第66講拋物線及其性質(zhì)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的定義

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F

叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．

注：若在定義中有Fl，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為l的垂線，垂足為點(diǎn)F．

知識(shí)點(diǎn)二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：y22px，y22px，x22py，x22py(p0)，

其中一次項(xiàng)與對(duì)稱(chēng)軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向

圖形

標(biāo)準(zhǔn)

y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)

方程

頂點(diǎn)O(0，0)

范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR

對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸

pppp

焦點(diǎn)F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)

2222

離心率e1

pppp

準(zhǔn)線方程xxyy

2222

焦半徑p

pAFx1pp

AFx12AFy1AFy1

，222

A(x1y1)

【解題方法總結(jié)】

2

1、點(diǎn)P(x0,y0)與拋物線y2px(p0)的關(guān)系

（）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）2．

1Py02px0

（）在拋物線上2．

2Py02px0

2

（3）P在拋物線外y02px0．

2、焦半徑

2

拋物線上的點(diǎn)P(x0,y0)與焦點(diǎn)F的距離稱(chēng)為焦半徑，若y2px(p0)，則焦半徑

pp

PFx，PF．

02min2

3、p(p0)的幾何意義

p為焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離，即焦準(zhǔn)距，p越大，拋物線開(kāi)口越大．

4、焦點(diǎn)弦

2

若AB為拋物線y2px(p0)的焦點(diǎn)弦，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則有以下結(jié)論：

p2

（1）xx．

124

2

（2）y1y2p．

（）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取

31ABx1x2px1x22x1x2px1x2

最小值2p，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長(zhǎng)度為2p．

2p

焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2：AB（為直線AB與對(duì)稱(chēng)軸的夾角）．

sin2

p2

（4）AOB的面積公式：S（為直線AB與對(duì)稱(chēng)軸的夾角）．

AOB2sin

5、拋物線的弦

2

若AB為拋物線y2px(p0)的任意一條弦，A(x1,y1),B(x2,y2)，弦的中點(diǎn)為

M(x0,y0)(y00)，則

1

（1）弦長(zhǎng)公式：AB1k2xx1yy(kk0)

12k212AB

p

（2）kAB

y0

p

（3）直線AB的方程為yy0(xx0)

y0

y

（4）線段AB的垂直平分線方程為yy0(xx)

0p0

A

6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法）

4

AA

（1）y2Ax(A0)焦點(diǎn)為(,0)，準(zhǔn)線為x

44

AA

（2）x2Ay(A0)焦點(diǎn)為(0,)，準(zhǔn)線為y

44

y11

如y4x2，即x2，焦點(diǎn)為(0,)，準(zhǔn)線方程為y

41616

7、參數(shù)方程

2

2x2pt

y2px(p0)的參數(shù)方程為（參數(shù)tR）

y2pt

8、切線方程和切點(diǎn)弦方程

2

拋物線y2px(p0)的切線方程為y0yp(xx0)，(x0,y0)為切點(diǎn)

切點(diǎn)弦方程為y0yp(xx0)，點(diǎn)(x0,y0)在拋物線外

與中點(diǎn)弦平行的直線為y0yp(xx0)，此直線與拋物線相離，點(diǎn)(x0,y0)（含焦點(diǎn)）是

弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．

9、拋物線的通徑

過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的弦叫做拋物線的通徑．

pp

對(duì)于拋物線y22px(p0)，由A(，p)，B(，p)，可得|AB|2p，故拋物線的

22

通徑長(zhǎng)為2p．

p

10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：y

0k

11、焦點(diǎn)弦的常考性質(zhì)

已知，、，是過(guò)拋物線2焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是

A(x1y1)B(x2y2)y2px(p0)FMABl

拋物線的準(zhǔn)線，MNl，N為垂足．

（1）以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；

（2）FNAB，F(xiàn)CFD

p2

（3）xx；yyp2

12412

（4）設(shè)BDl，D為垂足，則A、O、D三點(diǎn)在一條直線上

必考題型全歸納

題型一：拋物線的定義與方程

2

例1．（2024·福建福州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)Px0,2在拋物線C：y4x上，則P

到C的準(zhǔn)線的距離為（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】C

【解析】拋物線y24x的準(zhǔn)線為x=1，

2

將Px0,2代入y4x得x01，

故P到準(zhǔn)線的距離為2，

故選：C．

例2．（2024·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）涪江三橋又名綿陽(yáng)富樂(lè)大橋，跨越了涪江和芙蓉溪，是繼

東方紅大橋、涪江二橋之后在涪江上修建的第三座大橋，于2004年國(guó)慶全線通車(chē)．大橋的

拱頂可近似地看作拋物線x216y的一段，若有一只鴿子站在拱頂?shù)哪硞€(gè)位置，它到拋物

線焦點(diǎn)的距離為10米，則鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c(diǎn)的距離為（）

A．6B．233C．834D．31

【答案】B

【解析】如圖所示：

設(shè)鴿子所在位置為點(diǎn)Px,yx0,y0，

因?yàn)樗綊佄锞€焦點(diǎn)的距離為10米，

所以y410，解得y6，

則x216696，

所以鴿子到拱頂?shù)淖罡唿c(diǎn)的距離為OPx2y2233，

故選：B

例3．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，

直線x2交C于P，Q兩點(diǎn)，C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)R，若PRQR，則C的方程為（）

A．y24xB．y26xC．y28xD．y212x

【答案】C

p

【解析】由題可設(shè)拋物線的方程為y22pxp0，則準(zhǔn)線方程為x，

2

當(dāng)x2時(shí)，可得y2p，

p

可得P2,2p,Q2,2p，又R,0，PRQR，

2

2p2p2

1p

所以pp，即24p，

222

22

解得p4，

所以C的方程為y28x.

故選：C

4

變式1．（2024·陜西渭南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線yx2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

3

3312

A．,0B．0,C．,0D．0,

161633

【答案】B

43

【解析】拋物線yx2的標(biāo)準(zhǔn)形式為x2y，

34

所以拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，

3p33

且2p,，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,.

421616

故選：B

變式2．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)拋物線C:x22pyp0的焦點(diǎn)F的直線l交

C于A,B兩點(diǎn)，若直線l過(guò)點(diǎn)P1,0，且AB8，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是（）

3

A．y=3B．y=2C．yD．y1

2

【答案】D

pp

【解析】因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)F0,,P1,0，所以直線l的方程為yx1.

22

p

yx1

由2得，x2p2xp20,Δ=p44p20.

2

x2py

22

設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則x1x2p,x1x2p.

222

pp2p42

因?yàn)锳B1x2x11x1x24x1x21p4p

444

pp24

8，

2

整理得p34p16p2p22p8)0，解得p2，

p

所以拋物線C的準(zhǔn)線方程是y1.

2

故選：D.

變式3．（2024·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)A，B在拋物線y24x上，O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若OAOB，且AOB的垂心恰好是此拋物線的焦點(diǎn)F，則直線AB的方程是（）

A．x20B．x30C．x40D．x50

【答案】D

【解析】如圖所示，F(xiàn)1,0為AOB的垂心，F(xiàn)為焦點(diǎn)，

OAOB，OF垂直平分線段AB，直線AB垂直于x軸．

設(shè)A4t2,4t，B4t2,4t，其中t0，

F為垂心，OBAF，kOBkAF1，

4t4t5

即1，解得t2，

4t24t214

直線AB的方程為x4t25，即x50．

故選：D．

變式4．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知拋物線

E:y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)E上的一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，點(diǎn)Cp,0，

AF與BC相交于點(diǎn)D．若AF3FC，且ACD的面積為32，則E的方程為（）

A．y24xB．y243x

C．y28xD．y283x

【答案】C

2pp

【解析】設(shè)點(diǎn)A(x0,y0)，拋物線E:y2px的焦點(diǎn)F(,0)，準(zhǔn)線x，

22

pp

由AF3FC得：x3(p)，解得xp，不妨令點(diǎn)A在第一象限，則A(p,2p)，

0220

ACFC，如圖，

|AD||AB||AF|12p

因?yàn)锳B//FC，則3，即有點(diǎn)D到x軸距離h|AC|，

|DF||FC||FC|44

111p132p2

SSS|AC||FC||FC|h(2p2p)32，解得

ACDACFDCF2222416

p4，

所以E的方程為y28x.

故選：C

【解題方法總結(jié)】

求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟為：

（1）先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點(diǎn)位置：

（2）根據(jù)題目條件列出P的方程

（3）解方程求出P，即得標(biāo)準(zhǔn)方程

題型二：拋物線的軌跡方程

例4．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)F（1，0），直線l:x1，若動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F和到直線l

的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程是.

【答案】y24x

【解析】根據(jù)拋物線定義可知，點(diǎn)P在以F1,0為焦點(diǎn)，直線l:x1為準(zhǔn)線的拋物線上，

p

所以1，p2，拋物線方程為y24x.

2

故答案為：y24x.

例5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P和點(diǎn)M(3,0)、N(3,0)滿足

|MN||MP|MNNP0，則動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為．

【答案】y212x

【解析】由題意MN(6,0),MP(x3,y),NP(x3,y)，

由|MN||MP|MNNP0得6(x3)2y26(x3)0，

化簡(jiǎn)得y212x．

故答案為：y212x．

例6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）與點(diǎn)F0,3和直線y30的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程

是．

【答案】x212y

【解析】由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點(diǎn)F0,3和直線y30的距離相等的點(diǎn)的軌跡為

拋物線，且F0,3為焦點(diǎn)，直線y3為準(zhǔn)線，

設(shè)拋物線的方程為x22py(p0)，

p

可知=3，解得p=6，

2

所以該拋物線方程是x212y，

故答案為：x212y

2

變式5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)Mx,y的坐標(biāo)滿足x2y2x2，則

動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為．

【答案】y28x

2

【解析】設(shè)F2,0，直線l:x2，則動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離為x2y2，動(dòng)點(diǎn)M到直線

2

l:x2，的距離為x2，又因?yàn)閤2y2x2，

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F2,0為焦點(diǎn)，x2為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為y28x．

故答案為：y28x

變式6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(1,0)與定直線x0的距離的

差為1．則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為．

【答案】y24x(x0)，y0(x0)（注：y22|x|2x也算對(duì)）

【解析】由題意，若x0時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于|MF||x1|，

則(x1)2y2(x1)2，化簡(jiǎn)得y24x(x0)，

若x0，y0也滿足題意.

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y24x(x0)，y0(x0).

或者根據(jù)題意有|MF||x|1，則(x1)2y2|x|1，化簡(jiǎn)整理得：y22|x|2x.

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y22|x|2x.

故答案為：y24x(x0)，y0(x0)（注：y22|x|2x也算對(duì)）

變式7．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)二中校考階段練習(xí)）點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，線

段PB的中點(diǎn)E在y軸上，且AE垂直P(pán)B，則P點(diǎn)的軌跡方程為．

【答案】y24x(x0)

xmyxmy

【解析】設(shè)P(x,y)，B(m,0)，則中點(diǎn)E坐標(biāo)為E(,)，由0得mx，即E(0,)，

2222

又AEPB，

y

若x0，則y，即y24x，

kk21

AEPB012x

若x0，則m0，P,B重合，直線PB不存在．

所以軌跡方程是y24x(x0)．

故答案為：y24x(x0)．

變式8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)訄AP與定圓C：（x+2）2+y2＝1相外切，又與直

線x＝1相切，那么動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是．

【答案】y2＝﹣8x

【解析】設(shè)圓心P到直線x＝1的距離等于r，P（x，y），由題意可得PC＝1+r，即

(x2)2y2＝1+1﹣x，化簡(jiǎn)可得y2＝﹣8x.

故答案為：y2＝﹣8x．

2

變式9．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)動(dòng)圓與定圓F:x3y24相外切，且與直線

l:x1相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為．

【答案】y212x

【解析】由題意可知，圓F的圓心為F3,0，半徑為2，

2

由于動(dòng)圓與定圓F:x3y24相外切，且與直線l:x1相切，

動(dòng)圓圓心到點(diǎn)F的距離比它到直線l的距離大2，

所以，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)F的距離等于它到直線x3的距離，

所以，動(dòng)圓圓心的軌跡是以點(diǎn)F3,0為圓心，以直線x3為準(zhǔn)線的拋物線，

p

設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程為y22px，則=3，可得p=6，

2

所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程為y212x.

故答案為：y212x.

變式10．（2024·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)A(1,0)，直線l：x=1，兩個(gè)動(dòng)圓均過(guò)點(diǎn)A且

與l相切，其圓心分別為C1、C2，若動(dòng)點(diǎn)M滿足2C2MC2C1C2A，則M的軌跡方程

為.

【答案】y22x1

2

【解析】由拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心軌跡方程y4x，設(shè)C1a,b，C2m,n，Mx,y，

2

根據(jù)2C2MC2C1C2A可得a2x1，b2y，利用b4a可求得結(jié)果.由拋物線的定義得

動(dòng)圓的圓心軌跡是以A(1,0)為焦點(diǎn)，直線l：x=1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y24x，

設(shè)C1a,b，C2m,n，Mx,y，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M滿足2C2MC2C1C2A，

所以2xm,ynam,bn1m,n，即2xa1，2yb，

2

所以a2x1，b2y，因?yàn)閎24a，所以2y42x1，

所以y22x1，即M的軌跡方程為y22x1.

故答案為：y22x1

變式11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)A(4,4)、B(4,4)，直線AM與BM相交于點(diǎn)M，

且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為2，點(diǎn)M的軌跡為曲線C，則曲線C的軌跡方

程為

【答案】x24y(x4)

y4y4

【解析】設(shè)M(x,y)，由題意可得：2，化簡(jiǎn)可得曲線C的軌跡方程．設(shè)M(x,y)，

x4x4

y4y4

由題意可得：2，

x4x4

化為x24y．

曲線C的軌跡方程為x24y且(x4)．

故答案為：x24y(x4)．

【解題方法總結(jié)】

常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)

點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷．焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)

的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志

的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義判斷．注意：在

求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍．

題型三：與拋物線有關(guān)的距離和最值問(wèn)題

例7．（2024·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）已如P3,3，M是拋物線y24x上的動(dòng)點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），

2

過(guò)M作圓C:x2y24的切線，切點(diǎn)為A，則MAMP的最小值為.

【答案】3

222

【解析】依題意，設(shè)M(x0,y0),x00，有y04x0，圓C:(x2)y4的圓心C(2,0)，半

徑r2，

于是22222，

|MA||MC|r(x02)y04x0x0

因此MAMPx0MP，表示拋物線C上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離與到定點(diǎn)P的距離的和，

而點(diǎn)P在拋物線C內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)M是過(guò)點(diǎn)P垂直于y軸的直線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，

x0MP取得最小值3，所以MAMP的最小值為3.

故答案為：3.

2

例8．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)Px0,y0是拋物線y4x上的動(dòng)點(diǎn)，則

2x0x0y01的最小值為.

【答案】22/22

2

【解析】由題可知，過(guò)拋物線y4x上的動(dòng)點(diǎn)Px0,y0作直線l:xy10的垂線交直線

于M，過(guò)點(diǎn)Px0,y0作y軸的垂線交y軸于Q，交準(zhǔn)線于G點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，

由y24x，得p2，所以F1,0，如圖所示

|x0y01|

則PM,動(dòng)點(diǎn)Px0,y0到y(tǒng)軸的距離為PQ|x|x(x0).

2000

|x0y01|

所以x0PQPMPGPM1PFPM1，

2

當(dāng)且僅當(dāng)F、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，PQPM有最小值，即

PQPMPFPM1MF1(此時(shí)MF為點(diǎn)F到直線l的距離)，

11

所以F1,0到直線l:xy10的距離為MF2，

2

|x0y01|

所以x0MF121，

2

|x0y01|

所以2x0x0y012x022.

2

所以2x0x0y01的最小值為22.

故答案為：22

例9．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx4x43x24x54x415x22x17

的最大值為．

【答案】32

222

【解析】將給定的函數(shù)表達(dá)式變形為f(x)(x2)22x21x12x24，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)Px,2x2到點(diǎn)A(2,1)與B(1,4)距離之差的最大值，

而點(diǎn)P的軌跡為拋物線y2x2，如圖所示，

由A、B的位置知直線AB必交拋物線y2x2于第二象限的一點(diǎn)C，

由三角形兩邊之差小于第三邊可知P位于C時(shí)，f(x)才能取得最大值.

f(x)max|AB|9932.

故答案為：32.

變式12．（2024·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測(cè)）已知斜率為3的直線l過(guò)拋物線

y22px(p0)的焦點(diǎn)F，且與該拋物線交于A,B兩點(diǎn)，若AB8,P為該拋物線上一點(diǎn)，Q

2

32

為圓C:x(y1)1上一點(diǎn)，則PFPQ的最小值為.

2

【答案】101/110

p

【解析】由題可知直線AB的方程為y3x，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則

2

p

y3x

由2,消去y，整理得12x220px3p20，，

2

y2px

5p

所以xx，

123

5p8p

所以ABxxpp8，解得p3，

1233

33

所以F,0，而圓C的圓心C,1,

22

因?yàn)镻FPQQFCFCQCF1，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C,Q,P,F在同一條直線上取等號(hào)，且點(diǎn)Q位于點(diǎn)C,P之間，如圖所示：

2

332

又CF110，

22

所以PFPQ的最小值為101.

故答案為：101.

變式13．（2024·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y216x，其焦點(diǎn)為F，PQ是過(guò)點(diǎn)

F的一條弦，定點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,4，當(dāng)|PA||PF|取最小值時(shí)，則弦PQ的長(zhǎng)是.

【答案】25

【解析】拋物線C:y216x的焦點(diǎn)F4,0，準(zhǔn)線為x=4，

如圖，過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線x=4的垂線PP，垂足為P，

則PFPP，

所以PAPFPAPPPA，當(dāng)且僅當(dāng)A,P,P三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)PAPF取最小值時(shí)，A2,4P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

當(dāng)y4時(shí)，x1，即P1,4，

404

所以k，

PQ143

4

所以直線PQ的方程為y4x1，

3

4

y4x1

聯(lián)立3，消y得x217x160，解得x1或x16，

2

y16x

當(dāng)x1時(shí)，y4，即Q16,16，

22

所以PQ11641625.

故答案為：25.

變式14．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)M為拋物線y22x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓

x2(y4)25上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為..

【答案】65251

2

11

【解析】由題可知，拋物線y22x的準(zhǔn)線方程為x=，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(,0)，

22

1

由拋物線的定義可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離即為MF，

2

圓x2(y4)25的圓心坐標(biāo)為E0,4，半徑為R5，

1

故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和MFMN，

2

根據(jù)圓的性質(zhì)可知點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為

165165251

EFR5.

2222

65251

故答案為：.

2

變式15．（2024·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)1，0的直線l交拋

物線y24x于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，1.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則2MCAB的最

小值為.

【答案】8

【解析】由題意拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=1，過(guò)點(diǎn)B,A作準(zhǔn)線的垂線，

垂足分別為B1，A1，取A1B1的中點(diǎn)為M1，連接M1M，如下圖所示：

點(diǎn)C到準(zhǔn)線的距離為d4，易知四邊形A1ABB1為直角梯形，則由拋物線的定義可得

ABAFFBB1BAA12MM1.

即2MCAB2MCMM12d8（當(dāng)M,M1,C三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)）

即2MCAB的最小值為8.

故答案為：8

2

變式16．（2024·遼寧大連·育明高中校考一模）已知Px0,y0是拋物線y4x上一點(diǎn)，則

5x02x0y013的最小值為.

【答案】155/515

2

【解析】由題可知，過(guò)拋物線y4x上的動(dòng)點(diǎn)Px0,y0作直線l:2xy130的垂線交

直線于M，過(guò)點(diǎn)Px0,y0作y軸的垂線交y軸于Q，交準(zhǔn)線于G點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn).

由y24x，得p2，所以F1,0，如圖所示

|2x0y013|

則PM,動(dòng)點(diǎn)Px0,y0到y(tǒng)軸的距離為PQ|x|x(x0).

5000

|2x0y013|

所以x0PMPQPMPG1PMPF1,

5

當(dāng)且僅當(dāng)F、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，PMPQ有最小值，即PMPQPMPF1MF1,(

MF為點(diǎn)F到直線l的距離).

所以F1,0到直線l:2xy130的距離為

2101315

MF35.

55

|2x0y013|

所以x0MF1351，

5

|2x0y013|

所以5x02x0y0135x05351155.

5

所以5x02x0y013的最小值為155.

故答案為：155.

變式17．（2024·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線

交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則AF4BF的最小值是．

【答案】9

【解析】依題意，

因?yàn)閽佄锞€y24x的焦點(diǎn)為F，所以F1,0，p2

①當(dāng)k斜率存在時(shí)：因?yàn)橹本€交拋物線于A，B兩點(diǎn)，所以k0，

設(shè)過(guò)F的直線的直線方程為：ykx1，Ax1,y1,Bx2,y2，

pp

由拋物線定義得：AFx,BFx，

1222

ykx1

由消y整理得：222，

2kx2k4xk0

y4x

1

所以x1x21，即x2，

x1

5p44

所以AF4BFx14x2x152x159；

2x1x1

p

②當(dāng)k不存在時(shí)，直線為x1，此時(shí)AFBF12，

2

所以AF4BF24210；

綜上可知，AF4BF的最小值為：9.

故答案為：9.

變式18．（2024·上海嘉定·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)校考三模）已知點(diǎn)P是拋物線y28x上的

PO

動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x2)2y21上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是.

PQ

474

【答案】/7

77

【解析】拋物線y28x的焦點(diǎn)為F2,0，準(zhǔn)線為l:x2，

2

圓x2y21的圓心為F2,0，半徑r1，

過(guò)點(diǎn)P作PB垂直準(zhǔn)線l，垂足為B，由拋物線的定義可知PBPF，

設(shè)Px,y，則222，，

00POx0y0x08x0PQPF1PB1x021x01

POx28xx28x

所以0000，

2

PQx01(x01)

令tx01，則x0t1，

x28x(t1)28(t1)111316

所以0022，

227()6()17()

(x01)tttt77

137131647

所以當(dāng)即t時(shí)，7()2取到最大值，

t73t777

x28x

所以00的最大值為47，

2

(x01)7

POx28x47PO

因此，00，所以的最大值是47

2.

PQ(x01)7PQ7

47

故答案為：.

7

2

變式19．（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知Px1,y1,Qx2,y2是拋物線x4y上兩點(diǎn)，且

23

yy2|PQ|，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則PFQ最大值為.

123

2

【答案】π

3

【解析】拋物線x24y的焦點(diǎn)F0,1，

2

由題得，yy2y1y1PFQF3PQ，

12123

3

即PQPFQF，

2

2232

222PFQFPFQF

故PFQFPQ

cosPFQ4

2PFQF2PFQF

22

PFQF6PFQF2PFQF6PFQF1

=，

8PFQF8PFQF2

1

即cosPFQ，因?yàn)镻FQ0,π，且余弦函數(shù)在0,π內(nèi)單調(diào)遞減，

2

2π

故PFQ，當(dāng)且僅當(dāng)PFQF時(shí)成立.

3

2π

故答案為：.

3

變式20．（2024·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知P是拋物線y24x上的動(dòng)

22

點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C:x3y34上動(dòng)點(diǎn)Q的距離為d2，則d1d2的

最小值為．

【答案】2

【解析】圓C:(x3)2(y3)24的圓心為C(3,3)，半徑r2，

拋物線y24x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=1，

過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線x=1的垂線，垂足為P，

2

因?yàn)镻是拋物線y4x上的動(dòng)點(diǎn)，P到y(tǒng)軸的距離為d1，

22

到圓C:(x3)(y3)4上動(dòng)點(diǎn)Q的距離為d2，

所以d1PP1PF1，d2PQPC2，當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，且

點(diǎn)Q在線段PC上，

所以d1d2PF1PC2，

又PFPCFC，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段FC與拋物線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，又

FC(31)2(30)25，

所以d1d22，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段FC與拋物線的交點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段FC與圓C的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，

所以d1d2的最小值為2，

故答案為：2

22

m2m217

變式21．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）m的最小值為．

6622

【答案】533

2

m23

【解析】易知?jiǎng)狱c(diǎn)P,m的軌跡為拋物線C:y26x，C的焦點(diǎn)為F,0，設(shè)P到C

62

17

的準(zhǔn)線的距離為d，A,，

22

2222

m23m21773153

則mdPAPFPAAF，

626222222

22

m2m217533

故m的最小值為．

66222

533

故答案為：.

2

變式22．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)M3,2是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線

y22x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則MQQF的最小值是.

5

【答案】/2.5

2

【解析】

1

拋物線的準(zhǔn)線方程為x，

2

過(guò)點(diǎn)Q作QQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，

MQQFMQQQ

顯然，當(dāng)MQ平行于x軸時(shí)，

MQQF取得最小值，此時(shí)Q2,2，

15

此時(shí)MQQF232

22

5

故答案為:.

2

變式23．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中學(xué)校考階段練習(xí)）已知P為拋物線y24x

2

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2y41上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)