PAGEPAGE2概率(7)1．[2024·吉林長春市試驗中學開學考試]針對國家提出的延遲退休方案，某機構進行了網上調查，全部參加調查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”看法的人數如下表所示：支持保留不支持50歲以下80004000200050歲及以上100020003000(1)在全部參加調查的人中，按其看法采納分層抽樣的方法抽取n個人，已知從持“不支持”看法的人中抽取了30人，求n的值；(2)在參加調查的人中，有10人給這項活動打分，打出的分數如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,8.3,9.7，把這10個人打出的分數看作一個總體，從中任取一個數，求該數與總體平均數之差的肯定值超過0.6的概率．解析：(1)參加調查的總人數為8000＋4000＋2000＋1000＋2000＋3000＝20000.因為持“不支持”看法的有2000＋3000＝5000(人)，且從其中抽取了30人，所以n＝20000×eq\f(30,5000)＝120.(2)總體的平均數eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2＋8.3＋9.7)＝9，與總體平均數之差的肯定值超過0.6的數有8.2,8.3,9.7，所以任取一個數，該數與總體平均數之差的肯定值超過0.6的概率P＝eq\f(3,10).2．[2024·安徽示范中學聯考]某市為了激勵居民節約用水，擬確定一個合理的月用水量階梯收費標準，規定一位居民月用水量不超過a噸的部分按平價收費，超出a噸的部分按議價收費．為了解居民的月均用水量(單位：噸)，現隨機調查1000位居民，并對收集到的數據進行分組，詳細狀況見下表：月均用水量/噸[0，0．5)[0.5，1)[1，1．5)[1.5，2)[2，2．5)[2.5，3)[3，3．5)[3.5，4)[4，4．5)居民數50805x2202508060x20(1)求x的值，并畫出頻率分布直方圖；(2)若該市希望使80%的居民月均用水量不超過a噸，試估計a的值，并說明理由；(3)依據頻率分布直方圖估計該市居民月用水量的平均值．解析：(1)由已知得6x＝1000－(50＋80＋220＋250＋80＋60＋20)，解得x＝40.則月均用水量的頻率分布表為月均用水量/噸[0，0．5)[0.5，1)[1，1．5)[1.5，2)[2，2．5)[2.5，3)[3，3．5)[3.5，4)[4，4．5)頻率0.050.080.200.220.250.080.060.040.02畫出頻率分布直方圖如圖所示．(2)由(1)知前5組的頻率之和為0.05＋0.08＋0.20＋0.22＋0.25＝0.80，故a＝2.5.(3)由樣本估計總體，該市居民月用水量的平均值為0.25×0.05＋0.75×0.08＋1.25×0.20＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋2.75×0.08＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02＝1.92.3．[2024·河北唐山摸底]某廠分別用甲、乙兩種工藝生產同一種零件，尺寸(單位：mm)在[223,228]內的零件為一等品，其余為二等品，在運用兩種工藝生產的零件中，各隨機抽取10個，其尺寸的莖葉圖如圖所示．(1)分別計算抽取的用兩種工藝生產的零件尺寸的平均數；(2)已知用甲工藝每天可生產300個零件，用乙工藝每天可生產280個零件，一等品利潤為30元/個，二等品利潤為20元/個，視頻率為概率，試依據抽樣數據推斷采納哪種工藝生產該零件每天獲得的利潤更高．解析：(1)運用甲工藝生產的零件尺寸的平均數eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1，運用乙工藝生產的零件尺寸的平均數eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7.(2)由抽樣的樣本可知，用甲工藝生產的零件為一等品的概率為eq\f(2,5)，為二等品的概率為eq\f(3,5)，故采納甲工藝生產該零件每天獲得的利潤為W甲＝300×eq\f(2,5)×30＋300×eq\f(3,5)×20＝7200(元)；用乙工藝生產的零件為一等品、二等品的概率均為eq\f(1,2)，故采納乙工藝生產該零件每天獲得的利潤為W乙＝280×eq\f(1,2)×30＋280×eq\f(1,2)×20＝7000(元)．因為W甲>W乙，所以采納甲工藝生產該零件每天獲得的利潤更高．4．[2024·沈陽市教學質量檢測]為考查某種疫苗預防疾病的效果，進行動物試驗，得到統計數據如下：未發病發病總計未注射疫苗20xA注射疫苗30yB總計5050100現從全部試驗動物中任取一只，取到“注射疫苗”動物的概率為eq\f(2,5).(1)求2×2列聯表中的數據x，y，A，B的值；(2)繪制發病率的條形統計圖，并推斷疫苗是否有效？(3)能夠有多大把握認為疫苗有效？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解析：(1)設“從全部試驗動物中任取一只，取到‘注射疫苗’動物”為事務E，由已知得P(E)＝eq\f(y＋30,100)＝eq\f(2,5)，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60.(2)未注射疫苗發病率為eq\f(40,60)＝eq\f(2,3)，注射疫苗發病率為eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).發病率的條形統計圖如圖所示，由圖可以看出疫苗影響到發病率，且注射疫苗的發病率小，故推斷疫苗有效．(3)K2＝eq\f(100×20×10－30×402,50×50×40×60)＝eq\f(50,3)≈16.667>10.828.所以至少有99.9%的把握認為疫苗有效．5．[2024·南寧市高三畢業班適應性測試]從某居民區隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數據資料，算得eq\i\su(i＝1,10,x)i＝80，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝20，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝184，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄eq\o(y,\s\up6(^))對月收入x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)推斷變量x與y之間是正相關還是負相關；(3)若該居民區某家庭月收入為7千元，預料該家庭的月儲蓄．解析：(1)由題意知n＝10，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2，又eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2＝720－10×82＝80，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24，由此得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(24,80)＝0.3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝2－0.3×8＝－0.4，故所求線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(eq\o(b,\s\up6(^))＝0.3>0)，故x與y之間是正相關．(3)將x＝7代入回來方程可以預料該家庭的月儲蓄為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．6．[2024·河北省六校聯考]某中學一老師統計甲、乙兩位同學高三學年的數學成果(滿分150分)，現有甲、乙兩位同學的20次成果的莖葉圖如圖1所示．(1)依據莖葉圖求甲、乙兩位同學成果的中位數，并將圖2中乙同學成果的頻率分布直方圖補充完整；(2)依據莖葉圖比較甲、乙兩位同學數學成果的平均值及穩定程度(不要求計算詳細值，給出結論即可)；(3)現從甲、乙兩位同學不低于140分的成果中隨意選出2個成果，設事務A為“其中2個成果分別屬于不同的同學”，求事務A發生的概率．解析：(1)甲同學成果的中位數是119，乙同學成果的中位數是128.乙同學成果的頻率分布直方圖如圖所示：(2)從莖葉圖可以看出，乙同學成果的平均值比甲同學成果的平均值高，乙同學的成果比甲同學的成果更穩定．(3)甲同學不低于140分的成果有2個，分別設為a，b