一個半平面的量是不變的，然后依據翻折前后圖形及數量關系的改變，借助立體與平面幾何學問，即可求解．[對點訓練]6．如圖，把邊長為2的正六邊形ABCDEF沿對角線BE折起，使AC＝eq\r(6)，則五面體ABCDEF的體積為________．[解析]由BE⊥OA，BE⊥OC知BE⊥平面AOC，同理BE⊥平面FO′D，所以平面AOC∥平面FO′D，故AOC-FO′D是側棱長(高)為2的直三棱柱，且三棱錐B-AOC和E-FO′D為大小相同的三棱錐，所以VABCDEF＝2VB-AOC＋VAOC-FO′D＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×1＋eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×2＝4．[答案]47．已知矩形ABCD的面積為8，當矩形周長最小時，沿對角線AC把△ACD折起，則三棱錐D-ABC的外接球的表面積等于________．[解析]設矩形的兩鄰邊長度分別為a，b，則ab＝8，此時2a＋2b≥4eq\r(ab)＝8eq\r(2)，當且僅當a＝b＝2eq\r(2)時等號成立，此時四邊形ABCD為正方形，其中心到四個頂點的距離相等，均為2，無論怎樣折疊，其四個頂點都在一個半徑為2的球面上，這個球的表面積是4π×22＝16π．[答案]16π1．(2024·南京、鹽城高三模擬)設一個正方體與底面邊長為2eq\r(3)，側棱長為eq\r(10)的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長為________．[解析]依據題意，設正方體的棱長為a，則有a3＝eq\f(1,3)×(2eq\r(3))2×eq\r(（\r(10)）2－（\f(2\r(3)×\r(2),2)）2)，解得a＝2．[答案]22．(2024·蘇州期末)已知一個圓錐的母線長為2，側面綻開是半圓，則該圓錐的體積為________．[解析]設圓錐的底面半徑為r，高為h，則2π＝2πr，故r＝1，故h＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，故圓錐的體積為eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3)．[答案]eq\f(\r(3),3)π3．(2024·蘇錫常鎮模擬)平面α截半徑為2的球O所得的截面圓的面積為π，則球心O到平面α的距離為________．[解析]設截面圓的半徑為r，則πr2＝π，解得r＝1，故d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(3)．[答案]eq\r(3)4．表面積為3π的圓錐，它的側面綻開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．[解析]設圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，則πrl＋πr2＝3π，πl＝2πr．解得r＝1，即直徑為2．[答案]25．(2024·南京、鹽城模擬)若一個圓錐的底面半徑為1，側面積是底面積的2倍，則該圓錐的體積為________．[解析]設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則由側面積是底面積的2倍得πrl＝2πr2，故l＝2r＝2，因此高為h＝eq\r(3)，故圓錐的體積為V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π．[答案]eq\f(\r(3)π,3)6．(2024·蘇錫常鎮調研)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝4，點E為棱CD上一點，則三棱錐E-PAB的體積為________．[解析]因為VE-PAB＝VP-ABE＝eq\f(1,3)S△ABE·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB·AD·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3×4＝4．[答案]47．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則四棱錐A-BB1D1D的體積為__________________________________________________________________cm3．[解析]連結AC交BD于O，在長方體中，因為AB＝AD＝3，所以BD＝3eq\r(2)且AC⊥BD．又因為BB1⊥底面ABCD，所以BB1⊥AC．又DB∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，所以AO為四棱錐A-BB1D1D的高且AO＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(3\r(2),2)．因為S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3eq\r(2)×2＝6eq\r(2)，所以VA-BB1D1D＝eq\f(1,3)S矩形BB1D1D·AO＝eq\f(1,3)×6eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)＝6(cm3)．[答案]68．已知正四棱錐的側棱與底面的邊長都為3eq\r(2)，則這個四棱錐的外接球的表面積為________．[解析]依題意得，該正四棱錐的底面對角線長為3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高為eq\r(（3\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6))\s\up12(2))＝3，因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該四棱錐的外接球的球心為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3，所以其外接球的表面積等于4π×32＝36π．[答案]36π9．(2024·江蘇省高考名校聯考信息卷(五))如圖是一個實心金屬幾何體的直觀圖，它的中間為高是4的圓柱，上下兩端均是半徑為2的半球，若將該實心金屬幾何體在熔爐中高溫熔化(不考慮過程中的原料損失)，熔成一個實心球，則該球的直徑為______．[解析]設實心球的半徑為R，則由題意知該實心金屬幾何體的體積V＝eq\f(32,3)π＋16π＝eq\f(80,3)π＝eq\f(4,3)πR3，得R＝eq\r(3,20)，所以實心球的直徑為2R＝2eq\r(3,20)．[答案]2eq\r(3,20)10．(2024·江蘇省高考名校聯考(五))如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，點P是平面A1B1C1D1內一點，且AA1＝2AB，若三棱錐P-BCD的體積與正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側面積的數值之比為1∶24，則VABCD-A1B1C1D1＝________．[解析]設AB＝a，則AA1＝2a，所以VP-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×2a＝eq\f(1,3)a3，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側面積為S＝4×2a2＝8a2，所以eq\f(\f(1,3)a3,8a2)＝eq\f(a,24)＝eq\f(1,24)，即a＝1，所以VABCD-A1B1C1D1＝2a3＝2．[答案]211．(2024·蘇州市第一學期學業質量調研)如圖，某種螺帽是由一個半徑為2的半球體挖去一個正三棱錐所得的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內接于半球底面的大圓，頂點在半球面上，則被挖去的正三棱錐的體積為______．[解析]如圖，記挖去的正三棱錐為正三棱錐P-ABC，則該正三棱錐的底面三角形ABC內接于半球底面的大圓，頂點P在半球面上．設BC的中點為D，連結AD，過點P作PO⊥平面ABC，交AD于點O，則AO＝PO＝2，AD＝3，AB＝BC＝2eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3)，所以挖去的正三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC×PO＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×2＝2eq\r(3)．[答案]2eq\r(3)12．(2024·南京模擬)如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，斜邊BC上的中線AD＝2，將△ABC沿AD折成60°的二面角，連結BC，則三棱錐C-ABD的體積為________．[解析]因為BD⊥AD，CD⊥AD，所以∠BDC即為二面角B-AD-C的平面角，即∠BDC＝eq\f(π,3)．又因為BD＝DC＝2，所以三角形BDC面積為eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)．又因為AD⊥平面BDC，所以V＝eq\f(1,3)AD×S△DBC＝eq\f(2\r(3),3)．[答案]eq\f(2\r(3),3)13．如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________．[解析]如圖，過A，B兩點分別作AM，BN垂直于EF，垂足分別為M，N，連結DM，CN，可證得DM⊥EF，CN⊥EF，多面體ABCDEF分為三部分，多面體的體積為VABCDEF＝VAMD-BNC＋VE-AMD＋VF-BNC．因為NF＝eq\f(1,2)，BF＝1，所以BN＝eq\f(\r(3),2)．作NH垂直BC于點H，則H為BC的中點，則NH＝eq\f(\r(2),2)．所以S△BNC＝eq