平面向量的內積教案?一、教學目標1.知識與技能目標理解平面向量內積的概念，掌握內積的定義、幾何意義及坐標表示。能夠運用平面向量內積公式進行向量數量積的運算，包括已知向量坐標求內積，已知內積和部分向量坐標求另一向量坐標等。理解向量垂直的充要條件，并能運用該條件解決相關問題。2.過程與方法目標通過對物理中"功"等實例的分析，引導學生從實際問題中抽象出平面向量內積的概念，培養學生的抽象概括能力。在推導平面向量內積的坐標表示過程中，讓學生體會向量運算的代數化方法，培養學生的邏輯推理能力和運算求解能力。通過課堂練習和課后作業，讓學生鞏固所學知識，提高運用知識解決問題的能力，培養學生的數學應用意識。3.情感態度與價值觀目標通過向量內積概念的引入，讓學生感受數學與物理等學科的緊密聯系，體會數學的應用價值，激發學生學習數學的興趣。在教學過程中，培養學生嚴謹的科學態度和勇于探索的精神，讓學生在解決問題的過程中獲得成功的體驗，增強學習數學的自信心。

二、教學重難點1.教學重點平面向量內積的概念、幾何意義及坐標表示。平面向量內積的運算及向量垂直的充要條件。2.教學難點對平面向量內積概念的理解，尤其是內積的幾何意義。運用向量垂直的充要條件解決相關問題，以及向量內積運算在綜合問題中的應用。

三、教學方法1.講授法：通過講解，向學生傳授平面向量內積的基本概念、定義、性質及運算方法等知識，使學生對新知識有初步的認識。2.討論法：組織學生對一些問題進行討論，如向量內積的幾何意義、向量垂直的充要條件等，鼓勵學生積極思考、發表自己的觀點，培養學生的合作交流能力和思維能力。3.練習法：安排適量的課堂練習和課后作業，讓學生通過練習鞏固所學知識，提高運用知識解決問題的能力，及時反饋學生對知識的掌握情況。

四、教學過程

（一）導入新課（5分鐘）1.復習回顧提問學生向量的加法、減法和數乘運算的定義及幾何意義，讓學生回憶相關知識，為學習向量的內積做好鋪墊。例如：已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，如何求\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\)，\(k\overrightarrow{a}\)（\(k\)為實數）？2.引入新課展示一個物體在力\(\overrightarrow{F}\)的作用下發生位移\(\overrightarrow{s}\)的物理情境（如水平地面上一個物體在水平拉力作用下移動一段距離）。提問：力對物體所做的功\(W\)與哪些因素有關？如何計算？引導學生回答：功\(W\)等于力\(\overrightarrow{F}\)與位移\(\overrightarrow{s}\)的大小以及它們夾角\(\theta\)的余弦值的乘積，即\(W=|\overrightarrow{F}||\overrightarrow{s}|\cos\theta\)。指出在數學中，我們把這種向量與向量的運算抽象為平面向量的內積，從而引出本節課的課題平面向量的內積。

（二）講解新課（25分鐘）1.平面向量內積的概念已知兩個非零向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)，它們的夾角為\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\pi\)），我們把數量\(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)叫做\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)的數量積（或內積），記作\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)，即\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)。強調：兩個向量的內積是一個數量，而不是向量。規定：零向量與任一向量的數量積為\(0\)，即\(\overrightarrow{0}\cdot\overrightarrow{a}=0\)。2.平面向量內積的幾何意義引導學生思考\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)中各項的幾何意義。分析：\(|\overrightarrow{a}|\cos\theta\)叫做向量\(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{b}\)方向上的投影，\(|\overrightarrow{b}|\cos\theta\)叫做向量\(\overrightarrow{b}\)在\(\overrightarrow{a}\)方向上的投影。所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)的幾何意義是：數量積\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)等于\(\overrightarrow{a}\)的長度\(|\overrightarrow{a}|\)與\(\overrightarrow{b}\)在\(\overrightarrow{a}\)方向上的投影\(|\overrightarrow{b}|\cos\theta\)的乘積，或等于\(\overrightarrow{b}\)的長度\(|\overrightarrow{b}|\)與\(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{b}\)方向上的投影\(|\overrightarrow{a}|\cos\theta\)的乘積。通過圖形（如在黑板上畫出兩個向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)及其夾角\(\theta\)，并作出向量在對方方向上的投影）進一步直觀地展示內積的幾何意義。3.平面向量內積的性質設\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)為兩個非零向量，\(\theta\)為它們的夾角。（1）\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)。證明：若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，則\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，\(\cos\theta=0\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta=0\)；反之，若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，因為\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)為非零向量，所以\(\cos\theta=0\)，則\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，即\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)。（2）當\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)同向時，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)；當\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)反向時，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)。特別地，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2\)，即\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}\)。證明：當\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)同向時，\(\theta=0\)，\(\cos\theta=1\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)；當\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)反向時，\(\theta=\pi\)，\(\cos\theta=1\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)。（3）\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|\leq|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)。證明：因為\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta|\)，而\(|\cos\theta|\leq1\)，所以\(|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}|\leq|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\)。4.平面向量內積的運算律（1）\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)（交換律）。證明：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)，\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|\cos\theta\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)。（2）\((\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=\lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot(\lambda\overrightarrow{b})\)（結合律）。證明：\((\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=|\lambda\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta=|\lambda||\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)，\(\lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=\lambda|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)，\(\overrightarrow{a}\cdot(\lambda\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{a}||\lambda\overrightarrow{b}|\cos\theta=|\lambda||\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)，所以\((\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=\lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\cdot(\lambda\overrightarrow{b})\)。（3）\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)（分配律）。證明：設\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，\(\overrightarrow{c}=(x_3,y_3)\)。先計算\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}\)：\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)，則\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=(x_1+x_2)x_3+(y_1+y_2)y_3=x_1x_3+x_2x_3+y_1y_3+y_2y_3\)。再計算\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=x_1x_3+y_1y_3\)，\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=x_2x_3+y_2y_3\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=x_1x_3+y_1y_3+x_2x_3+y_2y_3\)。因此\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\)。5.平面向量內積的坐標表示已知\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。推導過程：設\(\overrightarrow{i}\)，\(\overrightarrow{j}\)是與\(x\)軸、\(y\)軸同向的兩個單位向量，則\(\overrightarrow{a}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}\)，\(\overrightarrow{b}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}\)。所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j})\cdot(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j})=x_1x_2\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{i}+x_1y_2\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}+x_2y_1\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{i}+y_1y_2\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{j}\)。因為\(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{i}=1\)，\(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{j}=1\)，\(\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}=0\)，\(\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{i}=0\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。強調：利用向量內積的坐標表示，可以方便地計算向量的內積，也可以根據內積求向量的坐標等。

（三）例題講解（20分鐘）1.已知向量坐標求內積例1：已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(4,2)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)。解：根據向量內積的坐標表示\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2\)，可得\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\times(4)+(3)\times2=86=14\)。總結：直接代入向量坐標，利用公式計算內積。2.已知內積和部分向量坐標求另一向量坐標例2：已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=10\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=5\)，求向量\(\overrightarrow{b}\)的坐標。解：設\(\overrightarrow{b}=(x,y)\)。由\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=10\)可得\(x+2y=10\)①。又\(\vert\overrightarrow{b}\vert=5\)，根據\(\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{x^2+y^2}=5\)，即\(x^2+y^2=25\)②。由①得\(x=102y\)，代入②得\((102y)^2+y^2=25\)。展開得\(10040y+4y^2+y^2=25\)，即\(5y^240y+75=0\)。化簡為\(y^28y+15=0\)，因式分解得\((y3)(y5)=0\)，解得