導數及其應用第四章【高考專題突破(一)】——探秘函數與導數熱點問題和動向高考函數與導數的壓軸題常以組合函數為基礎來命題，將基本初等函數的概念、圖象與性質糅合在一起，發揮導數的工具作用，應用導數研究函數性質、證明相關不等式(或比較大小)、求參數的取值范圍(或最值)．著眼于知識點的巧妙組合，注重對函數與方程、分類討論、數形結合及轉化與化歸等思想的靈活運用，突出對數學思維能力和數學核心素養的考查．熱點題型1利用導數研究函數的性質【例1】

已知函數f(x)＝2x3－3ax2＋3a－2(a>0)，記f′(x)為f(x)的導函數．(1)若f(x)的極大值為0，求實數a的值；(2)若函數g(x)＝f(x)＋6x，求g(x)在[0,1]上取到最大值時x的值．【解題思路】(1)求f′(x)→解f′(x)＝0→用所得解分割定義域→逐個區間分析f′(x)的符號，得f(x)的單調性→求極大值→根據極大值為0列方程求a.(2)易求g′(x)＝6(x2－ax＋1)，x∈[0,1]．①由g′(x)＝0是否有解想到Δ≤0，即0<a≤2和Δ>0，即a>2兩種情況．(2)g(x)＝f(x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2(a>0)，則g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0,1]．①當0<a≤2時，Δ＝36(a2－4)≤0，所以g′(x)≥0恒成立，g(x)在[0,1]上單調遞增，則g(x)取得最大值時x的值為1.【變式探究】1．已知函數f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)．(1)若m＝－2，求函數f(x)的極值；(2)是否存在實數m，使f(x)在[－2，－1]上單調遞增？如果存在，求m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．解：(1)當m＝－2時，f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)，其定義域為(－∞，＋∞)，則f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex(3x2－4x－2)＝xex(x2＋x－6)＝(x＋3)x(x－2)ex.當x∈(－∞，－3)或x∈(0,2)時，f′(x)<0；當x∈(－3,0)或x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0.又f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0，所以f(x)在(－∞，－3)上單調遞減，在(－3,0)上單調遞增，在(0,2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增．所以當x＝－3或x＝2時，f(x)取得極小值．極小值為f(－3)＝－37e－3和f(2)＝－2e2；當x＝0時，f(x)取得極大值，極大值為f(0)＝2.【解題思路】(1)求f(x)的定義域和f′(x)→發現f′(x)＝0不易解，f′(x)的符號不易分析，想到構建新函數，研究其單調性，確定f′(x)的符號．(2)將不等式等價轉化，構建新函數，轉化為求函數最值問題．【解題思路】(1)求f(x)的定義域→求f′(x)，解f′(x)＝0→用所得實數解分割定義域→分析f′(x)的符號，判斷f(x)的單調性．(2)g(x)有兩個極值點→g′(x)＝0有兩個不同的零點記為x1和x2→分析g(x1)，g(x2)的正負和x→0時g(x)的變化趨勢，x→＋∞時g(x)的變化趨勢→得出g(x)的大致圖象→判斷g(x)的零點個數．解：(1)函數f(x)＝2xlnx＋2x的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2(lnx＋2)，由f′(x)＝0得x＝e－2.x∈(0，e－2)，f′(x)<0，f(x)單調遞減，x∈(e－2，