導數的四則運算法則2025/3/31鄒文婷基本初等函數的導數公式表：函數導數(為常數)＝__________＝(是實數)＝__________,特別地=,特別地＝__________＝__________＝__________

常數函數冪函數

三角函數指數函數對數函數知識回顧同學們，上節課我們學習了基本初等函數的導數，這其實是整個導數知識體系的基石。目前，我們已經掌握了冪函數、指數函數、對數函數和三角函數這四類函數的求導法則。我們知道，這些基本初等函數可以通過加、減、乘、除等多種方式組合成新的函數。那么，對于這些組合后的函數，我們該如何求導呢？這就是我們本節課要解決的問題。導語一f(x)±g(x)的導數新知講解一、導數的加法與減法運算概念生成導數的運算法則1:

一般地，對于兩個函數f(x)和

g(x)的和(或差)的導數，我們有如下法則：即:兩個函數的和(差)的導數,等于這兩個函數的導數的和(差)和與差的運算法則可以推廣:[f1(x)±f2(x)±…±fn

(x)]′＝f1′(x)±f2

′(x)±…±fn′(x)簡記：和的導等于導的和。

求下列函數的導數：(1)y＝x4＋x3＋cosx－ln5；例1解：y′＝(x4＋x3＋cosx－ln5)′＝(x4)′＋(x3)′＋(cosx)′－(ln5)′＝4x3＋3x2－sinx.(2)y＝lnx－sinx；(3)y＝5x＋log2x－3；例題講解(4)y＝x7＋tanx；

求下列函數的導數：

例1例題講解對點練1.求下列函數的導數：練習鞏固二

通過計算可知：顯然同理：那么，正確結論是什么呢？新知講解新知講解二、導數的乘法運算三、導數的商法運算新知講解概念生成導數的運算法則2:

兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘第二個函數,加上第一個函數乘第二個函數的導數導數的運算法則3:

兩個函數的商的導數,等于第一個函數的導數乘第二個函數,減去第一個函數乘第二個函數的導數,再除以第二個函數的平方.概念生成由函數的乘積的導數法則可以得出：也就是說，常數與函數的積的導數，等于常數與函數的導數的積，即導數的運算法則新知總結---導數的四則運算法則和、差、積、商的導數：導數的加法法則導數的減法法則導數的乘法法則

導數的除法法則

例題講解

求下列函數的導數：(1)y＝x2＋xlnx；例2解：y′＝(x2＋xlnx)′＝(x2)′＋(xlnx)′＝2x＋x′lnx＋x(lnx)′(3)y＝(2x2－1)(3x＋1)．解：法一：y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.法二：因為y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－1′＝18x2＋4x－3.例題講解規律方法利用導數運算法則的策略1．分析待求導式子符合哪種求導法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數組合成的，確定所需的求導法則和基本公式．

2．如果求導式子比較復雜，則需要對式子先變形再求導，常用的變形有乘積式展開變為和式求導，商式變乘積式求導，三角函數恒等變換后求導等．

3．利用導數運算法則求導的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導法則求導的，盡量少用積、商的求導法則求導．[占領思想高點]利用導數運算法則求導數時體現轉化與化歸思想．

對點練2.求下列函數的導數：(1)y＝xnex；；解：y′＝(xn)′ex＋xn(ex)′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x).練習鞏固練習鞏固對點練2.求下列函數的導數：導數的運算法則與幾何意義的綜合運用

已知曲線f(x)＝x3＋ax＋b在點P(2，－6)處的切線方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；例3解：f(x)＝x3＋ax＋b的導數為f′(x)＝3x2＋a.由題意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.例題講解(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線l：y＝－

x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線l：y＝－

x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．所以切線的斜率k＝4.設切點的坐標為(x0，y0)，由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18，即切點坐標為(1，－14)或(－1，－18)．所以切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.例題講解規律方法1．此類問題往往涉及切點、切點處的導數、切線方程三個主要元素，其他的條件可以進行轉化，從而轉化為這三個要素間的關系．2．準確利用求導法則求出導函數是解決此類問題的第一步，也是解題的關鍵，務必做到準確．3．分清“在某點”和“過某點”導數的不同．對點練3.已知f(x)＝alnx－

，求：(1)當a＝1時，求f′(x)；(2)當f′(2)＝1時，求a的值；練習鞏固(3)f(x)在(1，f(1))處的切線與直線2x－y＝0平行，求a的值．因為f(x)在(1，f(1))處的切線與直線2x－y＝0平行，所以f′(1)＝a＋1＝2，解得a＝1.此時f(