5.2.1基本初等函數的導數導學案

學習目標

1.能根據定義求函數y=c,y=x,y-x2,y-py=V%的導數.

2.掌握基本初等函數的導數公式，并能進行簡單的應用.

重點難點

重點：基本初等函數的導數公式的簡單應用

難點：根據定義求函數/=ay=x,y-x2,y=：,y=?的導數

知識梳理

原函數導函數

制x)=c(c為常數)f'C0=—

f(.x)=x°(aFQ,且

f(?=______

aWO)

f{x}=sinxf=_____

f{x}=cosXf'5=________

f[x)=a(a>0,且a2

f'(?=______

1)

f(x)=e"f'(分=—

f(A)=logaX(a>0,且

aWl)f'CO=_______

/'(x)=lnx

f(a=___

4

1.函數P==在x=2處的導數為______.

x

2.常數函數的導數為0說明什么？

3.對于公式“若/?(x)=x"(a?Q),則F(x)=ax—”，若把“aGQ”改為“a?R”,

公式是否仍然成立？

4.下列說法正確的個數為()

①若y=也，則=1x2=l；②若F(x)=sinx,則/1(x)=cosx；

13

③/'(?=F則f'(X)=--J.

XX

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.（多選）下列結論正確的是（)

A.若尸=0,則/=0B.若y=5x,則p=5

111

C.若y=xT,則/=一針D.若y=久5,貝ljy'=-%i

,,,2Ji

6.右尸cos^-,則/=()

o

m11

A.一弓-B.--C.00-2

7.函數y=g在點，，J處切線的傾斜角為（）

JIJIJI3JT

A?飛Bc.-7-D?丁

-T0

學習過程

一、學習導引

由導數的定義可知，一個函數的導數是唯一確定的。在必修第一冊中我們學過基本

初等函數，并且知道，很多復雜函數都是通過對這些函數進行加、減、乘、除等運算

得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函數的導數，然后研究出導數的“運算

法則”，這樣就可以利用導數的運算法則和基本初等函數的導數求出復雜函數的導數。

本節我們就來研究這些問題。

二、新知探究

1.求函數在升處的導數的方法.

（1）求（Ao+AA）—/（Ao）.

/c-比及+AxlZI-比苞口

⑵求變化率旬=-------O---------

⑶求極限的VI（吊）=limW

2.怎樣求導函數？

（1）求改變量Ay=F（x+Ax）—F（x）.

⑵求比值蕓:/Dx+△才口一/]2]才口

AI

⑶求極限的/=-(x)=lim蕓.

△LO

思考：導數與導函數有什么區別和聯系？那么如何求幾種常見函數的導數?

問題1.函數y=f(x)=c的導數

若y=c表示路程關于時間的函數，則y'=0可以解釋為某物體的瞬時速度始終為

0,即一直處于靜止狀態。

問題2.函數y=f(x)=x的導數

若y=%表示路程關于時間的函數，則y'=1可以解釋為某物體的瞬時速度始終為1

的勻速直線運動。

問題3.函數y=f(x)=X?的導數

y'=2x表示函數y=好的圖像，上點(%,y)處切線的斜率為2x,說明隨著%變化,

切線的斜率也在變化。另一方面，從導數作為函數在一點的瞬時變化率來看，

表明；

當久＜0時，隨著久增加，|y1越來越小，y=/減少得越來越慢；

當%>0時，隨著%增加，［y1越來越大，y="增加得越來越快；

若y=久2表示路程關于時間的函數，則/=2x可解釋為某物體做變速運動,

它在時刻%解時速度為2x。

三、典例解析

例1.求下列函數的導數.

i/

(l)y=-;(2)y=-i=；

x[x

(3)y=lgx；(4)y=5'；(5)y=cos

1.若所求函數符合導數公式，則直接利用公式求解.

2.對于不能直接利用公式的類型，一般遵循“先化簡，再求導”的基本原則，避免不必

要的運算失誤.

3.要特別注意"［與Inx","a'與log,—,“sinx與cosx”的導數區別.

跟蹤訓練1.求下列函數的導數：

Y

⑴尸〒(x>0)；

(2)y=sin(n—x)；

(3)y=logx.

例2假設某地在20年間的平均通貨膨脹率為5%,物價P(單位：元)與時間t(單

位：年)有如下函數關系

P(t)=Po(l+5%￥,

其中Po為t=0時的物價，假定某種商品的Po=l,那么在第10個年頭，這種商品的價格

上漲的速度大約是多少？(精確到0.01元/年)

跟蹤訓練2質點的運動方程是S(t)=sint,則質點在方=時的速度為一；質點

運動的加速度為;

例3已知曲線

X

⑴求曲線在點p(l,1)處的切線方程;

⑵求過點0(1,0)的曲線的切線方程.

利用導數的幾何意義解決切線問題的兩種情況

⑴若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數；

⑵如果已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解.

跟蹤訓練3當常數次為何值時，直線%=x與曲線為=f+N相切？請求出切點.

達標檢涮

JI

1.設函數/1(x)cosX,則)

2

A.0B.1C.-1D.以上均不正確

2.下列各式中正確的是()

..,1..,In10

A.(log.)=-B.dogA)=-----

XaX

C.(3>=3xD.(3，”=3"ln3

3.若廣(x)=*,g(x)=M,則滿足f(x)+l=g'(x)的x值為

4.設函數F(x)=logaX,f'(1)=-1,則a=.

5.求與曲線/=丹分=汩在點夕(8,4)處的切線垂直，且過點(4,8)的直線方程.

6.已知兩條曲線y=sinx,y=cosx,是否存在這兩條曲線的一個公共點，使在這一點

處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由.

課堂小結

參考答案:

一、知識梳理

0；ax"-'；cosx-,—sinx；a*lna；e*；;-----；一

Tinax

1.解析：法一（導數定義法）：

..444_口Ax[f+4Ax

"Ay=DAx+2D2-22-DAx+2D2-1-DA^+202'

.AyAx+4

**△二一□△X+2E|2'

limlim

,IAyAx+4

y[~=-Ax―0-;~~?c「2=-1.

-sNxDA^+2n

法二（導函數的函數值法）：

..4_4_4AxE!2x+A

?△尸dx+Axd*——flUx+AxEf'

.Ay4lZl2x-|-AxD

',NxxUx+AxQ2'

limlim

Ay4El2x+Ax口8

：.y'=ALO、=—Ax-03-

△xxUx+X

|^2=-1=-l-

答案：一1

2.提示：說明常數函數f（x）=c圖象上每一點處的切線的斜率都為0,即每一點處的

切線都平行（或重合）于x軸.

3.提示：當a?R時，/（x）=ax"一'仍然成立.

4.解析：只有③正確.

答案：B

5.（多選）答案：ABC

6.答案：C

7.答案：B

學習過程

二、新知探究

問題1.解：因為

Ay/(%+△%)/1(%)

△%△%

所以

.7/_UmAy_Um八一八

y——菽一Ax—OU—U

問題2.解：因為

Ax△%Ax

所以

.7,—lim3—Um1一］

y—Ax—O—A.—1

問題3.解：因為

△y/1(%+△%)-/(x)(X+AX)*2-34X2

△%AxAx

所以

y:陽冷△窩(2%+A%)=2%

三、典例解析

例1.［解］(1)：尸二=/5,.?./=—5/6.

X

G、X22---/3-

(2)y=—=x2=%2,y=-X2

X22

(3)Vy=lg/=111八.

xln10

(4)Vy=5X,y'=5"ln5.

(兀)..

(5)y=cosl——^l=sinx,y'=cosx.

跟蹤訓練1.［解］⑴.:y=J=5(x>0),：?/=(力)'

(2)y=sin(n—JT)=sinx,y'=cosx.

例2解：根據基本初等函數的導數公式表有，

p(t)=1.05，lnl.05

所以；pr(10)=1.0510lnl.05?0.08

所以，在第10個年頭這種商品的價格約以0Q8元/年的速度上漲。

跟蹤訓練2解析：r(t)=S'(t)=cost,

(n、n1n」.1

HV=cosV=9-即質點在時的速度為$?

\OyJ乙O乙

Vv{t}=cost,?\加速度H(1)=/(t)=(cost)r=—sint.

［答案］7—sint

乙

例3［解］Vy=-,Z./=—7.

XX

⑴顯然9(1,1)是曲線上的點，所以尸為切點，

所求切線斜率為函數在點尸(1,1)的導數，

X

即4=尸(1)=—1.

所以曲線在尸(1,1)處的切線方程為y—1=—(x—l),

即為x+y—2=0.

(2)顯然0(1,0)不在曲線尸」上,

X

則可設過該點的切線的切點為/(a,

那么該切線斜率為4=F(a)=一±

a

則切線方程為/—1=—二(x—a).①

aa

將0(1,0)代入方程：0—1=—3(1—a).

aa

得a=J,代入方程①整理可得切線方程為尸一4x+4.

乙

跟蹤訓練3解：設切點為力（為，/+A）.2=2X,

'_1

2xo=l,苞2'

,<?<

\^+k=x0,1

故當/=；時，直線%=X與曲線%=x?+A相切，

且切點坐標為（；，jj

達標檢測

1.解析：注意此題中是先求函數值再求導所以導數是0

答案：A

2.解析：由（log/）'=一一，可知A,B均錯；由（3》=31n3可知D正確.

xlna

答案：D

3.解析：由導數的公式知，/（x）=2x,/（x）=3/

因為/1'（x）+l=g‘（X）