2023七年級數學上冊第三章一元一次方程3.4實際問題與一元一次方程第4課時分段計費與最優方案問題教學設計（新版）新人教版課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、設計意圖嘿，親愛的同學們，今天我們要一起探索數學的奧秘，用一元一次方程解決實際問題。這節課，我們聚焦分段計費與最優方案問題，通過課本中的實例，讓大家感受數學在生活中的應用。讓我們一起開啟這場數學之旅吧！????二、核心素養目標分析本節課旨在培養學生的數學建模能力、邏輯推理能力和解決問題的能力。通過分段計費問題的分析，學生將學會如何從實際問題中提取數學模型，運用一元一次方程進行計算，并學會分析、比較不同方案的成本，從而形成優化決策的能力。同時，通過合作探究，學生還能提升團隊合作和溝通表達的能力。三、學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

同學們已經學習了方程的基本概念和一元一次方程的解法，對如何建立方程模型有一定的了解。在之前的課程中，你們已經接觸過簡單的線性關系，能夠根據題目條件列出方程。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

七年級學生對數學保持較高的興趣，尤其是當數學與日常生活結合時。他們的邏輯思維能力正在逐步發展，能夠理解和運用基本的數學概念。學習風格上，部分學生可能更傾向于通過實例和問題解決來學習，而另一部分學生可能更偏好通過公式和理論來掌握知識。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

在解決分段計費問題時，學生可能會遇到如何正確理解題目條件、如何選擇合適的方程形式以及如何進行實際計算等困難。此外，對于一些學生來說，將實際問題轉化為數學模型可能是一個挑戰，因為他們可能不熟悉如何從實際問題中提取關鍵信息。此外，理解最優方案的概念和如何比較不同方案的成本也是他們可能面臨的挑戰。四、教學方法與手段1.講授法：通過清晰講解分段計費的計算規則和一元一次方程的應用，幫助學生建立概念。

2.討論法：組織小組討論，讓學生共同分析實際問題，激發他們的思維和合作能力。

3.實踐操作：利用教學軟件進行模擬計算，讓學生在實際操作中掌握分段計費的計算技巧。

教學手段：

1.多媒體展示：利用PPT展示分段計費的實際案例，直觀展示計算過程。

2.互動軟件：運用數學教育軟件，讓學生通過游戲化學習加深對分段計費問題的理解。

3.課堂練習：提供在線練習平臺，方便學生課后鞏固所學知識。五、教學過程【導入新課】

同學們，今天我們來探索一個有趣的問題：如何用數學的方法解決生活中的分段計費問題？你們有沒有遇到過需要計算電話費、水費或者電費的時候呢？讓我們一起來看看，如何用一元一次方程來解決這個問題。

【新課導入】

1.提問：同學們，你們知道什么是分段計費嗎？

學生回答：分段計費就是根據使用量不同，費用也會分成幾個不同的檔次來計算。

2.引導：很好，那么我們今天就要學習如何用一元一次方程來計算這種分段計費的問題。

【環節一：分段計費問題解析】

1.展示案例：

展示一個分段計費的實際案例，比如市內的電話費計算方式，費用分為起步價和每分鐘通話費用兩部分。

2.提問：

-這里的起步價和每分鐘通話費用分別是多少？

-如果你打電話超過了起步時間，每分鐘的費用是多少？

-如何用方程來表示這個問題？

3.學生討論：

學生分組討論，嘗試用方程表示這個問題，并解釋自己的思路。

4.教師點評：

教師針對學生的回答進行點評，指出正確和錯誤的地方，并解釋正確的解題思路。

【環節二：一元一次方程的應用】

1.展示方程：

根據討論的結果，展示一元一次方程的形式，并解釋方程中各個變量的含義。

2.解方程：

教師演示如何解這個方程，引導學生理解解方程的步驟。

3.學生練習：

學生獨立完成幾個類似的分段計費問題，教師巡視指導。

【環節三：最優方案問題探究】

1.提出問題：

-如果有兩個不同的分段計費方案，如何判斷哪個方案更劃算？

-如何用數學的方法來找到最優方案？

2.學生討論：

學生分組討論，嘗試找出判斷最優方案的方法。

3.教師講解：

教師講解如何比較不同方案的成本，并介紹如何使用一元一次方程來找到最優方案。

【環節四：實際問題解決】

1.展示實際問題：

展示一個生活中的實際問題，比如比較兩個不同手機套餐的費用。

2.學生獨立解決：

學生獨立解決實際問題，教師巡視指導。

3.學生展示：

學生展示自己的解題過程，教師點評并總結。

【環節五：課堂小結】

1.回顧：

教師引導學生回顧本節課的重點內容，包括分段計費問題的解析、一元一次方程的應用以及最優方案問題的解決方法。

2.總結：

教師總結本節課的學習成果，強調分段計費問題在生活中的實際應用，鼓勵學生在日常生活中運用所學知識。

【環節六：課后作業】

1.布置作業：

教師布置課后作業，包括幾個分段計費問題和最優方案問題，要求學生獨立完成。

2.作業要求：

教師強調作業完成的要求，如正確列出方程、完整解題步驟等。

【教學反思】

本節課通過實際問題引入，激發了學生的學習興趣，通過小組討論和教師講解，幫助學生掌握了分段計費問題的解決方法。在今后的教學中，可以進一步豐富教學案例，讓學生在更多的生活場景中運用數學知識。同時，要關注學生的個體差異，提供個性化的輔導，確保每個學生都能跟上教學進度。六、學生學習效果學生學習效果

經過本節課的學習，學生們在以下幾個方面取得了顯著的效果：

1.**知識掌握程度**：

-學生能夠熟練地理解和應用分段計費的概念，知道如何根據不同的計費標準建立一元一次方程。

-學生掌握了如何解一元一次方程，并能將其應用于解決實際問題。

-學生學會了如何從實際問題中提取關鍵信息，并將其轉化為數學模型。

2.**能力提升**：

-學生的邏輯推理能力得到加強，能夠通過分析問題、建立方程、解方程等步驟，逐步推導出答案。

-學生的數學建模能力得到提升，能夠將現實生活中的問題抽象成數學問題，并用數學語言進行描述。

-學生的問題解決能力得到鍛煉，能夠面對新的分段計費問題時，能夠快速找到解決方案。

3.**學習興趣和主動性**：

-學生對數學的應用產生了濃厚的興趣，認識到數學在生活中的重要性。

-學生在學習過程中表現出較高的主動性，能夠積極參與討論和練習，提出自己的見解和問題。

-學生在解決實際問題的過程中，體驗到了學習的成就感，增強了學習數學的信心。

4.**情感態度價值觀**：

-學生通過學習分段計費問題，體會到了數學的實用性和嚴謹性，培養了科學探究的精神。

-學生在合作學習的過程中，學會了尊重他人、傾聽他人意見，增強了團隊協作能力。

-學生在面對困難和挑戰時，展現了堅持不懈、勇于嘗試的精神，培養了良好的學習態度。

5.**具體知識點掌握情況**：

-學生能夠準確地識別分段計費問題中的變量和常數，并能夠正確地列出方程。

-學生掌握了如何解一元一次方程，包括合并同類項、移項、系數化為1等步驟。

-學生學會了如何比較不同方案的成本，并能根據實際情況選擇最優方案。

總體而言，本節課的學習效果是積極的，學生不僅在知識層面有了顯著的提升，而且在能力、情感態度價值觀等方面也取得了良好的進步。這些效果將有助于學生未來在數學學習道路上更加自信和堅定。七、重點題型整理1.**分段計費問題求解**

-**題目示例**：某市手機套餐包含基礎月租費30元和超出套餐后的通話費用，前100分鐘通話每分鐘0.3元，之后每分鐘通話0.5元。某用戶一個月內通話200分鐘，求該用戶當月的手機通話費用。

-**答案示例**：設通話時間為\(t\)分鐘，通話費用為\(y\)元。

-當\(t\leq100\)時，\(y=0.3t+30\)；

-當\(t>100\)時，\(y=0.5(t-100)+0.3\times100+30\)；

-由于\(t=200\)，代入第二個公式得\(y=0.5\times100+0.3\times100+30=110\)元。

-**詳細說明**：在解題時，首先需要確定分段計費的起點和分段點，然后根據不同區間列出相應的方程。

2.**最優方案問題比較**

-**題目示例**：小明在購買書籍時有兩個方案可選：

-方案A：購買5本書，每本25元；

-方案B：購買10本書，每本20元。

假設小明最多花費200元，求小明應選擇哪個方案。

-**答案示例**：設小明購買的書本數為\(x\)，總花費為\(y\)元。

-方案A：\(y=25x\)；

-方案B：\(y=20x\)；

-對于方案A，當\(y\leq200\)，\(x\leq8\)；

-對于方案B，當\(y\leq200\)，\(x\leq10\)；

-由于\(x\)的最大值為10，小明應選擇方案B。

-**詳細說明**：在比較不同方案時，需要列出每個方案的成本函數，并根據條件進行比較，找出最優方案。

3.**方程應用題**

-**題目示例**：一個商店在銷售某種商品時，前100件商品每件售價50元，超過100件后的每件售價為45元。若該商品總售價為7150元，求售出商品的總件數。

-**答案示例**：設售出商品的總件數為\(x\)件，總售價為\(y\)元。

-當\(x\leq100\)時，\(y=50x\)；

-當\(x>100\)時，\(y=45(x-100)+50\times100\)；

-由于\(y=7150\)，代入第二個公式得\(7150=45(x-100)+5000\)，解得\(x=140\)件。

-**詳細說明**：解題時需要根據商品銷售情況，合理設置方程，并求解未知數。

4.**反比例關系分段計費問題**

-**題目示例**：某電信公司對上網費用進行分段計費，套餐包含500小時基本流量，超過500小時后，每小時流量費用降低，具體如下：前500小時每小時1.5元，超過500小時后每小時0.8元。若某用戶一個月上網費用為600元，求該用戶超過500小時的上網時長。

-**答案示例**：設用戶上網總時長為\(x\)小時，總費用為\(y\)元。

-當\(x\leq500\)時，\(y=1.5x\)；

-當\(x>500\)時，\(y=0.8(x-500)+1.5\times500\)；

-由于\(y=600\)，代入第二個公式得\(600=0.8(x-500)+750\)，解得\(x=625\)小時。

-**詳細說明**：這類問題中，計費關系為反比例關系，需要根據不同的流量區間設置不同的方程。

5.**實際應用中的優化問題**

-**題目示例**：某快遞公司提供兩種計費方案，方案一：首重1000克以內20元，續重每500克加收10元；方案二：首重1000克以內25元，續重每500克加收8元。某客戶要郵寄重物，總重量超過1500克，求客戶選擇哪種方案更劃算。

-**答案示例**：設郵寄總重量為\(x\)克，總費用為\(y\)元。

-方案一：當\(x\leq1000\)時，\(y=20\)；當\(1000<x\leq1500\)時，\(y=20+10\times\frac{x-1000}{500}\)；當\(x>1500\)時，\(y=20+10\times2+10\times\frac{x-1500}{500}\)；

-方案二：當\(x\leq1000\)時，\(y=25\)；當\(1000<x\leq1500\)時，\(y=25+8\times\frac{x-1000}{500}\)；當\(x>1500\)時，\(y=25+8\times2+8\times\frac{x-1500}{500}\)；

-計算兩種方案在不同重量下的費用，比較得出更劃算的方案。

-**詳細說明**：在實際應用中，優化問題可能涉及多種因素，需要根據實際情況列出方程，并進行比較和優化。八、教學反思與總結嘿，親愛的同事們，今天我想和大家分享一下我對這節課的一些反思和總結。

首先，我要說的是教學方法。我覺得今天的教學過程還是相當順利的。我采用了案例教學的方式，通過展示分段計費的實際案例，讓學生們能夠直觀地感受到數學在生活中的應用。我發現，這種方式很受學生們的歡迎，他們對于數學的興趣似乎也因此得到了提升。不過，我也意識到，在講解過程中，我可能對一些概念的解釋不夠清晰，導致部分學生理解起來有些吃力。所以，我需要在今后的教學中，更加注重概念的解釋和例子的說明。

在教學管理方面，我嘗試了小組討論的方式，讓同學們在合作中學習。這種方式的效果還是不錯的，學生們在小組討論中互相學習，共同進步。但是，我也發現，在小組討論過程中，有些學生可能不太愿意發言，這可能是因為他們缺乏自信或者是害怕出錯。所以，我需要在今后的教學中，更多地鼓勵學生表達自己的想法，營造一個更加開放和包容的課堂氛圍。

至于教學效果，我覺得本節課還是達到了預期的目標。學生們對于分段計費和最優方案問題的理解有了明顯的提升，他們能夠將所學知識應用到實際問題中去。當然，我也注意到，有些學生對于一元一次方程的應用還不夠熟練，這可能是由于他們在之前的數學學習中沒有打下堅實的基礎。因此，我需要在今后的教學中，更加注重基礎知識的鞏固和拓展。

針對教學中存在的問題和不足，我提出以下改進措施和建議：

-加強概念的解釋和例子的說明，確保學生能夠清晰地理解每一個知識點。

-在小組討論中，更加注重引導和鼓勵，讓每一個學生都有機會參與到討論中來。

-針對不同學生的學習需求，提供個性化的輔導，幫助他們克服學習中的困難。

-在今后的教學中，更多地結合實際生活，讓學生在解決問題的過程中，鞏固和拓展所學知識。作業布置與反饋作業布置：

1.完成課本第三章練習題中的第1、3、5題，這些題目涵蓋了分段計費問題的不同類型，旨在幫助學生鞏固對分段計費和一元一次方程的應用。

2.選擇一個你感興趣的日常生活場景，比如公交出行、網絡使用等，設計一個分段計費方案，并嘗試用一元一次方程來計算