《人教版九年級上冊全書教案》

其次十一章二次根式

教材內(nèi)容

1.本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：

二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二

次根式.

2.本單元在教材中的地位和作用：

二次根式是在學(xué)完了八年級下冊第十七章《反比例正函數(shù)》、第

十八章《勾股定理及其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上接著學(xué)習(xí)的，它也

是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)學(xué)問的基礎(chǔ).

教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)問及技能

（1）理解二次根式的概念.

（2）理解G620）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，（&）2=a（a，0）,而二a

（a，0）.

（3）駕馭&i?\[b=\[ab（a，0,b，0）,\[ab-\[a?4b;

當(dāng)中（心0,b>0）,信亨（aM,b>0）.

（4）了解最簡二次根式的概念并敏捷運(yùn)用它們對二次根式進(jìn)行

加減.

2.過程及方法

(1)先提出問題，讓學(xué)生探討、分析問題，師生共同歸納，得

出概念.□再對概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析，得出幾個(gè)重要結(jié)論，并運(yùn)用

這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡.

(2)用詳細(xì)數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘

(除)法規(guī)定，□并運(yùn)用規(guī)定進(jìn)行計(jì)算.

(3)利用逆向思維，□得出二次根式的乘(除)法規(guī)定的逆向

等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡.

(4)通過分析前面的計(jì)算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，

□給出最簡二次根式的概念.利用最簡二次根式的概念，來對相同

的二次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡的目的.

3.情感、看法及價(jià)值觀

通過本單元的學(xué)習(xí)培育學(xué)生：利用規(guī)定精確計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)

的科學(xué)精神，經(jīng)過探究二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，

發(fā)展學(xué)生視察、分析、發(fā)覺問題的實(shí)力.

教學(xué)重點(diǎn)

1.二次根式&(a20)的內(nèi)涵.&(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù);

(6)2=a(a，0);以二a(a20)□及其運(yùn)用.

2.二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運(yùn)算.

教學(xué)難點(diǎn)

1.對&（a，0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解；對等式（&）2=a（a

20）及77二a（a，0）的理解及應(yīng)用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成最簡二次根

式.

教學(xué)關(guān)鍵

1.潛移默化地培育學(xué)生從詳細(xì)到一般的推理實(shí)力，突出重點(diǎn)，

突破難點(diǎn).

2.培育學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行精確計(jì)算的實(shí)

力，□培育學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神.

單元課時(shí)劃分

本單元教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，詳細(xì)安排如下：

21.1二次根式3課時(shí)

21.2二次根式的乘法3課時(shí)

21.3二次根式的加減3課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié)2課時(shí)

21.1二次根式

第一課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)

理解二次根式的概念，并利用&(a20)的意義解答詳細(xì)題目.

提出問題，依據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：形如后(a，0)的式子叫做二次根式的概念；

2.難點(diǎn)及關(guān)鍵：利用“五(a20)”解決詳細(xì)問題.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))請同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問題：

問題1:已知反比例函數(shù)y二』，那么它的圖象在第一象限橫、

X

口縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

問題2:如圖，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,NC=90。,

那么AB邊的長是.

A

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、

8,那么甲這次射擊的方差是S2,那么S二.

老師點(diǎn)評：

問題1:橫、縱坐標(biāo)相等，即x=y,所以x?=3,因?yàn)辄c(diǎn)在第一象

限，所以x二百，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)（&,百）.

問題2：由勾股定理得AB二加

問題3:由方差的概念得S二6.

二、探究新知

很明顯為、回、E都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根,像這樣一

些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般

地，我們把形如G（a，0）□的式子叫做二次根式，稱為二

次根號.

（學(xué)生活動(dòng)）議一議：

1.-1有算術(shù)平方根嗎？

2.0的算術(shù)平方根是多少？

3.當(dāng)a<0,右有意義嗎？

老師點(diǎn)評：(略)

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：夜、獨(dú)、

Ly/x(x>0)、Vo>蚯、一夜、、Jx+y(x20,yU^O).

x

分析：二次根式應(yīng)滿意兩個(gè)條件：第一，有二次根號“一”；其

次，被開方數(shù)是正數(shù)或0.

解：二次根式有：&、4(x>0)、而、-6、Jx+y(x，0,

y，0);不是二次根式的有：火、正、.

x

例2.當(dāng)X是多少時(shí)，二T在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)確定要大于或等于0,所

以3x720,□反萬才能有意義.

解：由3x720,得：

3

當(dāng)時(shí)，757二T在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3

三、鞏固練習(xí)

教材P3練習(xí)1、2、3.

四、應(yīng)用拓展

例3⑴已知y二萬R77^+5,求土的值.(答案⑵

)'

⑵若G+Q=O,求a2°°4+b2。°4的值.（答案：2）

五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評）

本節(jié)課要駕馭：

1.形如右（a20）的式子叫做二次根式，“，”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必需滿意被開方數(shù)是非

負(fù)數(shù).

六、布置作業(yè)

1.教材P5復(fù)習(xí)鞏固1、綜合應(yīng)用5.

漕加內(nèi)容：

課后反思:

可以授節(jié)課

教研組長看法

2013年月日

21.1二次根式(2)

其次課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

1.4a(aNO)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

2.(右)2二a(a20).

教學(xué)目標(biāo)

理解G(a^O)是一個(gè)非負(fù)數(shù)和(及)2=a(a^O),并利用它

們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出&（a^O）

是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用詳細(xì)數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（6）2二a

（a，0）;最終運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：\[a（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（&）2=a（a，0）及其

運(yùn)用.

2.難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出&（a，0）是一個(gè)非

負(fù)數(shù)；□用探究的方法導(dǎo)出（&）2=a（a，0）.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)a20時(shí)，6叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，?有意義嗎?

老師點(diǎn)評（略）.

二、探究新知

議一議：（學(xué)生分組探討，提問解答）

&（a^O）是一個(gè)什么數(shù)呢？

老師點(diǎn)評：依據(jù)學(xué)生探討和上面的練習(xí)，我們可以得出

\[a（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

做一做：依據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

(74)-;(V2)2=;(V9)2=；(G)

2-_____9-

(J)、一；情)J；(氏).

老師點(diǎn)評：〃是4的算術(shù)平方根，依據(jù)算術(shù)平方根的意義，"

是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有(血)2二4.

同理可得：(&)F,(79)2=9,(石)2=3,(J)2=|,(《)

(Vo)2=0,所以

2

(右)2=a(a20)

例1計(jì)算

1.(￡)22.(375)23.(啟24.哼)2

分析：我們可以干脆利用(石)2=a(a20)的結(jié)論解題.

解：(身工，(36)2二3”6)守?5二45,

三、鞏固練習(xí)

計(jì)算下列各式的值:

(如)2(胃)2(斗)2(而)2J卜

(3*)2-(56)2

四、應(yīng)用拓展

例2計(jì)算

1.(V7TT)2(x，o)2.(77)23.(Jl+2a+i)2

分析：(1)因?yàn)閤20,所以x+1>0;(2)a2^0;(3)a2+2a+1=

(a+1)20;

(4)4x-12x+9=(2x)-2?2x?3+3?二(2x-3)2^0.

所以上面的4題都可以運(yùn)用(6)2=a(a，0)的重要結(jié)論解題.

解：(1)因?yàn)閤，0,所以x+1>0

(Vx+T)2=x+1

(2)Va2^0,A(V7)2=a2

(3)Va2+2a+1=(a+1)2

又(a+1)2,0,/.a2+2a+1^0,/.yja2+2a+\=a2+2a+1

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)駕馭：

1.G(a^O)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

2.(Vtz)2=a(a20);反之：a=(4)2(a>0).

六、布置作業(yè)

1.教材P8復(fù)習(xí)鞏固2,3

增加內(nèi)容：

__________________________________________課后反思：

可以授節(jié)課

教研組長看法

2013年月日

21.1二次根式(3)

第三課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

V?=a(a20)

教學(xué)目標(biāo)

理解而二a(a20)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡.

通過詳細(xì)數(shù)據(jù)的解答，探究V7=a(a20),并利用這個(gè)結(jié)論解

決詳細(xì)問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：正=a(a，0).

2.難點(diǎn)：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a，0時(shí)，"=a才成立.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；

1.形如八(a20)的式子叫做二次根式；

2.y[a(a，0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

3.(\[a)2=a(a，0).

那么，我們猜想當(dāng)a，0時(shí)，V7=a是否也成立呢？下面我們就

來探究這個(gè)問題.

二、探究新知

(學(xué)生活動(dòng))填空：

萬二；76^7=；=；

二：行二：二.

(老師點(diǎn)評)：依據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：

廳二2；Vo.oi2=0.01;=—;=-;而二0;=-.

1037

因此，一般地：行二a(a20)

例1化簡

(1)也(2)“-4)2(3)V25(4)7(-3)2

分析：因?yàn)?1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可運(yùn)用77二a(a^O)□去化簡.

解：(1)亞二后二3(2)J(-4)2二后二4

(3)后二廳二5(4)J(-3『二療二3

三、鞏固練習(xí)

教材P5練習(xí)2.

四、應(yīng)用拓展

例2填空：當(dāng)a^O時(shí)，77=;當(dāng)a<0時(shí)，而二,

□并依據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.

(1)若必二a,則a可以是什么數(shù)？

(2)若=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)Ga,則a可以是什么數(shù)？

分析：VV7=a(a，0),???要填第一個(gè)空格可以依據(jù)這個(gè)結(jié)論,

其次空格就不行，應(yīng)變形，使"()2"中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)椋?dāng)a

<0時(shí)，"二歷尸，那么一a20.

(1)依據(jù)結(jié)論求條件；(2)依據(jù)其次個(gè)填空的分析，逆向思想;

(3)依據(jù)(1)、(2)可知以二|a|,而|a|要大于a,只有什么

時(shí)候才能保證呢？a<0.

解：(1)因?yàn)椤?a,所以a20;

(2)因?yàn)镃=-a,所以aWO;

(3)因?yàn)楫?dāng)a20時(shí)而二a,要使77>a,即使a>a所以a不存

在；當(dāng)a<0時(shí)，V7=-a,要使戶>a,即使-a>a,a<0綜上，a<0

例3當(dāng)x>2,化簡J(x—2)2-&1—24.

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)駕馭：行二a（a，0）及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)￡0時(shí),

而=-a的應(yīng)用拓展.

六、布置作業(yè)

1.教材Ps習(xí)題21.4、6、8.

漕加內(nèi)容：

__________________________________________課后反思:

可以授節(jié)課

教研組長看法

2013年月日

21.2二次根式的乘除

第一課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

x[a?y/h—y[cib(a20,b，0),反之二&?\[h(a20,b20)

及其運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)

理解G?\[b—\[ab(a20,b20),\[ab-Viz?\[b(a，0,b

20),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡

由詳細(xì)數(shù)據(jù)，發(fā)覺規(guī)律，導(dǎo)出G-折=疝(a^O,b20)并

運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算；□利用逆向思維，得出，石二及(a^O,b

20)并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

重點(diǎn)：4a?\[b=\[ab(a20,b20),4ab-y/a?\fb(a^O,b

20)及它們的運(yùn)用.

難點(diǎn)：發(fā)覺規(guī)律，導(dǎo)出石?血=疝(a，0,b20).

關(guān)鍵：要講清"石(a<0,b<0)二右?6，如7(-2)x(-3)=7-(-2)x-(-3)

或&-2)x(-3)二萬b二6X6.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))請同學(xué)們完成下列各題.

1.填空

(1)V?X79=,74^9=;

(2)V16X725=,-16x25/.

(3)TWOX736=,7100x36=.

參考上面的結(jié)果，用“>、<或="填空.

74XV9_____74^9,V16XV25716x25,、麗X

x/36V100x36

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空

(1)V2XV3瓜,(2)V2X75VTo,

(3)亞X瓜730,(4)V4XV5而,

(5)幣XM屈.

老師點(diǎn)評(訂正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤)

二、探究新知

(學(xué)生活動(dòng))讓3、4個(gè)同學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律.

老師點(diǎn)評：(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；

(2)兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，□并且把這兩個(gè)

二次根式中的數(shù)相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數(shù).

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

\[a?\[h=\[ab.(a，0,b，0)

反過來：嵐二瓦?赤(a20,b20)

例1.計(jì)算

(1)75X77(2)[x囪(3)V9XV27(4)A

XV6

分析：干脆利用&?〃=而(a^O,b20)計(jì)算即可.

解：(1)石X赤二底

(2)XV9——\/3

(3)V9XV27=^9X27=792X3=9>/3

(4)X^6—->/3

例2化簡

(1)79x16(2)716x81(3)781x100

(4)y]9x2y2(5)V54

分析：利用疝二6?4b(a，0,b，0)干脆化簡即可.

解：(1)>/9X16=X/9X716=3X4=12

(2)716x81=^X781=4X9=36

(3)Vs1x100—V8TXy]\00—9X10—90

(4)師了二行=V?x77=3xy

(5)后二后^二后XR二3a

三、鞏固練習(xí)

(1)計(jì)算(學(xué)生練習(xí)，老師點(diǎn)評)

①而又枇②3mX2M③底i?

⑵化簡：而；如；V24;V54;J12八2

教材P”練習(xí)全部

四、應(yīng)用拓展

例3.推斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：

(1)J(T)x(_9)=Cx"

(2)XV25=4XJ—XV25=4J—X725=4V12=873

解：(1)不正確.

改正：J(Y)x(-9)=「4x9=V?X79=2X3=6

(2)不正確.

改正：XV25=XV25—VH2=>/16X7=477

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)駕馭：(1)4a?揚(yáng)=y[ab-(a20,b20),4^b-4a?后

(a，0,b20)及其運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

1.課本P12.1.

增加內(nèi)容：

課后反思:

可以授節(jié)課

教研組長看法

2013年月日

21.2二次根式的乘除

其次課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

反過來百啜

7rM(a^O,b>0),(a^O,b>0)及利用它們進(jìn)

行計(jì)算和化簡.

教學(xué)目標(biāo)

理解里二口(a^O,b>0)和、口二四(a^O,b>0)及利用它

&Nb\b4b

們進(jìn)行運(yùn)算.

利用詳細(xì)數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)覺規(guī)律，歸納出除法規(guī)

定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：理解/二、口(a^O,b>0),、口二/(a^O,b>0)

及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)覺規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))請同學(xué)們完成下列各題：

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式.

2.填空

3.利用計(jì)算器計(jì)算填空:

(1)鼻_________,(2)+,(3)濟(jì)______

V4V3V5

(4).

規(guī)律：小監(jiān)；w；

"---------V46------------\R3V*5---------PV5

a[7

W——Vi°

每組舉薦一名學(xué)生上臺(tái)闡述運(yùn)算結(jié)果.

(老師點(diǎn)評)

二、探究新知

剛才同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺(tái)的同學(xué)也回答得特別精確，依

據(jù)大家的練習(xí)和回答，我們可以得到：

一般地，對二次根式的除法規(guī)定：

下面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡一些題目.

例L計(jì)算：⑴普(2)(3)(4)f

分析：上面4小題利用(a^O,b>0)便可干脆得出答案.

角單：(1)親二后二八二2

(2)=J-^-=J-x8=y/3^4=y/3x=2^

V28丫2

(3)-V4=2

⑷展除乒26

例2.化簡：

(1)后(2)(3)(4)

分析：干脆利用(a±0,b>0)就可以達(dá)到化簡之目的.

(2)二

(3)二

(4)二

三、鞏固練習(xí)

教材P11練習(xí)1.

四、應(yīng)用拓展

例3.已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值.

分析:式子只有a20,b>0時(shí)才能成立.

b4h

因此得到9-x，0且x-6>0,即6<xW9,又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以

x=8.

解：由題意得，即

.??6<xW9

Vx為偶數(shù)

/.x=8

.,?原式二(1+x)

=(1+x)

=(1+x)=J(l+x)(x_4)

，當(dāng)x=8時(shí)，原式的值=/^?二6.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課要駕馭和

(a^O,b>0)廠方(a^O,b>0)

及其運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

1.教材九習(xí)題21.22、3.

增加內(nèi)容：

__________________________________________課后反思:

可以授節(jié)課

教研組長看法

2013年月日

21.2二次根式的乘除(3)

第三課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進(jìn)行二次根式

的化簡運(yùn)算.

教學(xué)目標(biāo)

理解最簡二次根式的才既念，并運(yùn)用它把不是最簡二次根式的化

成最簡二次根式.

通過計(jì)算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并依據(jù)

它的特點(diǎn)來檢驗(yàn)最終結(jié)果是否滿意最簡二次根式的要求.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：最簡二次根式的運(yùn)用.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)推斷這個(gè)二次根式是否是最簡二次根式.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請同學(xué)們完成下列各題（請三位同學(xué)上臺(tái)板書）

1.計(jì)算（1）.，（2）建，（3）盤

V5V27

老師占評.見二叵在二1昱二巫

2.現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：假如兩個(gè)電視塔的高分別

是％km,h2km,□那么它們的傳播半徑的比是.

它們的比是.

二、探究新知

視察上面計(jì)算題1的最終結(jié)果，可以發(fā)覺這些式子中的二次根

式有如下兩個(gè)特點(diǎn)：

1.被開方數(shù)不含分母；

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿意上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？假如不是，把它們化

成最簡二次根式.

學(xué)生分組探討，舉薦3?4個(gè)人到黑板上板書.

老師點(diǎn)評：不是.

例1.(D；⑵而不￥；⑶而F

例2.如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB

的長.

A

解：因?yàn)锳B2=AC2+BC2

所以AB=J2S+62=橙+36=科=嚕*=6,5所)

因此AB的長為6.5cm.

三、鞏固練習(xí)

教材P”練習(xí)2、3

四、應(yīng)用拓展

例3.視察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的

化成最簡二次根式：

二萬血二)=立心二

(V2+1)(72-1)2-1

_1x(73-72)_75-V2_rr_行

入用物回?fù)P一下「一7，

同理可得：二"-石，……

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算

(+++.........)(V2002+1)的值.

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，

分母有理化后就可以達(dá)到化簡的目的.

解：原式二(V2-1+V3-V2+V4-V3+.........+72002-72001)X

(#2002+1)

二(J2002T)(72002+1)

=2002-1=2001

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)駕馭：最簡二次根式的概念及其運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

1.教材％習(xí)題21.23、4,5.

增加內(nèi)容:

__________________________________________課后反思：

可以授節(jié)課

教研組長看法

2013年月日

21.3二次根式的加減⑴

第一課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)

理解和駕馭二次根式加減的方法.

先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進(jìn)行

加減的方法的理解.再總結(jié)閱歷，用它來指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判定是否是最簡二次根式.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y;(4)3a2-2a2+a3

老師點(diǎn)評：上面題目的結(jié)果，事實(shí)上是我們以前所學(xué)的同類項(xiàng)

合并.同類項(xiàng)合并就是字母不變，系數(shù)相加減.

二、探究新知

學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式.

(1)20+3后(2)2限-3亞+5近

(3)療+2療+3回5(4)3^-273+72

老師點(diǎn)評：

(1)假如我們把血當(dāng)成x,不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎？

272+372=(2+3)及二5五

(2)把人當(dāng)成y;

2Vs—3Vs~^5V8—(2-3+5)yjs—4y/8—8V2

(3)把將當(dāng)成z；

出+2幣+M幣

二2幣+2幣+3幣=(1+2+3)V7=677

(4)G看為x,0看為y.

3^-2A/3+V2

二(3-2)V3+V2

=G+&

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2四及人表

面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的.

(板書)372+^=372+272=572

38+后二38+3石二66

所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式,

□再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

例1.計(jì)算

(1)瓜+V18(2)業(yè)6x+164x

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項(xiàng)化為最簡二次根式；其次

步，將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并.

解：(1)瓜+則二2后+3桓二(2+3)72=572

(2)Jl6x+J64K=4&+8G=(4+8)Vx-12Vx

例2.計(jì)算

(1)3a-9卜3月

(2)(V48+V20)+(712-75)

解:(1)3748-9^+3712=1273-373+673=(12-3+6)斥15c

(2)(748+720)+(V12-V5)=V48+V20+V12-A/5

=46+2,5+2百一新=66+6

三、鞏固練習(xí)

教材隊(duì)練習(xí)1、2.

布置作業(yè)

1.教材乙習(xí)題21.1

增加內(nèi)容:

__________________________________________課后反思：

可以授節(jié)課

教研組長看法

2013年月日

21.3二次根式的加減(2)

其次課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

利用二次根式化簡的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)目標(biāo)

運(yùn)用二次根式、化簡解應(yīng)用題.

通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進(jìn)

行合并后解應(yīng)用題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是本節(jié)課的難點(diǎn)、

關(guān)鍵點(diǎn).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸

為兩個(gè)步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式：其次步，

再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我們講三道例題以做

鞏固.

二、探究新知

例1.如圖所示的RtZkABC中，ZB=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B起先沿BA

邊以1厘米/□秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B起先沿

BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng).問：幾秒后△PBQ的面積為

35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）

分析：設(shè)x秒后△PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ二2x,

□依據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值.

解：設(shè)x后△PBQ的面積為35平方厘米.

則有PB=x,BQ=2x

依題意，得：-x-2x=35

2

X2=35

x—J35

所以岳秒后△PBQ的面積為35平方厘米.

PQ-yjPB^BQ1=VX2+4X2=75?=V5X35=577

答：而秒后△PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5萬厘

米.

例2.要焊接如圖所示的鋼架，大約須要多少米鋼材(精確到

0.1m)?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材,

□只需知道這四段的長度.

解：由勾股定理，得

AB二』AD2+BD?="+2?=而=2后

BC二yjBDr+CDr=722+12二6

所需鋼材長度為

AB+BC+AC+BD

=275+75+5+2

=375+7

^3X2.24+7^13.7(m)

答：要焊接一個(gè)如圖所示的鋼架，大約須要13.7m的鋼材.

三、鞏固練習(xí)

教材P16練習(xí)3

四、應(yīng)用拓展

例3.若最簡根式犯風(fēng)不誣及根式也不二廬奇是同類二次根式，

求a、b的值.(□同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式)

分析：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，被開

方數(shù)相同；□事實(shí)上，根式，2〃/—/+6/不是最簡二次根式,因此

把J2次？_方+6方化簡成|b|?12a-b+6,才由同類二次根式的定義

得3a-LJb二口2,2a-b+6-4a+3b.

解：首先把根式J2M2—分+6之化為最簡二次根式:

一力3+6b2二妍(2〃-1+6)二|b|?〃+6

由題意得

??

/.a=1,b=1

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)駕馭運(yùn)用最簡二次根式的合并原理解決實(shí)際問題.

六、布置作業(yè)

1.教材Pu習(xí)題21.37.

增加內(nèi)容:

__________________________________________課后反思：

可以授節(jié)課

教研組長看法

2013年月日

21.3二次根式的加減(3)

第三課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

含有二次根式的單項(xiàng)式及單項(xiàng)式相爽、相除；多項(xiàng)式及單項(xiàng)式

相乘、相除；多項(xiàng)式及多項(xiàng)式相乘、相除；乘法公式的應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)

含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘

法公式的應(yīng)用.

復(fù)習(xí)整式運(yùn)算學(xué)問并將該學(xué)問運(yùn)用于含有二次根式的式子的乘

除、乘方等運(yùn)算.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

重點(diǎn)：二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律；

難點(diǎn)關(guān)鍵：由整式運(yùn)算學(xué)問遷移到含二次根式的運(yùn)算.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：請同學(xué)們完成下列各題：

1.計(jì)算

(1)(2x+y)?zx(2)(2x2y+3xy2)-rxy

2.計(jì)算

(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+1)2+(2x-1)2

老師點(diǎn)評：這些內(nèi)容是對八年級上冊整式運(yùn)算的再現(xiàn).它主要

有(1)□單項(xiàng)式X單項(xiàng)式；(2)單項(xiàng)式X多項(xiàng)式；(3)多項(xiàng)式：單

項(xiàng)式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的運(yùn)用.

二、探究新知

假如把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是

否仍成立呢？口仍成立.

整式運(yùn)算中的x、y、z是一種字母，它的意義特別廣泛，可以

代表全部一切，□當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運(yùn)算

規(guī)律也適用于二次根式.

例1.計(jì)算：

(1)(瓜+冊)Xy/3(2)(4瓜-3母)

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍舊滿意整式的運(yùn)算規(guī)律，□所以

干脆可用整式的運(yùn)算規(guī)律.

解：(1)(a+屈)X73=76XV3+V8XV3

—\/1-8+-24—3\/2+2\/6

解：(4\/6_3V2)-r2V2=4>/64_25/2-3V24_25/2

=273--

2

例2.計(jì)算

(1)(V5+6)(3-75)(2)(VlO+V?)(V10-V7)

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公

式運(yùn)算中仍舊成立.

解：(1)(75+6)(3-石)

-375-(■)2+18-6>/5

=13-375

(2)(M+近)=(Vfo)-(V7)2

=10-7=3

三、鞏固練習(xí)

課本%練習(xí)1、2.

四、應(yīng)用拓展

例3.已知士心二2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+bHO,

a

化簡+,并求值.

分析：由于(G+五)(而1-?)口，因此對代數(shù)式的化簡，

可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到X

的值，代人化簡得結(jié)果即可.

解..原式=(Jx+l+(Jx+1+6)”

(Jx+1+\Zx)(>/x+l-Vx)(Jx+1-?)(，￥+14-A/X)

二十

二(x+1)+x-2“(x+l)+x+2Jx(x+1)

=4x+2

...x-h2__

Cl

/.b(x-b)=2ab-a(x-a)

二?bx-b2=2ab-ax+a2

，(a+b)x=a2+2ab+b2

，(a+b)x=(a+b)2

*.*a+b#=0

，x二a+b

，原式=4x+2=4(a+b)+2

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)駕馭二次根式的乘、除、乘方等運(yùn)算.

六、布置作業(yè)

1.教材％習(xí)題21.32,3,4.

增加內(nèi)容:

__________________________________________課后反思：

可以授節(jié)課

教研組長看法

2013年月日

二次根式復(fù)習(xí)課

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生進(jìn)一步理解二次根式的意義及基本性質(zhì)，并能嫻熟地化簡

含二次根式的式子；

2.嫻熟地進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：含二次根式的式子的混合運(yùn)算.

難點(diǎn)：綜合運(yùn)用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則化簡和計(jì)算含二次根式

的式子.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)

1.請同學(xué)回憶二次根式有哪些基本性質(zhì)？用式子表示出來，并說明

各式成立的條件.

指出：二次根式的這些基本性質(zhì)都是在確定條件下才成立的，主

要應(yīng)用于化簡二次根式.

2.二次根式的乘法及除法的法則是什么？用式子表示出來.

指出：二次根式的乘、除法則也是在確定條件下成立的.把

兩個(gè)二次根式相除，

先寫成分式形式，即六瓜+、歷=宗，再運(yùn)用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算,

計(jì)算結(jié)果要把分母有理化.

3.在二次根式的化簡或計(jì)算中，還常用到以下兩個(gè)二次

根式的關(guān)系式：

(l)a=(^)2(a>0)；(2)|a|=77.

4.在含有二次根式的式子的化簡及求值等問題中，常運(yùn)

用三個(gè)可逆的式子：

⑴函產(chǎn)=a(a)O)與a=(@2(a>0)；

(2)-\Ab=7a?Vf(a)O,b》O)與m?Jb=^b(a^O,b》O)；

(3)《=[(a)0,b>0)與｛=((a>O,b>0).

例如，化簡看，可以用3種方法：

⑴直接約分子等

(2)分母有理化重=案y=不；

(3)看作二次根式的除法卷==汨.

5.正不一定能化成('局t

當(dāng)a20時(shí)，如(石)，=后=(石)2,(疝)2=7^=(To)2,此時(shí)，7?

=(\但)2；當(dāng)/〈0時(shí)，&-2)，=厲=(后,但G無意義，所以J(-2)2<(P)2

時(shí)47戶(店),

二、例題

例1X取什么值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義:

(1)V3-x+Jx—2；(2)---^==；

17x

(3)、盾+J-2x；(4)J?2.

3x

分析:

(1)題是兩個(gè)二次根式的和，x的取值必需使兩個(gè)二次根

式都有意義；

(2)題中，式子的分母不能為零，即杯能取使1-必=0的值；

(3)題是兩個(gè)二次根式的和，x的取值必需使兩個(gè)二次根

式都有意義；

(4)題的分子是二次根式，分母是含x的單項(xiàng)式，因此x

的取值必需使二次根式有意義，同時(shí)使分母的值不等于零.

解(1)要使J3-x有意義,必須3.x》0,即x《3；要使Jx-2有意義,必須x-2》0,

即x》2.所以使式子j3-x+Jx-2有意義的通.為3.

(2)因?yàn)??衣=1?因,當(dāng)x=±1時(shí)，1?國=0,原式?jīng)]有意義,所以當(dāng)x#±l時(shí),

式子已常有意義.

(3)因?yàn)槭笿及有意義的x值為x》0,使W石有意義的確I值為x40,所以使?位

+J-2x有意義的嫌為x=0.

(4)因?yàn)槭固撦^有意義的x取值為x+2>0,0Px>-2,而分母3x盧0,即x盧0,所

以使式子因匪有意義的x取值為

3x

x，-2且x=/=0.

例2已知m,n為實(shí)數(shù)，且滿足m一言+.求6m-3n的值.

J"-"'n-：3

分析：先根據(jù)已知條件求出m與n的值，再求多項(xiàng)式6m-3n的值,二次根式而二?

與，6二B有意義的條件分別是r?.93。及9.八3o,從中求得n的值，從而確定m￡

解因?yàn)殚T2-920,9-n2^0,且n-3豐0,所以「二9且n學(xué)3,所

以

Jn，-9+A/9-n2+442

n=-3,m=----------------=-T=,

n-3-63

6m-3n=6X(-1)-3(-3)=5.

指出：例1和例2主要復(fù)習(xí)二次根式的意義，即當(dāng)a》0時(shí)，二次根式有意義.

例3

…芹-4a+473-a1

計(jì)算心-4a+3'TT+7T7'

分析：第一個(gè)二次根式的被開方數(shù)的分子及分母都可以分解因

式.把它們分別分解因式后，再利用二次根式的基本性質(zhì)把式

子化簡，化簡中應(yīng)留意利用題中的隱含條件3-a20和1-a>0.

解因?yàn)?-a>0,3-a^0,所以

a<1,|a-21=2-a.

(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)^0.

22-4a+4斤a]_[(a_2尸._1

a-2Jl-a^(a3)a-2Jl-a

Va2-4a+3

J(a一2)，.J3-a1

-l)(a-3)a-2Jl-a

|a-2|.J3-a+1

-

A/(a-l)(a3)a-2Jl-a

2-aJ3—a1

Jl-a?，3~aa-2JI-a

=0.

指出：由于二次根式的基本性質(zhì)7?=|a|要由a的取值范圍確定，即

4

[fU^/ab=7a司成立的條件是a30及b30(a>0,b>0),因此在運(yùn)

這些性質(zhì)化簡含二次根式的式子時(shí)，要留意上述條件，并

要闡述清晰是怎樣滿意這些條件的.

硼已知”而片

-4的值.

問：上面的代數(shù)式中的兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)的式子如

何化為完全平方式？

'+4=/+義+21

答:-4=a2+-y-2=Ia

a

問:如何確定a+」及a」的值是正值還是負(fù)值?

aa

11廠廠

答:可由己知條件a==J5-、杉〉0,~-V3+V2,知aH■一〉0.

aa

*=(、葭②一

=(73-72)-(73+72)

=-2V2<0.

當(dāng)aS時(shí)，

原式=2a=2（有一、泛）=2/?2、泛.

分析：先把其次個(gè)式子化簡，再把兩個(gè)式子進(jìn)行通分，然

后進(jìn)行計(jì)算.

+x1-X

例5計(jì)算

J1+X+J1-XJ]_/-1+X

解

-1+X+1-X

+X+71-X71+X12-1+X

J1+X1-X

71+X+Vl-xJ1+，-1+X

+.J1-X

=-.---_+—----一

+X+J1-X0+X-J1-X

J1+X(J1+X-J1X)+J1-X(J1+X+J]X)

(Jl+X+Jl_x)(j]+X-J1一■)

32

71^7tG/T^)

71+X+71_XJ(1_x)(]+x)-(71-X)2

Jl+X(J]X)2

Jl+x+Jl-xJl-X(Jl+X-V1-x)

1+X-J1+X?Jl-X+Jl-X?Jl+X+(1-x)

1+X-(i)

=_2_=_1

2xx

留意:

1.因?yàn)榈诙€(gè)式子中的分母向7?l+x盧0,因此X井1.

所以在化簡過程中，分子與分母可以同除以J1-X.

2.例5中運(yùn)用了二次根式的基本性質(zhì)'旗=/?花(a》0,b》0和關(guān)系式a=(6)

(a)0)進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.

例6

…田n+2+Jn2-4n+2-Jn2-4

計(jì)算------4=+------r^=?

n+2-Vn2-4n+2+Jn，-4

分析：假如把兩個(gè)式子通分，或把每一個(gè)式子的分母有理

化再進(jìn)行計(jì)算，這兩種方法的運(yùn)算量都較大，依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)

特點(diǎn)，分別把兩個(gè)式子的分母看作一個(gè)整體，用換元法把式子

變形，就可以使運(yùn)算變?yōu)楹喗?

解設(shè)a=n+2+.4,b=n+2-Vn2-4,那么

a+b=2(n+2),ab=(n+2)2-(n2-4)=

4(n+2),

所以原式=Z+B==0+b)=2ab=(a+b)24(n+2)2_

baababab4(n+2)

三、課堂練習(xí)

1.選擇題：

(l)7(a-2)2=2-a,a的取值范圍是[]

A.aW2B.a22

C.a=A2D.a<2

(2)x<?2時(shí)，&x+2)2等于[]

A.x+2B.-x-2

C.-x+2D.x-2

(3)化簡J(x-a)，++a)"(0<x〈a)等于[]

A.2xB.2a

C.-2xD?