以數的運算為例談整體把握小學數學課程

數與運算在小學數學課程中占有重要的地位，培養學生基本的運

算技能一直是廣大教師關注的問題。而且“雙基”教學歷來是我國數

學教育的一個傳統優勢，令世界上其他國家望塵莫及，這次新課改又

在雙基基礎上提出了“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、

基本活動經驗）。那么如何把握運算在小學數學中的地位和作用呢？

一、計算教學在小學數學教學中所處的地位

1.從課程結構上看，計算教學是其它教學的基礎。小學數學是從

識數和數的四則計算開始的。四則計算貫穿整個小學數學教學全過

程。常言道，基礎不牢，地動山搖。如果四則計算不過關，一定不能

學好其它的數學知識，更談不上創新能力的培養。

2.從歷史沿革上看，以前小學數學叫算術。用算術來代表小學現

行數學教材，顯然已經不全面。但傳統的算術仍是貫穿小學數學的主

線。

3.從初中數學教學角度看，小學生計算能力是學習初中數學最重

要的基礎。2009年全國小學數學教學研討會的主題就是研究小學數

學教學如何與初中數學教學銜接的問題。與會的專家和學者都強調小

學生的計算能力的培養非常重要。如果我們和初中的數學教師交流，

他們也會異口同聲地說，小學生的計算能力對學習初中的數學最重

要。

二、要重視計算方法的探索及算理的理解

我國數學課程一直將數的運算作為小學數學的主要內容，重視培

養學生的運算能力，并且取得很多優秀的成績和寶貴的經驗。但長期

以來，一些人對運算能力的理解并不全面，將其僅僅等同于運算技能

（即算得又對又快），并且由于考試等原因對運算難度和速度的要求

越來越高。在信息技術如此發達的今天，是否還需要學生計算那樣難

的題目，并且算得那樣快？當然，基本的運算技能是必需的，但“基

本”的標準是什么？學生是否應將精力放在其他有價值的內容上？還

有哪些有價值的內容？

實際上，數的運算和運用運算解決問題是具有天然聯系的，因此

《義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）將其整

合在一起。于是，數的運算就包括如下幾條主線：第一，數的運算的

意義及四則運算之間的關系；第二，獲得運算的結果（包括估算、精

確計算）；第三，運算律及運算性質；第四，運用運算解決實際問題。

今天我們將集中討論“獲得運算的結果”中有關精確計算的內容。進一

步，精確計算的學習又可以細分為四條線索：第一，計算方法的探索

及算理的理解；第二，計算法則的形成與內化；第三，計算法則的熟

練；第四，使用計算器進行計算。

曾經有一些教師有這樣的想法，對于計算教學，只要讓學生把法

則背誦下來，反復練習就可以達到又對又快，似乎沒有必要花時間去

討論這些法則背后的道理（即算理）。那么，算理是否重要？什么是

算理？學生想法中所呈現的算理又是什么呢？我們在教材和教學中

如何幫助學生理解算理呢？學生的教學能力先天性地存在差異這是

不爭的事實。但不能否認每個學生都有學習數學的能力。不同的人，

接受同一數學才既念，接受的方式可能不同。教師的責任就是找到不同

的學生接受數學概念的不同的方式。我們數學教師的任務就是要激發

每一個學生的數學潛能。下要保底，上不封頂。專家在制定課程標準

時，就考慮到了絕大多數學生能達到最基本的要求。我們要真正做到

用教材教，而不是教教材。要透徹理解課程標準，不要迷信教材和教

參。做到結合自己的教學經驗創造性地使用教材，針對不同的人，提

出不同的要求，采用不同的方法。

L重視算理的教學

這里首先需要明確的是算理、法則的內涵以及二者的關系。算理

是四則運算的理論依據，它是由數學概念、運算定律、運算性質等構

成的；運算法則是四則運算的基本程序和方法。運算是基于法則進行

的，而法則又要滿足一定的道理。所以，算理為法則提供了理論依據,

法則又使算理可操作化。

由此不難看出，教學中既要重視法則的教學，還要使學生理解法

則背后的道理。不僅要讓學生知道該怎么計算，而且還應該讓學生明

白為什么要這樣計算，使學生不僅知其然，而且還知其所以然，在理

解算理的基礎上掌握運算法則。

為了進一步說明重視算理教學的重要性，這里不妨舉一個例子。

這是對三年級學生的一次測試中設計了如下兩道題目：

題目1：計算42x25o（目的是考查三年級學

生是否掌握了兩位數乘兩位數的法則）。

34

題目2：如圖1,在34xl2的豎式中，xi2

68

箭頭所指的這一步表示的是（）。瞽F

A.10個34的和B.12個34的和圖i

C.1個34的和D.2個34的和

（本題考查的是三年級學生是否理解兩位數乘兩位數豎式中每

一步的含義）

設計題目2是源于調查者與學生的一次談話。在與一名三年級學

生討論如何計算兩位數乘兩位數的題目時，他很快利用豎式給出正確

結果。調查者進一步追問豎式的“第二層”（即題目中箭頭所指的這

一步）是怎么得到的，他快速地回答道：“是老師告訴的，用1乘34,

乘完向左移一位，我也不知道為什么。”這次簡短的談話引起了我們

的深思：到底有多少學生真正理解了法則，而不僅僅是機械套用？

在2009年所作的全國常模抽樣測試中隨機抽取了1664份樣本，

學生在題目1和題目2上的得分率分別是70.10%和43.09%,二者

有顯著性差異。與題目1相比，題目2的得分率低可能是由于學生對

這類題目不熟悉，但不得不說確實有不少學生并不真正理解法則的意

義，特別是本題錯誤地選擇選項C的人數最多更加說明了這一點。因

為在實際教學中，或者不少教師不重視學生探索如何計算的過程，或

者當學生剛剛探索出方法后，老師立即就引導學生學習豎式，在對豎

式還未真正內化的情況下，教師又開始引導學生學習“簡化”的豎式

（即箭頭所指的那一步，要把340末尾的。寫成虛的，意思是可以省

略不寫，最后再把。省略掉）。這樣倉促地同時完成幾個內容的教學,

就可能造成學生因為沒有真正理解豎式每一步的道理而只好記住法

則了。再加上，教師又沒有在后面的練習中注意促進學生在記憶基礎

上再次理解，學生產生“老師讓我們這么做就這么做”的想法就不足為

奇了。所以，在教學中教師應在學生探索算法的基礎上，切實引導學

生將法則進行內化，重視運算道理的教學。同時也建議在教材和教學

中無須強調“虛0”，更不必去掉豎式“第二層”末尾的0。

2.了解學生想法中所蘊涵的道理

在教學中我們要鼓勵學生自己探索如何進行運算，并且嘗試說明

自己這樣算的道理，在這些學生的想法中往往蘊涵著算理。為此，我

們不妨來看一個課堂教學片段［1］：

【案例】關于“0.3x0.2”的討論?

課上通過一個問題情境“長0.3米、寬0.2米的長方形花壇的面積

是多少”，引出了“0.3x0.2二？"o

首先，學生進行了猜想。一部分學生認為是0.6,另一部分學生

認為是0.06,產生了分歧。

教師給學生充分思考探索運算結果的空間，交流時學生發言踴

躍。

生1：（用畫圖表示0.3x0.2=0.06,

如圖2）我是這樣想的，寬是0.2米，

不到1米，所以結果不會是0.3（平方

米）。我用百格圖，這里的米表示

0.3四2

花壇的長，0.2米表示花壇的寬，表示面

積的這些方格是6個，是6個0.01,占百格圖的百分之六，所以0.3

乘0.2的結果是0.06。

生2:我還有一種方法。把0.2看成2,把0.3看成3,2乘3

得6。因為我剛才擴大了100倍，所以現在要縮小為它的百分之一，

得0.06o

生3：我沒有那么麻煩，不用把兩個數都擴大，我只把0.2擴大10

倍，2乘0.3得0.6,再把0.6縮小到原來的十分之一，就是0.06o

生4：我用豎式。02與3相乘得06,任何數和0相03

x（）2

乘都得0,所以02和0相乘得00,加起來就是0.06。―oT

00

（生4邊說邊寫出了右面的豎式）

生4的方法得到同學們熱烈的掌聲。隨即有同學問：“為什么不

把小數點加在0和6之間呢？”

生5：我們學過兩位數乘兩位數了，我看成03乘02,得數應當

是006。小數點點在哪兒呢？我認為不會是00.6,如果小數點前有兩

個0,前邊的0就沒有意義了，小數點前只能是一個0,所以是0.06。

生6:0.3乘0.2就是把0.3平均分成10份，取其中的兩份。0.3

的十分之一是0.03,也就是一份是0.03,兩份就是0.06。

生7：0.2不到1,如果是1乘0.3,得0.3,而0.2比1小,

所以應當是比0.3還小。

仔細分析學生這么多的方法，不難發現其中的不少方法蘊涵著樸

素的道理。比如生2和生3的方法都是運用積的變化規律將小數乘小

數轉化為以前學過的內容（整數乘整數或整數乘小數）；生6的方法

則運用了小數的意義和分數的意義，也得到了結果；生1的方法看起

來有點“麻煩”耽誤不少時間，但這個方法借助“百格圖”，直觀地

呈現了乘法的意義，即先得到6個小格（實際上就是算3x2）,再分

析每個小格是0.01（實際上就是算0.1x0.1）,6個小格就是0.06。

這就啟發我們思考算法多樣化的一個重要價值。實際上算法多樣化不

僅可以鼓勵學生個性化、主動地學習，同時，學生在自主探索運算方

法的過程中，將運用已有的概念、定律、法則等嘗試解決新問題，這

就是一個尋找“合乎道理”的運算方法的過程。這些多樣化的運算方

法往往蘊涵著學生心目中的“算理”，并且呈現形式是多樣的（如數的、

圖的），解釋的途徑也不盡相同（如生2和生6的方法），對這些

方法的比較和交流無疑為學生理解算理奠定了基礎。在此基礎上教師

再加以總結歸納，學生對于算理的理解就會加深了。

以上，雖然針對的是小數乘法的一個案例，但為教師教學提供了

共通的策略。第一，重視學生自主探索計算方法的過程，因為這種探

索往往體現了學生對于算理的初步理解。在此基礎上，教師組織學生

對各種方法進行比較，凸顯其中蘊涵的算理。第二，作為教師，要梳

理小學階段各種運算的算理，特別是梳理學生常見的方法背后是否蘊

涵著算理，這樣就能從容地面對學生的多種方法。第三，要鼓勵學生

運用自己的語言有條理地表達自己的思考，即數的運算也是講道理

的，不是按照程序機械運行。實際上，上面幾位學生在闡述自己的方

法時，都在進行著推理，都在有條理地進行表達。但算法多樣化絕不

是讓所有的學生掌握所有的方法！

3.通過多種方式幫助學生理解算理

為了幫助學生更好地理解算理，教師要善于選擇多種方式。常用

的理解算理的方式有實物原型、直觀模型、已有知識等。其中實物原

型指的是具有一定結構的實物材料，如元、角、分等人民幣，千米、

米、分米等測量單位；而直觀模型指的是具有一定結構的操作材料和

直觀材料，如小棒、計數器、長方形或圓形圖、數直線。234-99

4.整體把握算理理解的階段性和長期性

學生對算理的理解往往不是一蹴而就的。需要認識到它的階段性

和長期性。理解算理的教學有很多種層次：

?舉例說明算式的合理性，讓學生愿意接受。這種初步的理解是

接受性學習的必要步驟。

?嘗試性的探索。教師把問題提出來。讓學生試試看能否“有辦

法解決”，但只是嘗試而已，不求正確。這是教師進行“啟發式”講

解的前奏。

?學生探究，教師歸納，迅速把學生的思維集中到正確軌道上來。

教師的主導作用十分明顯。

?學生探究，學生歸納。全程進行開放式的發現法教學。

三、計算法則的內化與形成

學生的數學能力先天性地存在差異這是不爭的事實。但不能否認

每個學生都有學習數學的能力。不同的人，接受同一數學概念，接受

的方式可能不同。教師的責任就是找到不同的學生接受數學概念的不

同的方式。我們數學教師的任務就是要激發每一個學生的數學潛能。

下要保底，上不封頂。專家在制定課程標準時，就考慮到了絕大多數

學生能達到最基本的要求。我們要真正做到用教材教，而不是教教材。

要透徹理解課程標準，不要迷信教材和教參。做到結合自己的教學經

驗創造性地使用教材，針對不同的人，提出不同的要求，采用不同的

方法。

有的教師重視讓學生去探索如何計算，并在此基礎上幫助學生理

解算理，但是往往忽視了另一個重要的過程——計算法則（或個體使

用方法）的內化與形成。即當學生經歷了算法多樣化，并且對于運算

的道理有所理解后，還需要學生對眾多算法中自己選擇使用的方法或

者常規的計算法則進行再熟悉，以達到內化，然后才是進一步的鞏固

練習。

四、計算法則的熟練

使用“熟練”一詞，并不是說要求學生對于所有的計算法則的使用

都必須達到一定的速度，而是指形成必要的計算技能，從而在以后遇

到此類計算時，學生能“自動地”使用法則。理想的教學是當學生面對

精確計算的題目時，能夠回憶起法則進行“自動”的運算，而當詢問

法則背后的道理時，學生又能運用自己的方式正確地加以表達。

五、如何培養學生的數感

《課標》提出了“數感”的概念，在新課程實施中，不少教師產

生了疑惑，如新課程還要不要學生掌握必要的運算技能？新課程下學

生的運算技能大大下降了怎么力、？如何科學地培養小學生的運算技

能？如何合理地評價他們的運算技能？除了運算技能，“數與代數”

領域中的重要內容還有什么？“數與代數”的核心目標有哪些等更加

深刻的問題？等等。這些疑惑都需要教師進行思考，對此有比較清醒

的認識并加以有效解決無疑是非常重要的。小學數學課程的運算主線

是數感，所謂數感就是對數的含義、計算技能、數的順序大小、數的

多種表達方法、模式、數運算及結果的準確感知和理解等。數感主要

表現形式為：理解數的意義；能用多種方法表示數；能在具體的情境

中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題

而選擇適當的算法；能估計運算的結果，并對結果合理性作出解釋。

它表示著一個人在數、數字系統和運算具有意義觀念，是一種心靈的

感受，是一種意識活動，它存在于人的頭腦之中，是一種高級的智力

活動。那么如何有效地培養數感呢？

1.體驗生活，建立數感

布魯納強調：數學知識不是一個簡單的結果，而是一個過程。小

學生的年齡特點也決定了他們在認識活動中的思維正經歷著從具體

形象思維到抽象邏輯思維的發展。因此教師在教學中應根據小學生這

種思維特點進行教學，以生活實際和學生的經歷、體驗幫助理解抽象

的概念，建立數感。

我們要把培養學生的數感，從室內擴展到室外，校內延伸到社會,

讓學生用數學的眼光去觀察、認識周圍事物，用數學的概念與語言去

反映和描述社會生產和生活實踐的問題，結合生活中的具體實例去教

學數學知識，讓學生感覺數學就在身邊，生活中充滿了數學，從而能

以積極的心態投入學習、體驗數感。例如教學時間、長度、面積、體

積、重量等知識時，可以讓學生經歷、體驗，然后再學習相關的進制

和應用。在教學數的認識時，可讓學生說出與日常生活密切相關的一

些數字及其作用。如，你今年幾歲？班級號是多少？你的鞋號是多

少？火警電話號碼是少？急救中心電話號碼是少？……這些數據、單

位都來自于生活實際，學生很容易理解、接受，這種“親數學”行為，

能夠使學生在生活中體會數的含義，建立良好的數感。

2.實踐操作，強化數感

學生體驗到數學的價值和意義，繼而確立應用數學的信心，是形

成良好數感的重要條件。鑒于此，教學就打破從概念到概念，從課堂

到課堂的數學應用僵局，引導學生用數學的思想、力法，去分析、理

解、解決生活問題，通過實踐活動增強學生對數感的體驗。

如教學“統計”時，可以這樣組織：學校操場正在上體育課，將

本班學生帶到操場上去，教師讓學生調查喜歡各項運動的人數。學生

通過小組合作收集數據、整理數據、分析數據。通過這樣的活動，把

數感的培養落實到具體的活動中，與學生的現實生活相聯系，在一個

個完整的統計過程中學習知識，一次又一次地經歷或了解數據處理的

全過程，使學生深刻體會了統計思想，領悟了統計方法，也在實踐操

作中強化了學生的數感。使學生理解數學是源于生活，并應用于生活。

3.學會估算，發展數感

數學新課程標準在發展學生的數感方面明確提出：能估計運算的

結果，并對結果的合理性作出解釋。數學課堂教學中應“以學生為本”,

激發學會估算的興趣與技能，讓不同的學生在數感方面得到不同程度

的發展。

估算在日常生活中有著廣泛應用，教學時教師可以抓住這一有利

因素，創設情境，激發學生學好估算的興趣。例如：在進行大數目估

算的教學時，我請學生們試著估算一下一頁報紙上有多少個字？一摞

紙有多少張？一把瓜子有多少顆？全校有多少名學生？體育館有多

少個座位？全校學生人數與體育館座位數有什么關系？學生在估算

時很少有人會憑空估計，大多數學生都能自覺地把要估算的數平均分

成若干份，數出其中的一份是多少，再看大數相當于一份的多少倍，

用這種方法估算這些大數。當學生把一份的數量與大數進行比較時，

觀察并感受到大數相當于小數的幾倍，體會了大數的多少，也了解了

大數在現實生活中的應用。學生在這樣的估算訓練中，估算能力逐漸

提高，能夠見到生活中的事物，很快和數建立起聯系，體會了數的大

小、多少的實際意義，學生對數的感知能力也會逐步提高。

讓學生在自主探索的教學活動中不但學到了知識，而且親身感受

到學習的過程可以由他們去掌握，按自己的想法去完成，有著一個可

以展示自己的空間。在充分表達交流各自的想法過程中，既發展發散

性思維，也激發了學生學好估算的求知欲望。

4.解決問題，強化數感

前蘇聯教育家贊科夫說過：從學生生活經驗中舉出的例子，將有

助于他們把所學習的概念跟日常生活中十分熟悉的事物之間建立起

聯系來。只有當學生把所學知識與生活經驗聯系起來，才能更好地掌

握知識，內化知識。例如，在一節實踐活動課中，教師創設情境，

如：春天來了，同學們最想做的是什么事情呢？“春游”。在組織春

游的過程中，我們會遇到哪些問題呢？或者你能用數學知識解決什么

問題？同學們紛紛想出了很多問題，有租車問題；有購票問題；有計

算耗油量的；有根據路程與速度估算時間的；有設計路線的。學生從

多角度考慮，設計了許多解決問題的方案，并對自己設計方案的合理

性做出了解釋。

如此教學，把數學與學生生活實際聯系起來，不僅能使學生在不

知不覺中感悟數學的真諦，學會用數學的思想方法去觀察和認識世

界。而且使學生在開放的信息中不斷豐富自己對數的認識，獲得積極

的數學學習情感。

數感說到底是一種心智技能，如果說動作技能主要靠肌肉運動，

表現于外部行動，那么心智技能主要是意識活動，它存在于人的頭腦

之中，有良好數感的人在需要數感發揮作用的時候，它便會自然出現,

仿佛不需要人有意識的探索一般，要達到這樣的境界，需要一個長期

的培養過程，因此，在教學中，教師應該充分利用學生已有的生活經

驗，隨時引導學生把所學的數學知識應用到生活中去，讓現實問題數

學化，使學生在運用數學解決問題的策略中建立數感。隨著數感的建

立、發展和強化，學生的整體數學素養也會有所提高。

六、培養學生的運算技能的建議

如何在新課程背景和要求下，科學地培養學生的運算技能呢？提

出如下幾條建議。

L有效利用學生的困難和錯誤

談到科學地培養學生計算技能的問題，不能回避的問題是如何面

對學生的困難和錯誤。實際上，越來越多的老師對學生的困難和錯誤

采取了更為理解的態度，并力圖去發現其中的原因和積極成分，把困

難和錯誤當成資源來利用。這里，想再次強調教師要深入了解學生的

想法，準確診斷學生困難和錯誤的原因。教師不能將學生的困難和錯

誤簡單地歸為“粗心”，而要通過訪談等手段了解學生的真實想法。

這里舉一個案例（詳見本刊2007年第9期《讓知識成為學生

真正的營養》一文）。清華大學附屬小學的張紅老師在教學小數除

以小數之前，對學生進行了學前調研，發現學生在計算“8.54+0.7”時,

27%的學生不能自覺想到將其轉化為小數除以整數，67.6%的學生在

轉化時出現了困難。特別有意思的是，在隨后教師對學生的訪談中，

發現了學生在處理商的小數點位置時出現了較大的困難。一部分學生

認為商的小數點應該與被除數的小數點對齊，得到1.22；另一部分

學生把被除數和除數同時擴大10倍，將算式轉化為85.4+7并得到答

案12.2后，又畫蛇添足地將答案的小數點往左移動了一位